Raksti

5.7E: Neto izmaiņu vingrinājumi - matemātika


5.7. Neto izmaiņu vingrinājumi

Izmantojiet pamata integrācijas formulas, lai aprēķinātu šādus antivielas.

207) ( displaystyle ∫ ( sqrt {x} - frac {1} { sqrt {x}}) dx )

Atbilde:
( displaystyle ∫ ( sqrt {x} - frac {1} { sqrt {x}}) dx = ∫x ^ {1/2} dx −x x ^ {- 1/2} dx = frac {2} {3} x ^ {3/2} + C_1−2x ^ {1/2 +} C_2 = frac {2} {3} x ^ {3/2} −2x ^ {1/2} + C )

208) ( displaystyle ∫ (e ^ {2x} - frac {1} {2} e ^ {x / 2}) dx )

209) ( displaystyle ∫ frac {dx} {2x} )

Atbilde:
( displaystyle ∫ frac {dx} {2x} = frac {1} {2} ln | x | + C )

210) ( displaystyle ∫ frac {x − 1} {x ^ 2} dx )

211) ( displaystyle ∫ ^ π_0 (sinx-cosx) dx )

Atbilde:
( displaystyle ∫ ^ π_0sinxdx − ∫ ^ π_0cosxdx = −cosx | ^ π_0− (sinx) | ^ π_0 = (- (- - 1) +1) - (0−0) = 2 )

212) ( displaystyle ∫ ^ {π / 2} _0 (x − sinx) dx )

NETO IZMAIŅAS

223) Pieņemsim, ka daļiņa pārvietojas pa taisnu līniju ar ātrumu ( displaystyle v (t) = 4−2t, ) kur ( displaystyle 0≤t≤2 ) (metros sekundē). Atrodiet pārvietojumu laikā t un kopējais nobrauktais attālums līdz ( displaystyle t = 2. )

Atbilde:
( displaystyle d (t) = ∫ ^ t_0v (s) ds = 4t − t ^ 2 ). Kopējais attālums ir ( displaystyle d (2) = 4m. )

224) Pieņemsim, ka daļiņa pārvietojas pa taisnu līniju, kuras ātrumu nosaka ( displaystyle v (t) = t ^ 2−3t − 18, ) kur ( displaystyle 0≤t≤6 ) (metros uz otrais). Atrodiet nobīdi laikā t un kopējo nobraukto attālumu līdz ( displaystyle t = 6. )

225) Pieņemsim, ka daļiņa pārvietojas pa taisnu līniju, kuras ātrumu nosaka ( displaystyle v (t) = | 2t − 6 |, ) kur ( displaystyle 0≤t≤6 ) (metros sekundē) . Atrodiet nobīdi laikā t un kopējo nobraukto attālumu līdz ( displaystyle t = 6. )

Atbilde:
( displaystyle d (t) = ∫ ^ t_0v (s) ds. ) Par ( displaystyle t <3, d (t) = ∫ ^ t_0 (6−2t) dt = 6t-t ^ 2 ) . ( Displaystyle t> 3, d (t) = d (3) + ∫ ^ t_3 (2t − 6) dt = 9 + (t ^ 2−6t) ). Kopējais attālums ir ( displaystyle d (6) = 9m. )

226) Pieņemsim, ka daļiņa pārvietojas pa taisnu līniju ar paātrinājumu, ko nosaka ( displaystyle a (t) = t-3, ) kur ( displaystyle 0≤t≤6 ) (metros sekundē). Atrodiet ātrumu un nobīdi laikā t un kopējo nobraukto attālumu līdz ( displaystyle t = 6 ), ja ( displaystyle v (0) = 3 ) un ( displaystyle d (0) = 0. )

227) Bumba tiek izmesta uz augšu no 1,5 m augstuma ar sākotnējo ātrumu 40 m / sek. Gravitācijas rezultātā paātrinājums ir –9,8 m / sek2. Neievērojot gaisa pretestību, atrisiniet bumbas ātrumu ( displaystyle v (t) ) un augstumu ( displaystyle h (t) ) t sekundes pēc tam, kad tā ir izmesta un pirms tā atgriežas uz zemes.

Atbilde:
( displaystyle v (t) = 40−9.8t; h (t) = 1.5 + 40t − 4.9t ^ 2 ) m / s

228) Bumba tiek izmesta uz augšu no 3 m augstuma ar sākotnējo ātrumu 60 m / sek. Gravitācijas rezultātā paātrinājums ir ( displaystyle −9.8 m / sec ^ 2 ). Neievērojot gaisa pretestību, atrisiniet bumbas ātrumu ( displaystyle v (t) ) un augstumu ( displaystyle h (t) ) t sekundes pēc tam, kad tā ir izmesta un pirms tā atgriežas uz zemes.


Bērnudārza matemātikas darblapas un izdrukājamie materiāli

Daži bērni nāk bērnudārzā, tik stingri uztverot skaitļus un skaitot, ka viņi ir gatavi ienirt tieši saskaitīšanas un atņemšanas problēmās. Citi, iespējams, joprojām cenšas konsekventi skaitīt līdz 10. Neatkarīgi no jūsu bērna agrīnās matemātikas spējas, mūsu plašais bērnudārza matemātikas darblapu klāsts ir ideāls papildinājums klases apmācībai. Vissvarīgākais ir tas, ka mūsu bērnudārza matemātikas darblapas tika veidotas tā, lai bērni matemātikas praktizēšanu uzskatītu par jautru darbību, nevis par darbu.

Runājot par jautro praksi, vecākiem visas dienas garumā ir daudz iespēju nostiprināt galvenos matemātikas jēdzienus, pat nezinot to bērnudārzam! Piemēram, tā vietā, lai pasniegtu viņam pēcskolas uzkodu, sakiet, lai viņš iet pie ledusskapja un atnes precīzi 10 vīnogas. Vai arī pasniedziet viņam kāršu paku un lūdziet, lai viņš izvelk visus 7. Un nākamreiz, kad būsiet restorānā, palūdziet viņam saskaitīt, cik cilvēku sēž pie diviem blakus esošajiem galdiem.

Apakšējā līnija ir tā, ka, izmantojot mūsu bērnudārza matemātikas lapas un reālās dzīves aktivitātes, ir bezgalīgi daudz veidu, kā palīdzēt mazajam uzlabot šīs kritiskās agrīnās matemātikas prasmes.


Cietu formu darblapu saraksts

3D formu diagrammas rada fantastisku iespēju un ir uzaicinājums uzzināt visu par cietām formām, to atribūtiem, to reālās dzīves attēliem un daudz ko citu. Viņi iet roku rokā, papildinot mācīšanu un nostiprinot jēdzienus.

Veiciniet bērnudārza, 1., 2. un 3. klases bērnu mācīšanos, izmantojot šīs izdrukājamās 3D formu darblapas. Bērni atpazīst trīsdimensiju formas un uzlabo to aprakstošās formas vārdu krājumu un pareizrakstību.

Pievilciniet savus mazos novērotājus ar reāliem piemēriem un palīdziet viņiem paplašināt redzesloku. Uzdodiet bērniem izpētīt un atrast 3D formas reālajā dzīvē, vingrinājumu sērijā noskaidrojiet apkārtējo priekšmetu cieto formu.

Nodarbiniet bērnus ar pārsteidzošiem praktiskiem eksperimentiem un stimulējiet viņus izpētīt katras 3D formas kustības. Bērnudārza, 1. klases, 2. klases bērni pārbauda, ​​vai katra forma šajās pdf darblapās var ripināt, bīdīt vai / un sakraut un reģistrēt savus secinājumus.

Noskatieties, kā jaunie inženieri sāk identificēt 3D figūras, kas tiek kombinētas, lai izveidotu salikto formu, un sadalās saliktā formā, lai noskaidrotu kopējās 3D formas, kad viņi strādā, izmantojot šīs izdrukājamās darblapas.

Izklaidējoties un mācoties vienādā mērā, mēs izvirzījām trumpjus ar šīm sejām, virsotnēm un malu vingrinājumiem. Jaunie 1. - 5. klases izglītojamie palīdz atšķirt vienu 3D formu no otras, iepazīstinot viņus ar atšķirīgajām īpašībām.

Tie, kas kalpo kā lielisks tilts starp cietām un plakanām formām, analizē un salīdzina 2D un 3D formas. PDF faili noteikti palīdzēs bērniem vizualizēt 2D sejas 3D formās, salīdzināt to īpašības, kārtot un daudz ko citu.

Šajos 3D formu darblapu tīklos no 4. līdz 8. klasei skolēni noceļ lūkas un gatavojas niknai vingrošanas vētrai. Divās būtiskajās prasmēs, kas uzsvērtas šajos izdales materiālos, ir saplacinātu 3D formu 2D tīklu identificēšana un trīsdimensiju formas, kas izriet no salocīta tīkla, noteikšana.

Kā labāk saprast dažādas cieto formu perspektīvas - priekšējo, augšējo un sānisko skatu. Paredzams, ka 5. formas un augstākas klases skolēni darīs 3D formas un identificēs katras 2D ortogrāfiskās projekcijas, zīmējot, saskaņojot utt.

Neatkarīgi no tā, ko meklējat šajā komplektā - neatkarīgi no tā, vai tas ir cietu formu sagriešana, lai izveidotu 2D formas, vai rotējošas 2D formas, lai 3D formas padarītu šos izdrukājamos 3D formu šķērsgriezumus 6., 7. un 8. klases skolēniem atbilstoši rēķinam.

Māciet studentus pielāgoties, lai aprēķinātu cieto vielu daudzumu, piemēram, kubus, konusus, prizmas, piramīdas, cilindrus, sfēras, puslodes, L blokus, jauktas un saliktas formas, kas ietvertas šajos PDF failos.

Kanalizējiet savu vidusskolas un vidusskolas skolēnu praksi, izmantojot šo labi organizēto virsmas laukuma darba lapu kolekciju, kurā ietilpst vienību kvadrātu skaitīšana, aprēķinot 3D figūru SA ar dažādu grūtību pakāpi.


Telangana SCERT 9. klases matemātikas risinājums 10. nodaļa Virsmas laukumi un apjomi 10.1. Uzdevums

(1) Atrodiet turpmāko labo prizmu vēlāko virsmu un kopējo virsmas laukumu

(2.) Kubas kopējā platība ir 1350 kv.m. Atrodiet tā apjomu.

Kuba kopējā platība ir 1350 m 2

∴ Ļaujiet būt kuba katras puses garumam

Kopējā virsma ir kuba = 6a 2

(3) Atrodiet telpas četru sienu laukumu (pieņemsim, ka nav durvju vai logu), ja tā garums ir 12 m, platums - 10 m. un augstums 7,5 m.

Telpas garums l = 12 m

Telpas platums b = 10 m

Telpas augstums h = 7,5 m

Tagad istabas 4 siena ir telpas sānu virsma

Sānu virsmas laukums = 2h (l + b)

∴ Telpas četru sienu laukums ir 330 m 2

(4) Kvadrota tilpums ir 1200 cm 3. Garums ir 15 cm. un platums ir 10 cm. Atrodiet tā augstumu.

Kvadrota tilpums = 1200 cm 2

Kvadrātveida garums l = 15 cm

Kvadrātveida platums b = 10 cm

Ļaujiet, taisnstūra augstumam jābūt h

Kvadrota tilpums = l x b x h

The Kvadrātveida augstums ir 8 cm

(5) Kā mainās kastes kopējā platība, ja

(i) Katra dimensija tiek dubultota? (ii) Katra dimensija trīskāršojas?

Izteikt vārdos. Vai varat atrast kopējo lodziņa virsmas laukumu, ja katrs izmērs tiek pacelts līdz n reizes?

Kastes platums ir l

Kastes platums ir b

Kastes augstums ir h

Kastes kopējā platība = 2 (lb + bh + lh)

(i) henKad izmēri tiek dubultoti

∴ Kastes kopējā platība, kad izmēri tiek dubultoti = 2 (2l x 2b + 2b x 2h + 2l x 2h)

= 4 x kopējais kastes virsmas laukums

Dimensions Ja izmēri tiek dubultoti, vienas kastes kopējā virsma četrreiz pārsniedz sākotnējo virsmu

(ii) Kad izmēri ir trīskāršoti

Kopējā virsmas platība, ja izmēri trīskāršojas

= 2 (3l x 3b + 3b + 3h + 3l x 3h)

9 x kopējais kastes virsmas laukums

Kad izmēri ir trīskāršoti, kopējais kastes virsmas laukums reizinās ar kastes sākotnējo virsmu.

iii) kad izmēri tiek paaugstināti reizēm,

Kopējais kastes virsmas laukums, kad izmēri tiek pacelti n reizes = 2 (nl x nb + nb x nh + nl x nh)

= n 2 x kopējais kastes virsmas laukums

Kad izmēri tiek paaugstināti par n reizes, kastes kopējā platība kļūst par n 2 reizes lielāka par kastes sākotnējo virsmu.

(6) Prizmas pamatne ir trīsstūrveida, ar malām 3 cm, 4 cm. un 5 cm. Atrodiet prizmas tilpumu, ja tās augstums ir 10 cm.

(7) Parastā kvadrātveida piramīda ir 3 m. augstums un tā pamatnes perimetrs ir 16 m. Atrodiet piramīdas tilpumu


3. problēma

  • Mēs vispirms diferencējam pretestības R formulas abas puses attiecībā pret laiku, atzīmējot, ka R2 ir nemainīgs un d (1 / R2) / dt = 0
    (-1 / R2) dR / dt = (-1 / R1 2) dR1 / dt
  • Lai iegūtu, sakārtojiet iepriekš minēto
    dR / dt = (R / R1) 2 dR1 / dt
  • Pēc formulas 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 mēs varam rakstīt
    R = R1 * R2 / (R1 + R2)
  • DR / dt formulā aizstājiet R un vienkāršojiet
    dR / dt = (R1 * R2 / R1 * (R1 + R2)) 2 dR1 / dt
    = (R2 / (R1 + R2)) 2 dR1 / dt

5.7E: Neto izmaiņu vingrinājumi - matemātika

PRIEKŠMETS: Fizika
TEMATS: Spēks un kustība
APRAKSTS: Matemātikas problēmu kopums, kas nodarbojas ar Ņūtona kustības likumiem.
IEGULDĪJIS: Kerola Hodanbosi
REDIGĒ: Džonatans G. Fairmans - 1996. gada augusts

Ņūtona pirmais kustības likums nosaka, ka miera stāvoklī esošais ķermenis paliks miera stāvoklī, ja vien uz to nedarbosies ārējs spēks, un ķermenis, kas pārvietojas nemainīgā ātrumā, paliks kustībā taisnā līnijā, ja vien to nerīkos ārējs spēks.

Ja ķermenis piedzīvo paātrinājumu (vai palēninājumu) vai kustības virziena maiņu, tam jābūt iedarbinātam no ārpuses. Ārējos spēkus dažkārt sauc par neto spēkiem vai nelīdzsvarotiem spēkiem.

Īpašību, kas ķermenim piemīt, kas pretojas kustībai, ja tas ir miera stāvoklī, vai pretojas ātruma vai palēnināšanās ātrumam, ja tas ir kustībā, sauc par inerci. Inerce ir proporcionāla ķermeņa masai vai ķermeņa daudzumam. Jo vairāk ķermeņa masas, jo lielāka ir inerce.

Otrais kustības likums nosaka, ka, ja uz ķermeni iedarbojas nesabalansēts spēks, šis ķermenis piedzīvos paātrinājumu (vai palēninājumu), tas ir, ātruma maiņu. Var teikt, ka ķermeņa atpūtai tiek uzskatīts par nulles ātrumu (nemainīgu ātrumu). Tātad jebkurš spēks, kas liek ķermenim kustēties, ir nelīdzsvarots spēks. Arī jebkurš spēks, piemēram, berze vai gravitācija, kas liek ķermenim palēnināties vai paātrināties, ir nelīdzsvarots spēks. Šo likumu var parādīt pēc šādas formulas

  • F ir nelīdzsvarots spēks
  • m ir objekta masa
  • a ir paātrinājums, ko izraisa spēks

Ja spēka vienības ir ņūtonos, tad masas vienības ir kilogrami un paātrinājuma vienības ir m / s 2. Ja spēka vienības ir mārciņās (angļu valodā), tad masas vienības ir lodes, un paātrinājuma vienības ir pēdas / s 2.

Objekta kustību, kas nav paātrināta (pārvietojas nemainīgā ātrumā un taisnā līnijā), var atrast, izmantojot formulu

Daži problēmu paraugi, kas ilustrē pirmo un otro kustības likumu, ir parādīti zemāk:

1. piemērs
Ja skaņas ātrums noteiktā dienā ir 343 m / s un atbalss atgriešanās no tālu esošas klints prasa 2,5 sekundes, vai varat noteikt, cik tālu klints atrodas no skaņas radītāja?

Atskaņa ir skaņa, kas pārvietojas uz āru un atpakaļ. Šim braucienam ir nepieciešamas 2,5 sekundes, kas ir divreiz lielāks nekā klints. Tāpēc, lai skaņa nonāktu klintī, nepieciešamas tikai 1,25 sekundes. Aizvietojot,

d = v t
d = (343 m / s) (1,25 s)
d = 429 m


2. piemērs
Ja uz ķermeņa iedarbojas nesabalansēts 600 ņūtonu spēks, lai to paātrinātu ar +15 m / s 2, kāda ir ķermeņa masa?

F = ma
m = F / a
m = 600n / 15 m / s2
m = 40 kg

    Ja automašīna pārvietojas ar ātrumu 50 km / h pa taisnu līniju, cik metrus tā brauc 10 sekundēs?
    (Atbilde)

  1. Kāds ir tā svars?
  2. Kāds būs tā paātrinājums, kad uz to iedarbojas nelīdzsvarots 40 ņūtonu horizontāls spēks?
    (Atbilde)


5.7E: Neto izmaiņu vingrinājumi - matemātika

Šajā sadaļā mēs aplūkosim divas diezgan svarīgas problēmas, veicot aprēķinus. Šo problēmu izskatīšanai tagad ir divi iemesli.

Pirmkārt, abas šīs problēmas mūs novedīs pie robežu pētīšanas, kas galu galā ir šīs nodaļas tēma. Aplūkojot šīs problēmas šeit, mēs varēsim sākt saprast, kas ir robeža un ko tā var mums pastāstīt par funkciju.

Otrkārt, pārmaiņu līmeņa problēma, kuru mēs aplūkosim, ir viens no vissvarīgākajiem jēdzieniem, ar kuru mēs saskaramies šī kursa otrajā nodaļā. Faktiski tas, iespējams, ir viens no vissvarīgākajiem jēdzieniem, ar kuru mēs saskaramies visā kursā. Tātad, aplūkojot to tagad, mēs liksim domāt par to jau pašā sākumā.

Pieskares līnijas

Pirmā problēma, kuru apskatīsim, ir pieskares līnijas problēma. Pirms nonākt šajā problēmā, iespējams, vislabāk būtu noteikt pieskares līniju.

Funkcijas (f (x) ) pieskares līnija punktā (x = a ) ir līnija, kas vienkārši skar funkcijas grafiku attiecīgajā punktā un ir “paralēla” (kaut kādā veidā) pie grafika tajā brīdī. Apskatiet zemāk redzamo diagrammu.

Šajā grafikā līnija ir pieskares līnija norādītajā punktā, jo tā tikai pieskaras grafikam šajā punktā un ir arī “paralēla” grafikam šajā punktā. Tāpat otrajā parādītajā punktā līnija vienkārši pieskaras grafikam tajā brīdī, bet tā nav “paralēla” grafikam tajā brīdī, tāpēc tā nav pieskares līnija grafikam šajā punktā.

Otrajā parādītajā punktā (vietā, kur līnija nav pieskares līnija) mēs dažreiz sauksim līniju par secant līnija.

Mēs jau pāris reizes esam lietojuši vārdu paralēli, un, iespējams, mums vajadzētu būt nedaudz uzmanīgiem ar to. Kopumā mēs domāsim, ka līnija un grafiks ir paralēli vienā punktā, ja tie abi tajā brīdī pārvietojas vienā virzienā. Tātad pirmajā punktā virs grafika un taisne virzās vienā virzienā, tāpēc mēs teiksim, ka tie šajā punktā ir paralēli. Savukārt otrajā punktā līnija un diagramma nepārvietojas vienā virzienā, tāpēc tajā brīdī tie nav paralēli.

Labi, tagad, kad esam nonākuši pie pieskares līnijas definīcijas, pārejam pie pieskares līnijas problēmas. To, iespējams, vislabāk var izdarīt ar piemēru.

Pēc algebras mēs zinām, ka, lai atrastu taisnes vienādojumu, mums vajag vai nu divus punktus uz taisnes, vai vienu punktu uz taisnes un taisnes slīpuma. Tā kā mēs zinām, ka esam pēc pieskares līnijas, mums ir punkts, kas atrodas uz līnijas. Pieskares līnijai un funkcijas grafikam jāpieskaras pie (x ) = 1, tāpēc punkts ( pa kreisi (<1, f pa kreisi (1 pa labi)> pa labi) = pa kreisi (<1,13 > pa labi) ) jābūt uz līnijas.

Tagad mēs esam nonākuši līdz problēmai. Tas ir viss, ko mēs zinām par pieskares līniju. Lai atrastu pieskares līniju, mums ir nepieciešams vai nu otrs punkts, vai pieskares līnijas slīpums. Tā kā vienīgais iemesls, kāpēc nepieciešams otrais punkts, ir ļaut mums atrast pieskares līnijas slīpumu, koncentrēsimies tikai uz to, vai mēs varam noteikt pieskares līnijas slīpumu.

Šajā brīdī viss, ko mēs varēsim izdarīt, ir iegūt pieskares līnijas slīpuma novērtējumu, bet, ja mēs to izdarām pareizi, mums vajadzētu būt iespējai iegūt tāmi, kas faktiski ir faktiskais slīpums pieskares līnijas. Mēs to izdarīsim, sākot ar punktu, kas mums seko, sauksim to (P = pa kreisi (<1,13> pa labi) ). Pēc tam mēs izvēlēsimies vēl vienu punktu, kas atrodas funkcijas grafikā, sauksim šo punktu (Q = pa kreisi ( pa labi)).

Argumenta labad izvēlēsimies (x = 2 ), un tāpēc otrais punkts būs (Q = pa kreisi (<2,7> pa labi) ). Zemāk ir funkcijas, pieskares līnijas un sekundārās līnijas diagramma, kas savieno (P ) un (Q ).

No šī grafika mēs varam redzēt, ka sekantās un pieskarīgās līnijas ir nedaudz līdzīgas, tāpēc sekundārās līnijas slīpumam vajadzētu būt nedaudz tuvu pieskares līnijas faktiskajam slīpumam. Tātad, kā pieskares līnijas slīpuma novērtējumu mēs varam izmantot sekundārās līnijas slīpumu, sauksim to (<>> ), kas ir,

Tagad, ja mūs pārāk neinteresēja precizitāte, mēs varētu teikt, ka tas ir pietiekami labs, un izmantot to kā pieskares līnijas slīpuma novērtējumu. Tomēr mēs vēlētos aprēķinu, kas vismaz nedaudz tuvojas faktiskajai vērtībai. Tātad, lai iegūtu labāku novērtējumu, mēs varam ņemt (x ), kas ir tuvāk (x = 1 ), un pārtaisīt iepriekš minēto darbu, lai iegūtu jaunu novērtējumu slīpumā. Tad mēs varētu vēl tuvāk izmantot trešo (x) vērtību un iegūt vēl labāku novērtējumu.

Citiem vārdiem sakot, kad mēs (Q ) tuvojamies arvien tuvāk (P ), sekundārās līnijas slīpumam, kas savieno (Q ) un (P ), vajadzētu būt arvien tuvāk pieskares līnija. Ja to skatāties tīmeklī, šis process ir parādīts zemāk esošajā attēlā.

Kā redzat (ja to lasāt tīmeklī), pārvietojoties (Q ) arvien tuvāk (P ), secantās līnijas arvien vairāk sāk izskatīties pēc pieskares līnijas, un tāpēc aptuvenās nogāzes (i., secanto līniju nogāzes) kļūst arvien tuvāk precīzam slīpumam. Neuztraucieties arī par to, kā es dabūju precīzas vai aptuvenas nogāzes. Drīz mēs aprēķināsim aptuvenās nogāzes un dažās sadaļās varēsim aprēķināt precīzu slīpumu.

Šajā attēlā mēs aplūkojām tikai (Q ), kas atrodas pa labi no (P ), bet tikpat viegli mēs varētu izmantot (Q ), kas atrodas pa kreisi no (P ), un mēs būtu saņēmuši tādus pašus rezultātus. Faktiski mums vienmēr vajadzētu apskatīt (Q ), kas atrodas abās (P ) pusēs. Šajā gadījumā tas pats notiek abās (P ) pusēs. Tomēr galu galā mēs redzēsim, ka tam nav jānotiek. Tāpēc, veicot šāda veida procesu, mums vienmēr vajadzētu apskatīt to, kas notiek abās attiecīgā punkta pusēs.

Tātad, redzēsim, vai mēs varam nākt klajā ar aptuvenajām nogāzēm, kuras parādījām iepriekš, un līdz ar to pieskares līnijas slīpuma novērtējums. Lai procesu nedaudz vienkāršotu, iegūstam formulu līnijas slīpumam starp (P ) un (Q ), (<>> ), kas derēs jebkuram (x ), ar kuru mēs izvēlamies strādāt. Mēs varam iegūt formulu, atrodot slīpumu starp (P ) un (Q ), izmantojot “vispārīgo” formu (Q = left ( pa labi)).

Tagad izvēlēsimies vērtības (x ), kas tuvojas arvien tuvāk (x = 1 ), pievienojiet kontaktdakšu un iegūstiet dažas nogāzes.

(x ) (<>>) (x ) (<>>)
2 -6 0 -2
1.5 -5 0.5 -3
1.1 -4.2 0.9 -3.8
1.01 -4.02 0.99 -3.98
1.001 -4.002 0.999 -3.998
1.0001 -4.0002 0.9999 -3.9998

Tātad, ja mēs paņemam (x ) ’s pa labi no 1 un pārvietojam tos ļoti tuvu 1, šķiet, ka sekanto līniju slīpums tuvojas -4. Tāpat, ja mēs paņemam (x ) ’s pa kreisi no 1 un pārvietojam tos ļoti tuvu 1, secāno līniju slīpums atkal tuvojas -4.

Pamatojoties uz šiem pierādījumiem, šķiet, ka sekanto līniju nogāzes tuvojas -4, kad mēs virzāmies virzienā uz (x = 1 ), tāpēc mēs novērtēsim, ka pieskares līnijas slīpums ir arī -4. Kā minēts iepriekš, šī ir pareizā vērtība, un mēs to galu galā varēsim pierādīt.

Tagad līnijas vienādojums, kas iet caur [ left ( pa labi) ] dod

[y = f pa kreisi (a pa labi) + m pa kreisi ( pa labi)]

Tāpēc pieskares līnijas vienādojums (f pa kreisi (x pa labi) = 15 - 2) pie (x = 1 ) ir

[y = 13 - 4 pa kreisi ( pa labi) = - 4x + 17 ]

Par mūsu darbu ir jāatzīmē pāris svarīgi punkti. Pirmkārt, mēs aplūkojām punktus, kas atradās abās (x = 1 ) pusēs. Šāda veida procesā ir svarīgi nekad nedomāt, ka tas, kas notiek vienā punkta pusē, notiks arī otrā pusē. Mums vienmēr vajadzētu apskatīt to, kas notiek abās punkta pusēs. Šajā piemērā mēs varētu ieskicēt grafiku un no tā minēt, ka tas, kas notiek vienā pusē, notiks arī otrā pusē, taču grafiku mums parasti nebūs priekšā vai varēsim tos viegli iegūt.

Pēc tam ievērojiet, ka tad, kad mēs sakām, ka tuvosimies attiecīgajam punktam, mēs domājam, ka mēs pārvietosimies ļoti tuvu, un mēs arī izmantojām vairāk nekā tikai dažus punktus. Mums nekad nevajadzētu mēģināt noteikt tendenci, pamatojoties uz pāris punktiem, kas patiesībā nav tik tuvu attiecīgajam punktam.

Nākamā lieta, kas jāpievērš uzmanība, patiešām ir brīdinājums par visu. (<>> ) šajā piemērā bija diezgan „jauki”, un bija diezgan skaidrs, kādai vērtībai viņi tuvojās pēc pāris aprēķiniem. Vairumā gadījumu tas tā nebūs. Lielākā daļa vērtību būs daudz “īsākas”, un, lai iegūtu aprēķinu, jums bieži vajadzēs diezgan daudz aprēķinu. Jums vienmēr jāizmanto vismaz četri punkti katrā pusē, lai iegūtu tāmi. Divi punkti nekad nav pietiekami, lai iegūtu labu novērtējumu, un trīs punkti arī bieži nebūs pietiekami, lai iegūtu labu novērtējumu. Parasti jūs izvēlaties punktus arvien tuvāk punktam, uz kuru skatāties, līdz vērtības izmaiņas starp diviem secīgiem punktiem kļūst ļoti mazas.

Visbeidzot, mēs gājām pēc kaut kā, kas notika pie (x = 1 ), un mēs faktiski nevarējām pieslēgt (x = 1 ) mūsu slīpuma formulai. Neskatoties uz šo ierobežojumu, mēs varējām noteikt zināmu informāciju par to, kas notiek pie (x = 1 ), vienkārši aplūkojot apkārt notiekošo (x = 1 ). Tas ir svarīgāk, nekā jūs sākotnēji varētu saprast, un mēs sīkāk apspriedīsim šo punktu nākamajās sadaļās.

Pirms turpināt darbu, ātri pārskatīsim tikai to, ko mēs izdarījām iepriekš minētajā piemērā. Mēs gribējām, lai pieskares līnija būtu (f pa kreisi (x pa labi) ) punktā (x = a ). Pirmkārt, mēs zinām, ka punkts (P = pa kreisi ( pa labi) ) būs pieskares līnijā. Pēc tam mēs ņemsim otro punktu, kas atrodas funkcijas grafikā, izsauksim to (Q = left ( pa labi) ) un aprēķiniet līnijas, kas savieno (P ) un (Q ) slīpumu šādi:

Pēc tam mēs ņemam (x ) vērtības, kas tuvojas arvien tuvāk (x = a ) (pārliecinoties, ka aplūkojam (x ) abās (x = a ) pusēs un izmantojam šo vērtību saraksts, lai novērtētu pieskares līnijas slīpumu, (m ).

Tad pieskares līnija būs,

[y = f pa kreisi (a pa labi) + m pa kreisi ( pa labi)]

Pārmaiņu likmes

Nākamā problēma, kas mums jāaplūko, ir izmaiņu ātruma problēma. Kā jau minēts iepriekš, tas izrādīsies viens no vissvarīgākajiem jēdzieniem, kuru aplūkosim šajā kursā.

Šeit mēs apsvērsim funkciju (f left (x right) ), kas apzīmē kādu daudzumu, kas mainās, mainoties (x ). Piemēram, varbūt (f left (x right) ) norāda ūdens daudzumu tvertnē pēc (x ) minūtēm. Vai varbūt (f left (x right) ) ir attālums, ko automašīna nobraukusi pēc (x ) stundām. Abos šajos piemēros mēs izmantojām (x ), lai attēlotu laiku. Protams, (x ) nav jāatspoguļo laiks, taču tas rada piemērus, kurus ir viegli vizualizēt.

Tas, ko mēs šeit vēlamies darīt, ir noteikt, cik ātri (f left (x right) ) kādā brīdī mainās, teiksim (x = a ). To sauc par momentānais izmaiņu ātrums vai dažreiz vienkārši izmaiņu ātrums no (f pa kreisi (x pa labi) ) pie (x = a ).

Tāpat kā ar pieskares līnijas problēmu, viss, ko mēs šajā brīdī varēsim izdarīt, ir novērtēt izmaiņu ātrumu. Tātad, turpināsim ar iepriekš minētajiem piemēriem un uzskatīsim, ka (f left (x right) ) ir kaut kas, kas mainās laikā un (x ) ir laika mērījums. Arī šoreiz (x ) nav jāatspoguļo laiks, taču tas nedaudz atvieglos skaidrojumu. Kaut arī šajā brīdī mēs nevaram aprēķināt momentāno izmaiņu ātrumu, mēs varam atrast vidējo izmaiņu ātrumu.

Lai aprēķinātu (f left (x right) ) vidējo izmaiņu ātrumu pie (x = a ), viss, kas mums jādara, ir izvēlēties citu punktu, teiksim (x ), un pēc tam vidējo izmaiņu ātrums būs,

Pēc tam, lai novērtētu momentāno izmaiņu ātrumu pie (x = a ), viss, kas mums jādara, ir izvēlēties vērtības, lai (x ) tuvotos un tuvotos (x = a ) (neaizmirstiet izvēlēties tos abās (x = a ) pusēs) un aprēķina (ARC ) vērtības. Pēc tam mēs varam noteikt momentāno izmaiņu ātrumu.

Apskatīsim piemēru.

Labi. Pirmā lieta, kas mums jādara, ir iegūt formulu vidējam tilpuma izmaiņu ātrumam. Šajā gadījumā tas ir

Lai novērtētu tilpuma momentāno izmaiņu ātrumu pie (t = 5 ), mums vienkārši jāizvēlas (t ) vērtības, kas tuvojas arvien tuvāk (t = 5 ). Šeit ir tabula ar (t ) vērtībām un šo vērtību vidējo izmaiņu ātrumu.

(t ) (A.R.C. ) (t ) (A.R.C. )
6 25.0 4 7.0
5.5 19.75 4.5 10.75
5.1 15.91 4.9 14.11
5.01 15.0901 4.99 14.9101
5.001 15.009001 4.999 14.991001
5.0001 15.00090001 4.9999 14.99910001

Tātad no šīs tabulas izskatās, ka vidējais izmaiņu ātrums tuvojas 15, un tāpēc mēs varam novērtēt, ka momentānais izmaiņu ātrums šajā brīdī ir 15.

Tātad, ko tas mums saka par skaļumu pie (t = 5 )? Ievietosim dažas vienības atbildei no augšas. Tas varētu mums palīdzēt redzēt, kas šajā brīdī notiek ar skaļumu. Pieņemsim, ka tilpuma vienības bija cm 3. Pārmaiņas ātruma vienības (gan vidējās, gan momentānās) ir cm 3 / h.

Mēs esam aprēķinājuši, ka pie (t = 5 ) tilpums mainās ar ātrumu 15 cm 3 / h. Tas nozīmē, ka pie (t = 5 ) tilpums mainās tā, ka, ja ātrums būtu nemainīgs, stundu vēlāk balonā būtu par 15 cm 3 vairāk gaisa nekā pie (t = 5 ).

Tomēr mums šeit jābūt uzmanīgiem. Patiesībā pēc stundas gaisa balonā, iespējams, nebūs par 15 cm 3 vairāk gaisa. Apjoma mainīšanās ātrums parasti nav nemainīgs, tāpēc mēs nevaram reāli noteikt, kāds tilpums būs pēc citas stundas. Mēs varam teikt, ka apjoms palielinās, jo momentānais izmaiņu ātrums ir pozitīvs, un, ja mums būtu citu (t ) vērtību izmaiņu ātrumi, mēs varētu salīdzināt skaitļus un redzēt, vai izmaiņu ātrums ir ātrāks vai lēnāk pārējos punktos.

Piemēram, pie (t = 4 ) momentānais izmaiņu ātrums ir 0 cm 3 / hr un pie (t = 3 ) momentānais izmaiņu ātrums ir -9 cm 3 / h. Mēs atstāsim jums iespēju pārbaudīt šīs izmaiņu likmes. Patiesībā tas būtu labs uzdevums, lai uzzinātu, vai jūs varat izveidot vērtību tabulu, kas atbalstīs mūsu apgalvojumus par šīm izmaiņu likmēm.

Jebkurā gadījumā, atgriežoties pie piemēra. Pie (t = 4 ) izmaiņu ātrums ir nulle, un tāpēc šajā brīdī tilpums nemainās. Tas nenozīmē, ka nākotnē tas nemainīsies. Tas tikai nozīmē, ka tieši pie (t = 4 ) skaļums nemainās. Tāpat pie (t = 3 ) tilpums samazinās, jo izmaiņu ātrums tajā brīdī ir negatīvs. Mēs varam arī teikt, ka, neatkarīgi no izmaiņu ātruma pieauguma / samazināšanās aspektiem, gaisa balona tilpums mainās ātrāk pie (t = 5 ) nekā pie (t = 3 ), jo 15 ir lielāks nekā 9.

Kad mēs nonāksim nākamajā nodaļā, mēs daudz vairāk runāsim par izmaiņu ātrumu.

Ātruma problēma

Īsumā apskatīsim ātruma problēmu. Daudzas aprēķina grāmatas to uztvers kā savu problēmu. Mēs tomēr vēlētos to uzskatīt par īpašu pārmaiņu ātruma problēmas gadījumu. Ātruma uzdevumā mums tiek dota objekta pozīcijas funkcija (f pa kreisi (t pa labi) ), kas norāda objekta stāvokli laikā (t ). Tad, lai aprēķinātu objekta momentāno ātrumu, mums vienkārši jāatgādina, ka ātrums ir nekas cits kā ātrums, kādā mainās pozīcija.

Citiem vārdiem sakot, lai novērtētu momentāno ātrumu, vispirms mēs aprēķinām vidējo ātrumu,

un pēc tam ņemiet (t ) vērtības tuvāk un tuvāk (t = a ) un izmantojiet šīs vērtības, lai novērtētu momentāno ātrumu.

Apzīmējuma maiņa

Šajā nodaļā ir jādara vēl viena lieta, pirms mēs dodamies tālāk. Šīs sadaļas galvenais mērķis bija iepazīstināt mūs ar pāris galvenajiem jēdzieniem un idejām, kuras mēs redzēsim visa šī kursa pirmajā daļā, kā arī ļaus mums sākt virzīties uz robežu.

Pirms oficiāli pārejam uz robežām, atgriezīsimies un darīsim nelielu darbu, kas abas (vai visas trīs, ja kā atsevišķu problēmu iekļaujat ātrumu) problēmas būs saistītas ar vispārīgāku jēdzienu.

Pirmkārt, ievērojiet, ka neatkarīgi no tā, vai mēs vēlējāmies pieskares līniju, momentāno izmaiņu ātrumu vai momentāno ātrumu, katrs no tiem izmantoja tieši to pašu formulu. Proti,

Tam vajadzētu liecināt, ka visas trīs šīs problēmas tad patiešām ir viena un tā pati problēma. Faktiski tas tā ir, kā redzēsim nākamajā nodaļā. Katrā no šiem gadījumiem mēs patiešām strādājam ar vienu un to pašu problēmu, atšķirība ir tikai rezultātu interpretācijā.

Gatavojoties nākamajai sadaļai, kurā mēs to apspriedīsim daudz sīkāk, mums ātri jāmaina apzīmējumi. Šeit to ir vieglāk izdarīt, jo mēs jau esam ieguldījuši pietiekami daudz laika šīm problēmām.

Visās šajās problēmās mēs vēlējāmies noteikt, kas notiek pie (x = a ). Lai to izdarītu, mēs izvēlējāmies citu vērtību (x ) un pievienojām ( eqref). Par to, ko mēs šeit darījām, tas, iespējams, ir intuitīvākais veids, kā to izdarīt. Tomēr, kad mēs sākam aplūkot šīs problēmas kā vienu problēmu ( eqref) nebūs labākā formula, ar kuru strādāt.

Tā vietā mēs vispirms nosakīsim, cik tālu no (x = a ) mēs vēlamies virzīties, un pēc tam definēsim jauno punktu, pamatojoties uz šo lēmumu. Tātad, ja mēs vēlamies pārvietot (h ) attālumu no (x = a ), jaunais punkts būtu (x = a + h ). Tas ir parādīts zemāk esošajā skicē.

Kā mēs redzējām savā darbā iepriekš, ir svarīgi ņemt (x ) vērtības, kas ir abas (x = a ) puses. Šis veids, kā izvēlēties jaunu vērtību (x ), to izdarīs mūsu vietā, kā redzams iepriekš redzamajā skicē. Ja (h & gt 0 ), mēs iegūsim vērtību (x ), kas atrodas pa labi no (x = a ), un, ja (h & lt 0 ), mēs iegūsim vērtību (x ) kas atrodas pa kreisi no (x = a ) un abus dod (x = a + h ).

Tagad ar šo jauno veidu, kā iegūt otro vērtību (x ) ( eqref) kļūs,

Tagad tas attiecas uz noteiktu vērtību (x ), i., (x = a ), un mēs reti tos aplūkosim īpašās (x ) vērtībās. Tātad, mēs veicam iepriekšējā vienādojuma pēdējo soli un aizstājam (a ) ar (x ), lai iegūtu,

Tas dod mums formulu vispārējai (x ) vērtībai, un, šķiet, varētu šķist, ka tas būs pārāk sarežģīts veids, kā rīkoties ar šo lietu. Tomēr, kā mēs redzēsim, ar šo veidlapu bieži būs vieglāk rīkoties nekā ar sākotnējo veidlapu, ( eqref).


Ģeometrija - cietvielu tīkli

A geometry net is a 2-dimensional shape that can be folded to form a 3-dimensional shape or a solid. Or a net is a pattern made when the surface of a three-dimensional figure is laid out flat showing each face of the figure. A solid may have different nets.

Here are some steps to determine whether a net forms a solid:

  1. Make sure that the solid and the net have the same number of faces and that the shapes of the faces of the solid match the shapes of the corresponding faces in the net.
  2. Visualize how the net is to be folded to form the solid and make sure that all the sides fit together properly.

Nets are helpful when we need to find the surface area of the solids.

Nets Of Prisms, Pyramids, Cylinders And Cones

Here are some examples of nets of solids: Prism, Pyramid, Cylinder and Cone. Scroll down the page for more examples and solutions.


What Is The Net Of A Cube?

A cube is a three-dimensional figure with six equal square faces.


How many nets are there for a cube?

There are altogether 11 possible nets for a cube as shown in the following figures.

What is the net of a rectangular prism or cuboid?

A rectangular prism or cuboid is formed by folding a net as shown:

How to draw a net of a rectangular prism or cuboid?

How to create different nets of a cube and rectangular prism?

Nets of a cuboid, triangular prism, cylinder, and square pyramid.
Learn about faces, edges and vertices.

Analyze the net of a cylinder to determine volume and surface area The diagram below shows a net for a cylinder.
a. Suppose the net is assembled. Find the volume of the cylinder.
b. Find the surface area of the cylinder.

How to use nets and 3-dimensional figures to find surface area of cubes and prisms?

Interactive animations for nets of solids

For animations to explore how 3D shapes unfold into nets and how nets fold to form geometric solids, see: 3D Nets Animations

Izmēģiniet zemāk esošo bezmaksas Mathway kalkulatoru un problēmu risinātāju, lai praktizētu dažādas matemātikas tēmas. Izmēģiniet sniegtos piemērus vai ierakstiet savu problēmu un pārbaudiet atbildi, izmantojot detalizētus paskaidrojumus.

Mēs priecājamies par jūsu atsauksmēm, komentāriem un jautājumiem par šo vietni vai lapu. Lūdzu, iesniedziet atsauksmes vai jautājumus, izmantojot mūsu atsauksmju lapu.


You can also put the values into this formula:

New Value &minus Old Value |Old Value| × 100%

(The "|" symbols mean absolute value, so negatives become positive)

Example: There were 200 customers yesterday, and 240 today:

240 &minus 200 |200| × 100% = 40 200 × 100% = 20%

Example: But if there were 240 customers yesterday, and 200 today we would get:

200 &minus 240 |240| × 100% = &minus40 240 × 100% = &minus16.6. %


Three Degrees of Adjectives Exercises With Answers

1. The Positive Degree

The positive degree of an adjective makes no comparison and it just modifies or gives more information about a noun.

2. The Comparative Degree of Adjective

Pievienot “r or er” to the end of a one-syllable adjective.
Use this formula:
Noun/subject pronoun + be (not) + adjective + r/er + than + noun/ object pronoun

  • Ahmad is taller than Ali.
  • He is stronger than me.
  • Sydney is bigger than Melbourne.
  • Melbourne is smaller than Sydney.

Exercise 1:

Complete the sentences below with the correct form of adjectives in parentheses.
1- If you want to be much _________________________ , you should exercise every day. ( healthy)
2- In order to become _____________ than others, some people start criminal activities. (wealthy)
3- My new car is ______________________ than my old one. (pretty)
4- Everyone struggles to have an even _____________ life in the future. (happy)
5- My brother is ______________________ than me. (lucky)
6- She is a little _____________________ than her older sister. (ugly)

  • Healthier
  • Wealthier
  • Prettier
  • Happier
  • luckier
  • uglier

Use more or less before two or more than two syllable adjectives (not ending with y)

Noun/subject pronoun+ be + more/less + adjective + than + noun/object pronoun

  • Japan is more modern than many other countries in Asia.
  • Pakistan is less modern than India.
  • She is more intelligent than him.
  • Jan is more talented than anyone else in his math class.
  • I am less tolerant than you.

Exercise 2:

Make sentences with the comparative form of these adjectives.

Beautiful Tolerant Troublesome stupid
Handsome Patient Good looking Simple
Intelligent Comfortable Hard working Cleaver
Interesting Convenient Surprising Irritating
Argumentative Egotistical Lovely Disturbing
Selfish Confident Talented Delicious
Jealous Cunning Talentless Appetizing
easygoing Romantic Sleepless dārga

3. The Superlative Degree of Adjective

Pievienot est to the end of one syllable adjectives.
Use this formula:
Noun/pronoun + be + the + adjective + est + ROTS

  • Jamal is the tallest boy in our class.
  • She is the smartest girl in her class.

Mainīt y to i and add est to the end of two syllable adjectives ending with y.

  • She is the prettiest girl in her family.
  • He is the wealthiest man in the USA.

Exercise 1:

Make sentences with the superlative degree of these adjectives.

Simple Adjective Comparative degree Superlative degree
big bigger The biggest
small smaller The smallest
tall taller The tallest
crazy crazier The craziest
ugly uglier The ugliest
good labāk The best
bad worse The worst

Use the most or the least before two or more than two syllable adjectives if they do not end with y.
Use this structure:
Noun/pronoun + be + the most/the least + adjective + ROTS

  • Kabul is most congested city in Afghanistan.
  • She is the most intelligent student in our class.

Exercise 2.

Fill in the blanks with the correct form of adjectives in parentheses.

1- Osama was __________________________ guy for the U.S.A. (dangerous)
2- My nephew is ___________________________ than my uncle. (stingy)
3- Sydeny is __________________________ city in Australia. (beautiful)
4- Who is _______________________ man of the world in this century? (rich)
5- What is ___________________ way to become filthy rich in your life? (convenient)
6- My English is not ______________ than yours. (good)
7- Not listening to good advice is one of _________habits of my younger brother. (bad)
8- Our English class is ____________________________ than your math class. (interesting)
9- Learn ESL is one of ______________________ websites in the world. (good)
10- USA is one of ______________ countries in the world. (modern)
11- Can you name __________________________ province of our country? (large)
12- Washington is ___________________________ city in the USA. (expensive)

  1. The most dangerous
  2. Stingier
  3. The most beautiful
  4. The richest
  5. The most convenient
  6. Better
  7. The worst
  8. More interesting
  9. The best
  10. Most modern
  11. The largest
  12. The most expensive

Exercise 3.

Choose the best options from what you learned about the degrees of adjective so far.

1. Tom is feeling very ______.

2. Nokia is a _______ company.

3. Ahmad is _______ than his brother.

4. Amongst the three brothers, Jawed is the ________

5. She will live ______ than him.

6. What about this? Isn’t it _______?

7. The test was ________ than I thought it would be.

8. He is the ________ boy in his class.

9. This locality is ________ than ours.

10. You are so ________, I am sure you can pick this up.

  1. Angry
  2. Good
  3. Faster
  4. Tallest
  5. Longer
  6. Beautiful
  7. More difficult
  8. Oldest
  9. More expensive
  10. Strong

Exercise 4.

Determine which form of the adjective best completes each of the following sentences.

  1. Her (most high, highest) score at bowling was 200.
  2. It goes without saying that Roger’s hand was (larger, more large) than mine.
  3. Jessica was (more good, better) than Jason at solving riddles.
  4. This test tube of water is definitely (clearer, clearest) than the other.
  5. Tomorrow’s weather should be (coolest, cooler) than today’s.
  6. Compared to Darleen’s cats, mine is hardly the (slimmest, slimmer).

When you attempted all the exercises then compare your answers with the correct answers given, find out your mistakes and rectify them. Also, read the following related articles. Moreover, ask your questions about the article using the comment section below.