Raksti

3.1. Ievads lineārajās funkcijās - matemātika


Iedomājieties, ka kādu dienu augu novietojat zemē un tikai dažas dienas vēlāk konstatējat, ka tas ir divkāršojis savu augstumu. Šie zālāju dzimtas pārstāvji ir visātrāk augošie augi pasaulē. Tika novērots, ka viena bambusa suga katru stundu aug gandrīz 1,5 collas.14 stundu laikā šis bambusa augs aug apmēram 36 collas jeb neticami 3 pēdas! Pastāvīgs izmaiņu ātrums, piemēram, šī bambusa auga augšanas cikls, ir lineāra funkcija.


Attēls ( PageIndex {1} ): Bambusa mežs Ķīnā (kredīts: “JFXie” / Flickr)

Atgādiniet no Funkcijas un funkciju apzīmējuma, ka funkcija ir relācija, kas katram domēna elementam piešķir tieši vienu diapazona elementu. Lineārās funkcijas ir īpašs funkciju veids, ko var izmantot, lai modelētu daudzas reālās lietojumprogrammas, piemēram, augu augšanu laika gaitā. Šajā nodaļā mēs izpētīsim lineārās funkcijas, to grafikus un to, kā tās saistīt ar datiem.

1 www.guinnessworldrecords.com/...growing-plant/


Ievads lineārajā programmēšanā

Lineārā programmēšana izklausās patiešām grūti, bet tas ir tikai veikls veids, kā izmantot matemātiku, lai uzzinātu labāko veidu, kā darīt lietas, piemēram, cik lietas izgatavot vai iegādāties. Tas parasti ietver a lineāro nevienlīdzību sistēma, piezvanīja ierobežojumi, bet galu galā mēs vēlamies kaut ko maksimizēt (piemēram, peļņu) vai kaut ko samazināt (piemēram, izmaksas). Lai ko mēs maksimizētu vai samazinātu, to sauc par mērķa funkcija.

Militārās loģistikas problēmu risināšanai otrā pasaules kara laikā tika izstrādāta lineārā programmēšana. Mūsdienās to plaši izmanto uzņēmējdarbībā, lai samazinātu izmaksas un palielinātu peļņu.

Pirms sākam lineāro programmēšanu, apskatīsim Lineāru nevienlīdzību grafiks ar diviem mainīgajiem.


Kas padara vienādojumu lineāru?

Precīzāk, lineārais vienādojums ir tāds, kas ir atkarīgs tikai no konstantēm un mainīgā, kas paaugstināts līdz pirmajai jaudai. Piemēram, (y = 6x + 2 ) ir lineārs, jo tajā nav kvadrātu, kubu, kvadrātsakņu, sinusu utt. Lineāros vienādojumus vienmēr var manipulēt, lai iegūtu šo formu:

Jūs ne vienmēr redzēsiet tieši tā rakstītus lineārus vienādojumus, taču paturiet prātā, ka mēs varam manipulēt vienādojumi, lai vajadzības gadījumā tos ievietotu noteiktā formā.

Lineāros vienādojumus bieži raksta ar vairāk nekā vienu mainīgo, parasti x un y. Šādiem vienādojumiem būs daudz iespējamo x un y kombināciju, kas darbojas. Kad šie punkti (pazīstami kā koordinātu pāri) ir uzzīmēti uz x-y ass, tie veidos taisnu līniju. Apskatīsim to grafiski zemāk. Abi zīmētie vienādojumi ir lineāri. Ņemiet vērā, ka viens ir formā (y = 3 ) (tas ir atkarīgs tikai no konstantes, 3), un otrs vienādojums ir (y = 0,75x - 0,5 ) (lineārs termins un konstante).

Kā es varu zināt, vai vienādojums ir lineārs?

Vai vienādojums (vai funkcija) ietver kādus kvadrātveida terminus? Kā būtu ar citiem terminiem ar eksponentiem, kas nav 1 (vai tehniski nulle)? Ja funkcijai nav noteikumu, kuru secība ir lielāka par 1 (izdomāts eksponenta teikšanas veids), tad tā ir lineāra!

Ko darīt, ja tam ir žurnāla vai trigera funkcija utt.?

Tie nav lineāri termini. Vienkārši tie nav konstantes (parastie skaitļi) vai mainīgie, kuru eksponents ir 1, tāpēc funkcija nav lineāra. Ja mēs varētu rakstīt sin (x) vai log (x) kā kaut ko lineāru, piemēram, (2x + 3 ), tad mēs to darītu, nevis izmantotu sarežģītas nelineāras funkcijas, piemēram, sinusu un žurnālu! Protams, ja jūs vēl neesat apskatījis šos jēdzienus savā klasē, pat neuztraucieties par to.

Tātad, kā es varu atrisināt lineāro vienādojumu?

Daži lineārie vienādojumi ir patiešām, patiešām viegli atrisināmi. Kā ar šo:

Tas ir lineārs vienādojums, un tas jau ir atrisināts y! Tas ir viegli. nav ko darīt. Bet šis diezgan niecīgais piemērs mums patiešām parāda, ka lineārie vienādojumi var būt diezgan vienkārši, kā arī parāda mūsu mērķi: pārrakstīt vienādojumu tā, lai mainīgais, kuru mēs risinām, būtu vienā pusē, un viss pārējais būtu otrā pusē.

Sperot nelielu soli uz priekšu:

Izmantojot šo vienādojumu, mums vienkārši jāatņem 2 no abām pusēm, lai mūsu vienādojumu ievietotu atrisinātā formā ar y = 2. Jebkura lineārā vienādojuma atrisināšana ir tikai operāciju veikšana vienādības zīmes abās pusēs, līdz vienādojums ir vēlamajā formā (parasti tas tiek atrisināts vienam mainīgajam, piemēram, X vai Y). Darbības ir detalizēti parādītas zemāk:

Kā ar sarežģītākiem vienādojumiem?

Par laimi, izmantojot lineāros vienādojumus, soļi vienmēr ir samērā vienkārši. Nav viena veida, kā to izdarīt, un ar laiku jūs varēsiet pārdomāt lineāro vienādojumu, patiesībā nerakstot katru soli. Izmēģiniet šo pieeju, lai atrisinātu vienādojumus, un noskaidrojiet, vai tas jums darbojas:

  1. Vāciet līdzīgus terminus - tas nozīmē apkopot visus x kopā, visus y kopā un visus parastos skaitļus (pazīstamus kā konstantes) un saskaitīt tos atsevišķi. Piemēram, izteiksme (4x + 2y + 3x-5 + 10 ) kļūst par (7x + 2y + 5 ). Atcerieties, ka jūs varat saskaitīt, atņemt, reizināt vai dalīt, ja vien to darāt gan vienādojuma puses.
  2. Izolējiet mainīgo, kuru vēlaties atrisināt - ja problēma prasa atrisināt y, jums jāiegūst y vienādības zīmes vienā pusē un visi pārējie sīkumi otrā pusē. Šeit jūs varat pāriet no (2y - 6 = 4 ) uz (2y = 10 ).
  3. Noņemiet visu mainīgajam atlikušo koeficientu - ja jūsu atbilde pēc 2. darbības izskatās (5y = 7x - 10 ), vienkārši sadaliet abas puses ar 5, lai iegūtu (y = frac <7x> <5> - frac <10> <2> ).
  4. Pārbaudiet savu atbildi - vai jūsu atbildei šķiet jēga? Vai varat ievietot atbildi sākotnējā vienādojumā un vai tā joprojām darbojas?

Apskatīsim dažus lineāro vienādojumu risināšanas piemērus.

Viena lieta, kas jāpatur prātā, ir tāda, ka jūs to nevarat vienmēr atrisināt vienādojumu ar kaut ko noteiktu, piemēram, y = 5. Tas ir pilnīgi ok, ja y = x + 5, un tas vienkārši nozīmē, ka y ir atkarīgs no x. Faktiski katrai x vērtībai ir precīzi viena y vērtība, no kurām visas veido punktus, kas atrodas uz taisnas līnijas (kā es parādīju sākumā).

1. piemērs:

Ja sākotnējā uzdevumā jūs aizstājat y ar y, iegūsiet 9 = 9, tāpēc tas ir pareizi!

2. piemērs:

3. piemērs:

To visu ietin

Atcerieties, ka lineārie vienādojumi pēc būtības ir vienkārši - nemēģiniet pārdomāt lietas! Tie sastāv tikai no lineāriem terminiem (piemēram, 3x, 2y, y / 2 utt.) Un konstantēm. Ja jūs iestrēgstat, mēģinot vienkāršot vai atrisināt problēmu, vienkārši atcerieties to spert pa vienam solim. Vāciet līdzīgus terminus, apvienojot visus savus mainīgos atsevišķi, pēc tam izolējiet mainīgo, kuru vēlaties atrisināt, un visbeidzot veiciet nepieciešamo papildu matemātiku, lai vienādojuma vienā pusē paliktu tikai & quoty = & quot vai & quotx = & quot;


Matemātika

Foothill piedāvā pilnu matemātikas nodarbību klāstu, tostarp tiešsaistē, universitātes pilsētiņā, hibrīda piegādi un papildu atbalsta iespējas. Ja jums ir jautājumi par individuālajiem akadēmiskajiem un karjeras plāniem, sazinieties ar Konsultāciju nodaļu.

Papildu atbalsta iespējas

MATH 180. KVANTITATĪVA PAMATOŠANA. Studenti varēs izmantot matemātisko pamatojumu personīgajā, profesionālajā un akadēmiskajā dzīvē, izpētīt jaunus kontekstus, izstrādāt un piedāvāt iespējamos risinājumus, apspriest un analizēt piedāvātos plānus un pieņemt lēmumus. Studenti iemācīsies novērtēt dažādu perspektīvu un pieeju izskaidrošanas, izpētes, salīdzināšanas un novērtēšanas sadarbības procesu. Iegremdējoties kontekstualizētajās nodarbībās, studenti praktizēs kvantitatīvo domāšanu, attīstot komunikācijas, kritiskās un radošās domāšanas un skaitļošanas prasmes. Viņi palielinās savas zināšanas un izpratni par sevi, otru un pasauli, pētot kulturāli nozīmīgus kontekstus, piemēram, personīgās finanses, veselība un labsajūta, dalība sabiedrībā un vide. Vairāk informācijas no instruktora.

MATH 248A PRETKALKULA I ATBALSTS TIKAI LAIKĀ. Precīza pieeja galvenajām priekšnoteikumu iemaņām, kompetencēm un jēdzieniem, kas nepieciešami precalculus I. Paredzēts studentiem, kuri specializējas dabaszinātņu, tehnoloģiju, inženierzinātņu un matemātikas specialitātē un kuri vienlaikus ir iekļuvuši MATH 48A Foothill koledžā. Tēmas ietver: pārskatu par skaitļošanas prasmēm, kas attīstītas sākuma un starpposma algebrā, ieskaitot faktoringu, lineāro vienādojumu grafiku, absolūtās vērtības vienādojumu un nevienādību risināšanu, funkciju, tostarp kvadrātisko funkciju, analizēšanu.

MATH 217/17 INTEGRĒTĀ STATISTIKA I un II. Divpakāpju Statveja secība. Ietver statistikas jēdzienus un metodes, īpašu uzmanību pievēršot datu analīzei. Tēmas ietver datu vākšanas metodes, grafisko un skaitlisko aprakstošo statistiku, korelāciju, vienkāršu lineāro regresiju, varbūtības pamatjēdzienus, ticamības intervālus un hipotēzes testus vidējiem un proporcijām, hī kvadrāta testus un ANOVA. Pielietošanas problēmas tiks ņemtas no uzņēmējdarbības, ekonomikas, medicīnas, inženierzinātņu, izglītības, psiholoģijas, socioloģijas un kulturāli atšķirīgām situācijām. Vairāk informācijas no instruktora.

MATH 10 MPS: KĀRTĪBU STATISTIKA ar PAPILDU ATBALSTU. Ievads aprakstošās statistikas modernajās metodēs, ieskaitot centrālās tendences un dispersijas varbūtības izlases sadalījumu hipotēzes testēšanas datu statistisko datu apkopošanu un izklāstu un statistikas secinājumu lineāras regresijas un dispersijas korelācijas analīzi mikrodatoru izmantošanai statistikas aprēķinos. Ilustrācijas ņemtas no uzņēmējdarbības, ekonomikas, medicīnas, inženierzinātņu, izglītības, psiholoģijas, socioloģijas, sociālo zinātņu, dzīvības zinātnes un veselības zinātnes jomām. Vairāk informācijas no instruktora.

Statistika

MATH 217/17 INTEGRĒTĀ STATISTIKA I un II. Divpakāpju Statveja secība. Ietver statistikas jēdzienus un metodes, īpašu uzmanību pievēršot datu analīzei. Tēmas ietver datu vākšanas metodes, grafisko un skaitlisko aprakstošo statistiku, korelāciju, vienkāršu lineāro regresiju, varbūtības pamatjēdzienus, ticamības intervālus un hipotēzes testus vidējiem un proporcijām, hī kvadrāta testus un ANOVA. Pielietošanas problēmas tiks ņemtas no uzņēmējdarbības, ekonomikas, medicīnas, inženierzinātņu, izglītības, psiholoģijas, socioloģijas un kulturāli atšķirīgām situācijām. Vairāk informācijas no instruktora.

MATU 10 MĀJAS STATISTIKA. Ievads aprakstošās statistikas modernajās metodēs, ieskaitot centrālās tendences un dispersijas varbūtības izlases sadalījumu hipotēzes testēšanas datu statistisko datu apkopošanu un izklāstu un statistikas secinājumu lineāras regresijas un dispersijas korelācijas analīzi mikrodatoru izmantošanai statistikas aprēķinos. Ilustrācijas ņemtas no uzņēmējdarbības, ekonomikas, medicīnas, inženierzinātņu, izglītības, psiholoģijas, socioloģijas, sociālo zinātņu, dzīvības zinātnes un veselības zinātnes jomām. Piedāvā pilsētiņā, tiešsaistē un hibrīdā veidā . Video no instruktora.

MATH 10 MPS: KĀRTĪBU STATISTIKA ar PAPILDU ATBALSTU. Ievads aprakstošās statistikas modernajās metodēs, ieskaitot centrālās tendences un dispersijas varbūtības izlases sadalījumu hipotēzes testēšanas datu statistisko datu apkopošanu un izklāstu un statistikas secinājumu lineāras regresijas un dispersijas korelācijas analīzi mikrodatoru izmantošanai statistikas aprēķinos. Ilustrācijas ņemtas no uzņēmējdarbības, ekonomikas, medicīnas, inženierzinātņu, izglītības, psiholoģijas, socioloģijas, sociālo zinātņu, dzīvības zinātnes un veselības zinātnes jomām. Vairāk informācijas no instruktora.

STEM secība

MATAS 48A PRECALCULUS I. Iepazīšanās ar funkcijām un funkciju grupām, ieskaitot lineārās funkcijas, kvadratikas, spēka un radikālās funkcijas, absolūtās vērtības funkcijas, pa daļām definētās funkcijas, šo funkciju pārveidojumus, šo funkciju sastāvu un izmantošanu lietojumprogrammu problēmu risināšanā. Piedāvā pilsētiņā un hibrīds .

MATH 248A JUST-IN-TIME ATBALSTS MATAI 48A. Precīza pieeja galvenajām priekšnoteikumu iemaņām, kompetencēm un jēdzieniem, kas nepieciešami precalculus I. Paredzēts studentiem, kuri specializējas dabaszinātņu, tehnoloģiju, inženierzinātņu un matemātikas specialitātē un kuri vienlaikus ir iekļuvuši MATH 48A Foothill koledžā. Tēmas ietver: pārskatu par skaitļošanas prasmēm, kas izstrādātas sākuma un starpposma algebrā, ieskaitot faktoringu, lineāro vienādojumu grafiku, absolūtās vērtības vienādojumu un nevienādību risināšanu, funkciju, tostarp kvadrātisko funkciju, analizēšanu.

MATH 12 APRĒĶINS BIZNESAM UN EKONOMIKAI. Diferenciālā un integrālā aprēķina metožu izpēte, uzsverot šo metožu pielietošanu uzņēmējdarbības un ekonomikas problēmām. Piedāvā pilsētiņā, tiešsaistē un hibrīdā veidā .

MATAS 48B PRECALCULUS II. Šis kurss ir turpinājums tēmām no MATH 48A. Tēmas ietver polinomu, racionālās, eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas, šo funkciju pārveidojumus un izmantošanu lietojumprogrammu problēmu risināšanā.

MATAS 48C PRECALCULUS III. Šis kurss ir MATH 48B tēmu turpinājums. Tēmas ietver sešas trigonometriskās funkcijas, trigonometriskās identitātes, apgrieztās trigonometriskās funkcijas, trigonometriskos vienādojumus, taisnos trīsstūrus, slīpos trijstūrus, vektorus, parametru vienādojumus un lietojumprogrammas ar dažādām funkcijām.

MATAS 1A KALKULS. Ievads diferenciālā aprēķinā, ieskaitot robežas, atvasinājumus un to pielietojumu līkņu skicēšanai, funkciju saimes un optimizāciju. Piedāvā pilsētiņā un tiešsaistē.

1.B MATEMA KALKULS. Ievads integrālajā aprēķinā, iekļaujot noteiktus un nenoteiktus integrāļus, pirmo un otro pamatteorēmu un to pielietojumu ģeometrijā, fizikā un elementāro diferenciālo vienādojumu risinājumu. Piedāvā pilsētiņā un tiešsaistē .

MATU 1C KALKULS. Iepazīšanās ar vairāku mainīgo funkcijām, ieskaitot vektorus, daļēju diferenciāciju, gradientu, kontūru diagrammas un optimizāciju. Papildu tēmas ir bezgalīgas sērijas, konverģence un Teilora sērijas.

MATU 1.D KALKULS. Ievads vairāku mainīgo, tostarp dubultā, trīskāršā, plūsmas un līnijas integrālu, funkciju integrācijā. Papildu tēmas ir polāras, cilindriskas un sfēriskas koordinātas, parametru noteikšana, vektoru lauki, ceļa neatkarība, novirze un čokurošanās.

MATAS 2A Diferenciālie vienādojumi. Diferenciālvienādojumi un izvēlētās matemātiskās analīzes tēmas.

MATU 2B LINEĀRĀ ALGEBRA. Pirmais kurss lineārajā algebrā, ietverot lineāro vienādojumu, matricu, lineāro transformāciju, determinantu, abstrakto vektoru telpu un apakštelpu, īpašvērtību un īpašivektoru, iekšējo produktu telpu un ortogonalitātes sistēmas, kā arī izvēlētas šo tēmu programmas.

22. MATMA DISKRETĀ MATEMĀTIKA. Kopu teorija, loģika, Būla algebra, pierādīšanas metodes, matemātiskā indukcija, skaitļu teorija, diskrēta varbūtība, kombinatorika, funkcijas, sakarības, rekursija, algoritmu efektivitātes, grafiki, koki.

Īpašas tēmas

MATU 42 MATĒŠANA MĀJAS SKOLAS SKOLOTĀJIEM. Koncentrējas uz kvantitatīvās spriešanas prasmju attīstību, padziļināti, integrēti izpētot matemātikas tēmas, ieskaitot reālo skaitļu sistēmas un apakšsistēmas. Uzsvars tiek likts uz matemātisko jēdzienu un loģiskās spriešanas pielietojumu izpratni un analīzi.

MATH 44 MATMA LIBERĀLĀM MĀKSLĀM. Matemātisko modeļu un citu instrumentu apskats, lai nespeciālistu iepazīstinātu ar kvantitatīvās spriešanas metodēm. Problēmu risināšana ar Polijas metodi ar analītisku, skaitlisku, grafisku un verbālu izmeklēšanu. Matemātisko modeļu atlase, konstruēšana un izmantošana. Kvantitatīvo rezultātu interpretēšana kvalitatīvā kontekstā. Uzsvars uz deduktīvo pamatojumu un formālās loģikas algebrisko, eksponenciālo, logaritmisko un trigonometrisko modeļu varbūtību un normālā sadalījuma datu analīzi un izvēlētās tēmas no diskrētās matemātikas, galīgās matemātikas un statistikas. Vairāk informācijas no instruktora.

67. MATMA PASTIPRINĀTĀ MATEMĀTIKA, KURAS MĀCAS AR MATEMATIKU. Ievads Mathematica matemātikas programmatūrā un tās izmantošana kā skaitļošanas un vizualizācijas rīks matemātikā un statistikā. Mathematica izmantošana problēmu risināšanai, kas ņemti no algebras un statistikas, izmantojot lineāro algebru un diferenciālvienādojumus. Piekļuve Mathematica tiek nodrošināta bez papildu maksas.

MATH 70R NEATKARĪGS PĒTĪJUMS MATEMĀTIKĀ. Nodrošina studentam iespēju paplašināt matemātikas studijas ārpus klases, izpildot projektu vai uzdevumu, ko vieno pēc studenta un pasniedzēja vienošanās.

105. MATEMATERIĀLS. Kvadrātiskās, polinomas, racionālās, radikālās, eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas un izteicieni ar uzsvaru uz grafiku un lietojumiem. Piedāvā pilsētiņā, tiešsaistē un hibrīdā veidā.


Lineārā algebra un statistika

Lineārā algebra ir vērtīgs instruments citās matemātikas nozarēs, īpaši statistikā.

Paredzams, ka studenti, kas studē statistiku, bakalaura līmenī ir redzējuši vismaz vienu semestri lineārās algebras (vai pielietotās algebras).

Ir svarīgi ņemt vērā lineārās algebras ietekmi, ņemot vērā abu lauku pamatu saistību ar lietišķās mašīnmācīšanās jomu.

Daži skaidri statistikas un statistikas metožu lineārās algebras pirkstu nospiedumi ietver:

  • Vektoru un matricu apzīmējumu izmantošana, īpaši ar daudzveidīgo statistiku.
  • Mazāko kvadrātu un svērto mazāko kvadrātu risinājumi, piemēram, lineārai regresijai.
  • Datu matricu vidējā un dispersijas novērtējums.
  • Kovariācijas matrica, kurai ir galvenā loma daudznacionālos Gausa sadalījumos.
  • Galvenā komponentu analīze datu samazināšanai, kas apvieno daudzus no šiem elementiem.

Kā redzat, mūsdienu statistika un datu analīze, vismaz ciktāl tas attiecas uz mašīnmācīšanās praktizētāja interesēm, ir atkarīgs no lineārās algebras izpratnes un rīkiem.


3.1. Ievads lineārajās funkcijās - matemātika

Šai klasei jūs varat izvēlēties vienu no zemāk esošajiem projektiem. Mērķis ir padziļināti izpētīt kursa tēmu. Katrs projekts ir paredzēts komandai 4-6 studentiem. Pirmajos četros projektos vismaz diviem komandas locekļiem ir jābūt programmēšanas pieredzei.

Lineārās spēles

Tikai četri no desmit vidusskolēniem jūtas iesaistīti klasē (Gallup, 2015), un puse studentu jūtas garlaicīgi un noguruši. Īpaši šī tendence ir saistīta ar priekšmetu matemātiku. Pavisam nesena ideja šīs problēmas risināšanai ir matemātikas gamifikācija. Pēc šīs pieejas mēs izstrādājām trīs datorspēles, kas vidusskolas un koledžas studentiem māca matemātiku jautrā un atklātā vidē. Šeit mēs koncentrējāmies uz lineāro algebru, kuras meistarība ir būtiska gandrīz visām pamatzinātnēm. Lai koncentrētos uz algoritmisko pusi, nevis sarežģītus aprēķinus, reālos skaitļus aizstājām ar vienkāršāku skaitļu sistēmu, kuru šajās spēlēs attēlo gabali uz Go dēļa.
Apskatiet šos spēles un lasīt "Matemātika aiz šīm spēlēm".

1. projekts: Uzrakstiet spēles versiju Slaucīt dēli kur ieeja ir nejauša matrica un spēlētājam ir jāsamazina matrica un pēc tam jāievada pareizs risinājuma vektors vai atslēga. Oriģinālās spēles pitona versija ir atrodama zemāk.
2. projekts: Uzrakstiet spēles versiju Matricas labirints.
3. projekts: Uzrakstiet savu spēli, iedvesmojoties no lineārās algebras laukā ar trim cipariem.

    , avots kā .zip (Qirong Li Python versija)
  • Figma un Github faili Slaucīt dēli pieejams pēc pieprasījuma - noteikumi
Rindu samazināšanas algoritms

Rindu samazināšana ir lineāru vienādojumu sistēmas atrisināšanas algoritms. Parasti to saprot kā darbību secību, kas veikta ar atbilstošo koeficientu matricu. Šo metodi var izmantot arī, lai atrastu matricas rangu, aprēķinātu matricas determinantu un aprēķinātu apgrieztās kvadrātiskās matricas apgriezto vērtību. Ķīniešu matemātiķi to zināja jau 179. gadā.

4. projekts: Detalizēti (ar pierādījumiem) aprakstiet rindas samazināšanas algoritmu no klases un to, kā to var izmantot, lai atrastu matricas determinantu. Pēc tam uzrakstiet savu programmu rindu samazināšanas algoritmam. Ieejai jābūt paplašinātai matricai, bet izejai - risinājumu kopai. Papildus rindu samazināšanas algoritmam uzrakstiet programmu, kas atrod matricas determinantu.

Līknes montāža

Līknes pielāgošana ir līknes vai matemātiskās funkcijas konstruēšanas process, kas vislabāk atbilst datu punktu virknei. Līknes pielāgošana var ietvert vai nu interpolāciju, kur nepieciešama precīza atbilstība datiem, vai izlīdzināšanu, kurā tiek konstruēta vienmērīga funkcija, kas aptuveni atbilst datiem. Saistīta tēma ir regresijas analīze, kas vairāk koncentrējas uz statistikas jautājumiem par līknes pielāgošanu. Aptuveno līkni var izveidot, izmantojot Linear Algebra mazākā kvadrāta metodi.

5. projekts: Uzstādiet savu līknes uzstādīšanas problēmu un atrisiniet to. Jūs varētu, piemēram, apskatīt klimata datus Hanoverē vai sagatavot prognozētāju mūsu gala eksāmena rezultātam, pamatojoties uz vidējiem rādītājiem, izmantojot vecāku kursu datus.

  • Lay, D. et al: Lineārā algebra un tās pielietojumi, pārlūkot 6.6. Nodaļa, pēc tam izlasiet to 6. nodaļa
  • Vikipēdija - Līknes montāža
  • Vikipēdija - Vismazākā laukuma metode
  • Datu kopas ir pieejamas pēc pieprasījuma
Plūsma tīklos

Pārejas vai plūsmas tīklos var analizēt, ierakstot informāciju matricā. Sistēmas līdzsvara stāvokļa atrašana nozīmē šīs matricas īpašvektora atrašanu. Šai metodei ir daudz lietojumu. Tādā veidā var, piemēram, izpētīt valūtas maiņas kursus, klientu rindas vai rindas, kas ierodas lidostā, vai noteiktu dzīvnieku sugu populācijas pieaugumu. Uz šo ideju balstās algoritms, kas pazīstams kā PageRank un kas sākotnēji tika piedāvāts interneta meklētājprogrammai Google.

6. projekts: Izlasiet tālāk sniegto informāciju. Pēc tam izveidojiet savu tīklu ar plūsmām un atrodiet sistēmas vienmērīgo stāvokli. Izvēlieties jēgpilnu tīklu un plūsmu (draugu tīkls, smilškastes internets.) Un paskaidrojiet savu rezultātu.


Iespējas

Personalizējiet mācīšanos, izmantojot MyMathLab

MyMathLab ir tiešsaistes mājasdarbu, apmācību un novērtēšanas programma, kas paredzēta darbam ar šo tekstu, lai piesaistītu studentus un uzlabotu rezultātus. MyMathLab ietver piešķiramus algoritmiskos vingrinājumus, pilnu e-grāmatu, interaktīvus skaitļus, rīkus mācību personalizēšanai un daudz ko citu.

  • Tiešsaistes mājasdarbu vingrinājumi sniegt tūlītēju atgriezenisko saiti un atbalstu. Šī sistēma īpaši labi darbojas attiecībā uz prasmēm, kas balstītas uz skaitļošanu. Pasniedzēji var elastīgi izmantot datorizētus, tiešsaistē cilvēkiem pakārtotus vai uz papīra balstītus vingrinājumus, lai palīdzētu attīstīt vairāk konceptuāli pamatotu prasmju.
  • JAUNUMS! Interaktīva e-grāmata izmanto Wolfram CDF Player (bezmaksas Mathematica atskaņotāju). Studenti var mijiedarboties ar skaitļiem un eksperimentēt ar matricām, aplūkojot daudzus piemērus.
  • JAUNUMS! Interaktīvas figūras iedzīvināt lineārās algebras ģeometriju. Izmantojot Wolfram CDF Player, studenti var aplūkot skaitļus un eksperimentēt ar matricām, aplūkojot daudzus piemērus. Šie skaitļi ir pieejami e-grāmatā un kā atsevišķi faili (lai ērti lietotu lekcijas laikā).
  • Mācīšanas un mācīšanās resursi Companion vietnē iekļautie ir iekļauti arī MyMathLab.
  • Agrīna galveno jēdzienu ieviešana: Lineārās algebras pamatidejas tiek ieviestas pirmajās septiņās lekcijās, konkrēti R n , pēc tam pakāpeniski pārbaudīja no dažādiem viedokļiem. Vēlāk šo jēdzienu vispārinājumi parādās kā dabiski pazīstamu ideju paplašinājumi.
  • Lineārās transformācijas veido “diegu”, kas ir ieausta teksta audumā. To izmantošana uzlabo teksta ģeometrisko garšu. Piemēram, 1. nodaļā lineārās transformācijas nodrošina dinamisku un grafisku matricas-vektora reizināšanas skatu.
  • Ortogonalitāte un vismazāk kvadrātu problēmas saņemt visaptverošākas ārstēšanas metodes, nekā tas parasti ir atrodams sākuma tekstos, jo ortogonalitātei ir tik liela nozīme datoru aprēķinos un skaitliskajā lineārajā algebrā un tāpēc, ka praktiskajā darbā tik bieži rodas neatbilstošas ​​lineāras sistēmas.
  • Īpašvērtības tekstā parādās diezgan agriTā kā šis materiāls tiek izplatīts vairāku nedēļu laikā, studentiem ir vairāk laika, lai pārņemtu un pārskatītu šos kritiskos jēdzienus. Īpašās vērtības ir motivētas un piemērotas diskrētām un nepārtrauktām dinamiskām sistēmām, kas norādītas 1.10., 4.8. Un 4.9. Sadaļā un 5. nodaļas piecās sadaļās.
  • Mūsdienu matricas reizināšanas skats tiek parādīts ar definīcijām un pierādījumiem, kas koncentrējas uz matricas kolonnām, nevis uz matricas ierakstiem.
  • Koncentrējieties uz vizualizāciju jēdzieni visā grāmatā palīdz studentiem izprast jēdzienus. Katram galvenajam kursa jēdzienam tiek dota ģeometriskā interpretācija, jo daudzi studenti mācās labāk, kad viņi var vizualizēt ideju.
  • Skaitliskas piezīmes sniedz reālistisku slīpumu tekstam. Studentiem bieži tiek atgādināts par jautājumiem, kas rodas lineārās algebras dzīvē.
  • Pieteikumi ir daudzveidīgi un atbilstoši. Dažas lietojumprogrammas parādās savās sadaļās, citas tiek apskatītas piemēros un vingrinājumos. Katra nodaļa tiek atvērta ar ievada vinjeti, kas nosaka stāvokli dažiem lineārās algebras lietojumiem un nodrošina motivāciju sekojošās matemātikas attīstīšanai.
  • Vingrinājumu komplekti ir rūpīgi izveidoti un sastāv no šādiem elementiem. Katrā sadaļā ir bagātīgs vingrinājumu klāsts, sākot no ikdienas aprēķiniem līdz konceptuāliem jautājumiem un beidzot ar lietojumprogrammām. Novatoriski jautājumi norāda konceptuālas grūtības, kuras autori gadu gaitā ir atraduši studentu darbos.
    • Daži rūpīgi atlasīti Prakses problēmas parādās tieši pirms katra vingrinājumu komplekta. Pilnīgi risinājumi seko vingrinājumu komplektam. Šīs problēmas vai nu koncentrējas uz iespējamām grūtībām vingrinājumu komplektā, vai arī nodrošina vingrinājumu iesildīšanu, un risinājumi bieži satur noderīgus padomus vai brīdinājumus par mājasdarbu.
    • Patiesi / nepatiesi jautājumi parādās uzreiz pēc skaitļošanas vingrinājumiem un mudina studentus lasīt tekstu un domāt kritiski.
    • JAUNUMS! Konceptuālās prakses problēmas un to risinājumi lielākajā daļā sadaļu sniedz uz pierādījumiem vai koncepcijām balstītus piemērus, kurus studenti var pārskatīt.
    • [M] vingrinājumi parādās katrā sadaļā. Tas jāatrisina ar tādas [M] atrix programmas palīdzību kā MATLAB ™, Maple ®, Mathematica ®, MathCad ®, Derive ® vai programmējamiem kalkulatoriem ar matricas iespējām, piemēram, TI-83 Plus ®, TI-86 ®, TI-89 ® un HP-48G ®. Dati šiem vingrinājumiem tiek sniegti tīmeklī.
    • Pārskata lapas un prakses eksāmeni nāk tieši no kursiem, kurus autori ir pasnieguši gadu gaitā.
    • Pieteikumos ietilpst 7 Gadījumu izpēte, kas paplašina katras nodaļas sākumā ieviestās tēmas, un 20 Lietojumprogrammu projekti.
    • Lejupielādējams Darba sākšana ar tehnoloģijām rokasgrāmatas studentiem kalpo kā “ātras sākšanas rokasgrāmata”.
    • Datu faili 900 skaitliskiem vingrinājumiem tekstā, kā arī gadījumu izpēte un lietojuma projekti. Ir pieejami faili MATLAB, Mathematica, Maple un TI kalkulatoriem.
    • Projekti Mathematica, MATLAB un Maple aicina studentus atklāt matemātiskās un skaitliskās pamatidejas lineārajā algebrā.

    Jaunums šajā izdevumā

    Personalizējiet mācīšanos, izmantojot MyMathLab

    MyMathLab ir tiešsaistes mājasdarbu, apmācību un novērtēšanas programma, kas paredzēta darbam ar šo tekstu, lai piesaistītu studentus un uzlabotu rezultātus. MyMathLab ietver piešķiramus algoritmiskos vingrinājumus, pilnu e-grāmatu, interaktīvas figūras, rīkus mācību personalizēšanai un daudz ko citu.

    • Vairāk piešķiramu algoritmisko vingrinājumu ļauj jums izveidot mājas darbus, kas labāk atbilst studentu vajadzībām.
    • Interaktīva e-grāmata izmanto Wolfram CDF Player (bezmaksas Mathematica atskaņotāju). Studenti var mijiedarboties ar skaitļiem un eksperimentēt ar matricām, aplūkojot daudzus piemērus.
    • Interaktīvas figūras iedzīvināt lineārās algebras ģeometriju. Izmantojot Wolfram CDF Player, studenti var aplūkot skaitļus un eksperimentēt ar matricām, aplūkojot daudzus piemērus. Šie skaitļi ir pieejami e-grāmatā un kā atsevišķi faili (lai ērti lietotu lekcijas laikā).
    • Tehnoloģiju vingrinājumi un projekti MATLAB formātā Maple, Mathematica un TI ir atjaunināti, lai atspoguļotu izmaiņas šajās sistēmās. Visi resursi ir pārkārtoti, lai instruktoriem un studentiem tos būtu vieglāk atrast un izmantot.
    • Vairāk nekā 25% vingrinājumi ir jauni vai atjaunināti, īpaši skaitļošanas vingrinājumi. Tās ir veidotas tā, lai atspoguļotu katras sekojamās sadaļas būtību, attīstot studentu pārliecību, vienlaikus izaicinot viņus praktizēt un vispārināt jaunās idejas, ar kurām viņi saskārušies.
    • Konceptuālās prakses problēmas un to risinājumi lielākajā daļā sadaļu sniedz papildu atbalstu uz pierādījumiem vai koncepcijām balstītām mācībām. Papildu norādījumi ir pievienoti arī dažiem teorēmu pierādījumiem teksta pamattekstā.

    3.1. Ievads lineārajās funkcijās - matemātika

    Fraktāļi: Noderīgs skaistums
    (Vispārīgs ievads fraktāļu ģeometrijā)

    "Mākoņi nav sfēras, kalni nav konusi, krasta līnijas nav apļi un miza nav gluda, tāpat zibens nedodas taisnā līnijā."

    Edyta Patrzaleka , Stena Akermana institūts,
    IPO, lietotāju un sistēmu mijiedarbības centrs, Eindhovenas Tehnoloģiju universitāte

    Fraktāļi ir jauna matemātikas un mākslas nozare. Varbūt tas ir iemesls, kāpēc lielākā daļa cilvēku fraktālus atzīst tikai par glītiem attēliem, kas noder kā datora ekrāna foni vai oriģināli pastkaršu raksti. Bet kas viņi ir patiesībā?

    Lielākā daļa dabas fizisko sistēmu un daudzi cilvēku artefakti nav parastās ģeometriskās formas, kas iegūtas no Eiklida. Fraktāla ģeometrija piedāvā gandrīz neierobežotus šo dabas parādību aprakstīšanas, mērīšanas un prognozēšanas veidus. Bet vai ir iespējams definēt visu pasauli, izmantojot matemātiskos vienādojumus?

    Šajā rakstā ir aprakstīts, kā tika izveidoti četri slavenākie fraktāļi, un izskaidrotas vissvarīgākās fraktāļu īpašības, kas fraktālus padara noderīgus dažādām zinātnes jomām.

    Daudzus cilvēkus aizrauj skaisti attēli, kurus sauc par fraktāļiem. Fraktāļu ģeometrija, pārsniedzot tipisko matemātikas uztveri kā sarežģītu, garlaicīgu formulu kopumu, mākslu sajauc ar matemātiku, lai parādītu, ka vienādojumi ir ne tikai skaitļu kopums. Fraktāļus vēl interesantāk padara tas, ka tie ir labākie esošie matemātiskie apraksti
    daudzām dabiskām formām, piemēram, krasta līnijām, kalniem vai dzīvo organismu daļām.

    Lai arī fraktāļu ģeometrija ir cieši saistīta ar datortehniku, daži cilvēki pie fraktāļiem bija strādājuši jau ilgi pirms datoru izgudrošanas. Šie cilvēki bija britu kartogrāfi, kuri saskārās ar problēmu, mērot Lielbritānijas piekrastes garumu. Liela mēroga kartē izmērītā krasta līnija bija aptuveni puse no krasta līnijas garuma, kas mērīts detalizētā kartē. Jo tuvāk viņi skatījās, jo detalizētāka un garāka kļuva krasta līnija. Viņi nesaprata, ka ir atklājuši vienu no fraktāļu galvenajām īpašībām.

    Divas no vissvarīgākajām fraktāļu īpašībām ir sevis līdzība un neskaitļa dimensija.

    Ko nozīmē līdzība ar sevi? Uzmanīgi aplūkojot papardes lapu, pamanīsit, ka katrai mazajai lapai - lielākajai daļai - ir tāda pati forma kā visai papardes lapai. Jūs varat teikt, ka papardes lapa ir līdzīga sev. Tas pats ir ar fraktāļiem: tos var palielināt vairākas reizes, un pēc katra soļa jūs redzēsiet to pašu formu, kas raksturīga tieši šim fraktālim.

    Datu, kas nav vesels skaitlis, ir grūtāk izskaidrot. Classical geometry deals with objects of integer dimensions: zero dimensional points, one dimensional lines and curves, two dimensional plane figures such as squares and circles, and three dimensional solids such as cubes and spheres. However, many natural phenomena are better described using a dimension between two whole numbers. So while a straight line has a dimension of one, a fractal curve will have a dimension between one and two, depending on how much space it takes up as it twists and curves. The more the flat fractal fills a plane, the closer it approaches two dimensions. Likewise, a "hilly fractal scene" will reach a dimension somewhere between two and three. So a fractal landscape made up of a large hill covered with tiny mounds would be close to the second dimension, while a rough surface composed of many medium-sized hills would be close to the third dimension.

    There are a lot of different types of fractals. In this paper I will present two of the most popular types: complex number fractals and Iterated Function System (IFS) fractals.

    Before describing this type of fractal, I decided to explain briefly the theory of complex numbers.

    A complex number consists of a real number added to an imaginary number. It is common to refer to a complex number as a "point" on the complex plane. If the complex number is , the coordinates of the point are a (horizontal - real axis) and b (vertical - imaginary axis).
    The unit of imaginary numbers: .

    Two leading researchers in the field of complex number fractals are Gaston Maurice Julia and Benoit Mandelbrot.

    Gaston Maurice Julia was born at the end of 19th century in Algeria. He spent his life studying the iteration of polynomials and rational functions. Around the 1920s, after publishing his paper on the iteration of a rational function, Julia became famous. However, after his death, he was forgotten.

    In the 1970s, the work of Gaston Maurice Julia was revived and popularized by the Polish-born Benoit Mandelbrot. Inspired by Julia s work, and with the aid of computer graphics, IBM employee Mandelbrot was able to show the first pictures of the most beautiful fractals known today.

    The Mandelbrot set is the set of points on a complex plain. To build the Mandelbrot set, we have to use an algorithm based on the recursive formula:

    separating the points of the complex plane into two categories:

    The image below shows a portion of the complex plane. The points of the Mandelbrot set have been colored black.

    It is also possible to assign a color to the points outside the Mandelbrot set. Their colors depend on how many iterations have been required to determine that they are outside the Mandelbrot set.

    To create the Mandelbrot set we have to pick a point ( C ) on the complex plane. The complex number corresponding with this point has the form:

    After calculating the value of previous expression:

    using zero as the value of , we obtain C as the result. The next step consists of assigning the result to and repeating the calculation: now the result is the complex number . Then we have to assign the value to and repeat the process again and again.

    This process can be represented as the "migration" of the initial point C across the plane. What happens to the point when we repeatedly iterate the function? Will it remain near to the origin or will it go away from it, increasing its distance from the origin without limit? In the first case, we say that C belongs to the Mandelbrot set (it is one of the black points in the image) otherwise, we say that it goes to infinity and we assign a color to C depending on the speed at which the point "escapes" from the origin.

    We can take a look at the algorithm from a different point of view. Let us imagine that all the points on the plane are attracted by both: infinity and the Mandelbrot set. That makes it easy to understand why:

    • points far from the Mandelbrot set rapidly move towards infinity,
    • points close to the Mandelbrot set slowly escape to infinity,
    • points inside the Mandelbrot set never escape to infinity.

    Julia sets are strictly connected with the Mandelbrot set. The iterative function that is used to produce them is the same as for the Mandelbrot set. The only difference is the way this formula is used. In order to draw a picture of the Mandelbrot set, we iterate the formula for each point C of the complex plane, always starting with . If we want to make a picture of a Julia set, C must be constant during the whole generation process, while the value of varies. The value of C determines the shape of the Julia set in other words, each point of the complex plane is associated with a particular Julia set.

    We have to pick a point C ) on the complex plane. The following algorithm determines whether or not a point on complex plane Z ) belongs to the Julia set associated with C , and determines the color that should be assigned to it. To see if Z belongs to the set, we have to iterate the function using . What happens to the initial point Z when the formula is iterated? Will it remain near to the origin or will it go away from it, increasing its distance from the origin without limit? In the first case, it belongs to the Julia set otherwise it goes to infinity and we assign a color to Z depending on the speed the point "escapes" from the origin. To produce an image of the whole Julia set associated with C, we must repeat this process for all the points Z whose coordinates are included in this range:

    The most important relationship between Julia sets and Mandelbrot set is that while the Mandelbrot set is connected (it is a single piece), a Julia set is connected only if it is associated with a point inside the Mandelbrot set. For example: the Julia set associated with is connected the Julia set associated with is not connected (see picture below).

    Iterated Function System (IFS) fractals are created on the basis of simple plane transformations: scaling, dislocation and the plane axes rotation. Creating an IFS fractal consists of following steps:

    1. defining a set of plane transformations,
    2. drawing an initial pattern on the plane (any pattern),
    3. transforming the initial pattern using the transformations defined in first step,
    4. transforming the new picture (combination of initial and transformed patterns) using the same set of transformations,
    5. repeating the fourth step as many times as possible (in theory, this procedure can be repeated an infinite number of times).

    The most famous ISF fractals are the Sierpinski Triangle and the Koch Snowflake.

    This is the fractal we can get by taking the midpoints of each side of an equilateral triangle and connecting them. The iterations should be repeated an infinite number of times. The pictures below present four initial steps of the construction of the Sierpinski Triangle:

    Using this fractal as an example, we can prove that the fractal dimension is not an integer.

    First of all we have to find out how the "size" of an object behaves when its linear dimension increases. In one dimension we can consider a line segment. If the linear dimension of the line segment is doubled, then the length (characteristic size) of the line has doubled also. In two dimensions, if the linear dimensions of a square for example is doubled then the characteristic size, the area, increases by a factor of 4 . In three dimensions, if the linear dimension of a box is doubled then the volume increases by a factor of 8 .

    This relationship between dimension D , linear scaling L and the result of size increasing S can be generalized and written as:

    Rearranging of this formula gives an expression for dimension depending on how the size changes as a function of linear scaling:

    In the examples above the value of D is an integer - 1 , 2 , or 3 - depending on the dimension of the geometry. This relationship holds for all Euclidean shapes. How about fractals?

    Looking at the picture of the first step in building the Sierpinski Triangle, we can notice that if the linear dimension of the basis triangle ( L ) is doubled, then the area of whole fractal (blue triangles) increases by a factor of three ( S ).

    Using the pattern given above, we can calculate a dimension for the Sierpinski Triangle:

    The result of this calculation proves the non-integer fractal dimension.

    To construct the Koch Snowflake, we have to begin with an equilateral triangle with sides of length, for example, 1 . In the middle of each side, we will add a new triangle one-third the size and repeat this process for an infinite number of iterations. The length of the boundary is -infinity. However, the area remains less than the area of a circle drawn around the original triangle. That means that an infinitely long line surrounds a finite area. The end construction of a Koch Snowflake resembles the coastline of a shore.

    Four steps of Koch Snowflake construction:

    Fractal geometry has permeated many area of science, such as astrophysics, biological sciences, and has become one of the most important techniques in computer graphics.

    Nobody really knows how many stars actually glitter in our skies, but have you ever wondered how they were formed and ultimately found their home in the Universe? Astrophysicists believe that the key to this problem is the fractal nature of interstellar gas. Fractal distributions are hierarchical, like smoke trails or billowy clouds in the sky. Turbulence shapes both the clouds in the sky and the clouds in space, giving them an irregular but repetitive pattern that would be impossible to describe without the help of fractal geometry.

    Biologists have traditionally modeled nature using Euclidean representations of natural objects or series. They represented heartbeats as sine waves, conifer trees as cones, animal habitats as simple areas, and cell membranes as curves or simple surfaces. However, scientists have come to recognize that many natural constructs are better characterized using fractal geometry. Biological systems and processes are typically characterized by many levels of substructure, with the same general pattern repeated in an ever-decreasing cascade.

    Scientists discovered that the basic architecture of a chromosome is tree-like every chromosome consists of many 'mini-chromosomes', and therefore can be treated as fractal. For a human chromosome, for example, a fractal dimension D equals 2,34 (between the plane and the space dimension).

    Self-similarity has been found also in DNA sequences. In the opinion of some biologists fractal properties of DNA can be used to resolve evolutionary relationships in animals.

    Perhaps in the future biologists will use the fractal geometry to create comprehensive models of the patterns and processes observed in nature.

    The biggest use of fractals in everyday live is in computer science. Many image compression schemes use fractal algorithms to compress computer graphics files to less than a quarter of their original size.

    Computer graphic artists use many fractal forms to create textured landscapes and other intricate models.

    It is possible to create all sorts of realistic "fractal forgeries" images of natural scenes, such as lunar landscapes, mountain ranges and coastlines. We can see them in many special effects in Hollywood movies and also in television advertisements. The "Genesis effect" in the film "Star Trek II - The Wrath of Khan" was created using fractal landscape algorithms, and in "Return of the Jedi" fractals were used to create the geography of a moon, and to draw the outline of the dreaded "Death Star". But fractal signals can also be used to model natural objects, allowing us to define mathematically our environment with a higher accuracy than ever before.

    Many scientists have found that fractal geometry is a powerful tool for uncovering secrets from a wide variety of systems and solving important problems in applied science. The list of known physical fractal systems is long and growing rapidly.

    Fractals improved our precision in describing and classifying "random" or organic objects, but maybe they are not perfect. Maybe they are just closer to our natural world, not the same as it. Some scientists still believe that true randomness does exist, and no mathematical equation will ever describe it perfectly. So far, there is no way to say who is right and who is wrong.

    Perhaps for many people fractals will never represent anything more than beautiful pictures.


    Introduction Lesson to Straight Line Graphs, Linear Functions and y=mx+c for KS3 Maths

    Download your FREE resource here!
    Introduction Lesson to Straight Line Graphs.

    This lesson introduces the general form of all straight line graphs (y=mx+c), explaining the key features.

    PowerPoint Lesson

    • Coordinate the starter to begin with (make sure audio is turned on, as sound is embedded in slides)
    • Phase 1: generate coordinates from functions
    • Phase 2: plot the coordinates on worksheets
    • Extension: Generate and plot coordinates for two non-linear functions

    KS3 Maths Curriculum Area

    Number
    Reduce a given linear equation in two variables to the standard form y = mx + c calculate and interpret gradients and intercepts of graphs of such linear equations numerically, graphically and algebraically

    Dave Wilson is a head of maths in Bury. You can find his resources on his TES page davewilson and you can follow him on Twitter at @DLWilson_maths.


    Equations Involving One Operation

    Example 1

    Risinājums:

    We can check the solution as follows:

    So, our solution, x = 5, is correct.

    Example 2

    Risinājums:
    Pārbaudiet:

    So, our solution, x = 10, is correct.

    Example 3

    Risinājums:
    Pārbaudiet:

    So, our solution, x = 3, is correct.

    Example 4

    Risinājums:
    Pārbaudiet:

    So, our solution, x = 15, is correct.

    Key Terms

    Copyright 2000-2020 mathsteacher.com Pty Ltd. All rights reserved.
    Australian Business Number 53 056 217 611

    Please read the Terms and Conditions of Use of this Website and our Privacy and Other Policies.
    If you experience difficulties when using this Website, tell us through the feedback form or by phoning the contact telephone number.


    Skatīties video: Funkcijas matemātikas olimpiādēs , MMU-3 (Decembris 2021).