Raksti

8.1.E: Problēmas ar izmērāmām un elementārām funkcijām ((S, mathcal {M}) ) - matemātika


Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Aizpildiet visu pierādījumu informāciju 2. un 3. korolarijā, kā arī 1. un 2. teorēmā.

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Parādiet, ka ( mathcal {P} ^ { prime} cap P ^ { prime prime} ) ir tāds, kā norādīts 2. definīcijas beigās.

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Ņemot vērā (A subseteq S ) un (f, f_ {m}: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), m = 1,2, ldots, ) let
[
H = A pa kreisi (f_ {m} labajā bultiņā f pa labi)
]
un
[
A_ {m n} = A pa kreisi ( rho ^ { prime} pa kreisi (f_ {m}, f pa labi) < frac {1} {n} pa labi).
]
Pierādi to
(i) (H = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} bigcup_ {k = 1} ^ { infty} bigcap_ {m = k} ^ { infty} A_ {m n}; )
(ii) (H in mathcal {M} ), ja visi (A_ {mn} ) ir ( mathcal {M} ) un ( mathcal {M} ) ir ( sigma ) - gredzens.
[Padoms: (x H ) utt
[
( forall n) ( pastāv k) ( forall m geq k) quad x in A_ {m n}.
]
Kāpēc?]

Vingrinājums ( PageIndex {3 '} )

Veiciet 3. uzdevumu (T = E ^ {*} ) un (f = pm infty ) uz (H ).
[Padoms: ja ( left.f = + infty, A_ {m n} = A left (f_ {m}> n right) cdot right] )

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

( Rightarrow 4 ). Ļaujiet (f: S rightarrow T ) būt ( mathcal {M} ) - elementārs uz (A, ) ar ( mathcal {M} ) a ( sigma ) (S. ) Parādiet sekojošo.
(i) (A (f = a) in mathcal {M}, A (f neq a) in mathcal {M} ).
(ii) Ja (T = E ^ {*}, ), tad
(A (f a), ) un (A (f geq a) )
ir arī ( mathcal {M}, ).
(iii) (( visi B subseteq T) A cap f ^ {- 1} [B] in mathcal {M} ).
[Padoms: Ja
[
A = bigcup_ {i-1} ^ { infty} A_ {i}
]
un ( left.f = a_ {i} text {on} A_ {i}, text {then} A (f = a) text {ir to skaitāmā savienība} A_ {i} text { par kuru} a_ {i} = a. labi] )

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Veiciet uzdevumu (4 ( mathrm {i}) ) mērāmam (f ).
[Padoms: ja (f = lim f_ {m} ) elementārkartēm (f_ {m}, ), tad
[
H = A (f = a) = A pa kreisi (f_ {m} labajā pusē a labajā pusē).
]
Izteikt (H ) tāpat kā uzdevumā (3, ) ar
[
A_ {m n} = A pa kreisi (h_ {m} < frac {1} {n} pa labi),
]
kur (h_ {m} = rho ^ { prime} left (f_ {m}, a right) ) ir elementāri. (Kāpēc?) Pēc tam izmantojiet uzdevumus (4 ( text {ii) un} 3 ( text {ii}).] )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

( Rightarrow 6 ). Ņemot vērā (f, g: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), ) ļautu (h = rho ^ { prime} (f, g), ) t.i.,
[
h (x) = rho ^ { prime} (f (x), g (x)).
]
Pierādiet, ka, ja (f ) un (g ) ir elementāri, vienkārši vai izmērāmi uz (A, ), tad ir arī (h. )
[Padoms: strīdieties tāpat kā 1. teorēmā. Izmantojiet teorēmu (4 text {nodaļā} 3, §15.] )

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

( Rightarrow 7 ). ( left. text {A set} left.B subseteq left (T, rho ^ { prime} right) text {tiek saukts par atdalāmu (in} T right) text {iff} B subseteq overline {D} text {(aizvēršana} D right) ) skaitāmam kopumam (D subseteq T ).
Pierādiet, ka, ja (f: S rightarrow T ) ir ( mathcal {M} ) - izmērāms uz (A, ), tad (f [A] ) ir atdalāms (T. )
[Padoms: (f = lim f_ {m} ) pamata kartēm (f_ {m}; ) sakiet,
[
f_ {m} = a_ {m i} text {on} A_ {m i} in mathcal {M}, quad i = 1,2, ldots
]
Ļaujiet (D ) sastāvēt no visiem (a_ {m mathrm {i}} (m, i = 1,2, ldots); ), tāpēc (D ) ir saskaitāms (kāpēc?) Un ( D subseteq T ).
Pārbaudiet to
[
( visi y in f [A]) ( pastāv x iekšā A) quad y = f (x) = lim f_ {m} (x),
]
ar (f_ {m} (x) D. ) Tādējādi
[
( for y y in f [A]) quad y in overline {D},
]
pēc teorēmas (3 teksts {no nodaļas} 3, §16.] )

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

( Rightarrow 8 ). Turpinošā problēma (7, ) pierāda, ka, ja (B subseteq overline {D} ) un (D = left {q_ {1}, q_ {2}, ldots right }, )
[
( forall n) quad B subseteq bigcup_ {i = 1} ^ { infty} G_ {q_ {i}} left ( frac {1} {n} right),
]
[Padoms: Ja (p in B subseteq overline {D}, ) jebkurā (G_ {p} left ( frac {1} {n} right) ) ir daži (q_ {1 } D; ) tā
[
rho ^ { prime} left (p, q_ {i} right) < frac {1} {n}, text {vai} p in G_ {q_ {i}} left ( frac { 1} {n} pa labi).
]
Tādējādi
[
left. ( forall p in B) quad p in bigcup_ {i-1} ^ { infty} G_ {q_ {i}} left ( frac {1} {n} right) cdot right]
]

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Pierādiet 2. un 3. korolāriju, 1. un (2, ) teorēmu, pieņemot, ka ( mathcal {M} ) ir tikai semiring.

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Veiciet 4. uzdevumu ( mathcal {M} ) - vienkāršām kartēm, pieņemot, ka ( mathcal {M} ) ir tikai gredzens.