Raksti

4.3.1: Elementārā mehānika (vingrinājumi) - matemātika


Ja vien nav norādīts citādi, pieņemsim, ka gravitācijas spēka lielums objektam ar masu (m ) ir nemainīgs un vienāds ar (mg ). Vingrinājumos, kas saistīti ar vertikālu kustību, augšupvērstā virzienā jābūt pozitīvam.

Q4.3.1

1. Ugunsdzēsējs, kura svars ir (192 ) lb, slīd lejup bezgalīgi garā uguns stabā, kas iedarbojas ar berzes pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls viņa ātrumam, ar (k = 2,5 ) lb-s / pēdām. Pieņemot, ka viņš sāk no atpūtas, atrodiet savu ātrumu kā laika funkciju un atrodiet savu galīgo ātrumu.

2. Ugunsdzēsēja, kuras svars ir (192 ) lb, slīd lejup bezgalīgi garā uguns stabā, kurš ar proporcionalitātes konstanti (k ) iedarbojas ar berzes pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātrumam. Atrodiet (k ), ņemot vērā, ka viņas galīgais ātrums ir (- 16 ) ft / s, un pēc tam atrodiet ātrumu (v ) kā funkciju (t ). Pieņemsim, ka viņa sāk no atpūtas.

3. Laiva sver (64 000 ) lb. Tās propellers rada nemainīgu vilci (50 000 ) lb, un ūdens iedarbojas ar pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātrumam, ar (k = 2000 ) lb-s / pēdas Pieņemot, ka laiva sākas no atpūtas, atrodiet tās ātrumu kā laika funkciju un atrodiet gala ātrumu.

4. Pastāvīgs horizontāls spēks (10 ​​) N izspiež (20 ) kg masu caur barotni, kas pretojas tās kustībai ar (. 5 ) N par katru ātruma m / s. Masas sākotnējais ātrums ir (7 ) m / s virzienā, kas ir pretējs pieliktā spēka virzienam. Atrodiet masas ātrumu (t> 0 ).

5. Akmens, kas sver (1/2 ) lb, tiek izmests uz augšu no sākotnējā (5 ) pēdu augstuma ar sākotnējo ātrumu (32 ) ft / s. Gaisa pretestība ir proporcionāla ātrumam ar (k = 1/128 ) lb-s / pēdām. Atrodiet maksimālo augstumu, ko sasniedz akmens.

6. A (3200 ) - lb automašīna pārvietojas ar ātrumu (64 ) ft / s uz leju par (30 ) - pakāpes pakāpi, kad beidzas degviela. Atrodiet tā ātrumu pēc tam, ja berze rada pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātruma kvadrātam, ar (k = 1 mbox {lb-s} ^ 2 / { mbox ft} ^ 2 ). Atrodiet arī tā gala ātrumu.

7. A (96 ) lb svars tiek nomests no atpūtas vidē, kas iedarbojas ar pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātrumam. Atrodiet tā ātrumu kā laika funkciju, ja tā gala ātrums ir (- 128 ) ft / s.

8. Objekts ar masu (m ) pārvietojas vertikāli caur barotni, kas iedarbojas ar pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātrumam. Ļaujiet (y = y (t) ) būt objekta augstumam brīdī (t ) ar (y (0) = y_0 ). Izmantojiet 4.3.1 piemēra rezultātus, lai to parādītu

[y (t) = y_0 + {m virs k} (v_0-v-gt). nonumber ]

9. Objekts ar masu (m ) tiek palaists vertikāli uz augšu ar sākotnējo ātrumu (v_0 ) no Zemes virsmas ( (y_0 = 0 )) vidē, kas iedarbojas ar pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātrumam. Atrodiet laiku (T ), kad objekts sasniedz maksimālo augstumu (y_m ). Pēc tam izmantojiet 4.3.8. Uzdevums lai atrastu (y_m ).

10. Objekts, kas sver (256 ) lb, tiek nomests no atpūtas vidē, kas iedarbojas ar pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātruma kvadrātam. Pretošanās spēka lielums ir (1 ) lb, kad (| v | = 4 mbox {ft / s} ). Atrodiet (v>) (t> 0 ) un atrodiet tā gala ātrumu.

11. Objektam ar masu (m ) tiek piešķirts sākotnējais ātrums (v_0 le0 ) vidē, kas iedarbojas ar pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātruma kvadrātam. Atrodiet objekta ātrumu (t> 0 ) un atrodiet tā gala ātrumu.

12. Objekts ar masu (m ) tiek palaists vertikāli uz augšu ar sākotnējo ātrumu (v_0 ) vidē, kas iedarbojas ar pretestības spēku, kura lielums ir proporcionāls ātruma kvadrātam.

  1. Atrodiet laiku (T ), kad objekts sasniedz maksimālo augstumu.
  2. Izmantojiet 4.3.11. Uzdevums lai atrastu objekta ātrumu (t> T ).

13. Objektam ar masu (m ) tiek piešķirts sākotnējais ātrums (v_0 le0 ) vidē, kas pielieto formas pretestības spēku (a | v | / (1+ | v |) ) , kur (a ) ir pozitīva konstante.

  1. Uzstādiet diferenciālvienādojumu objekta ātrumam.
  2. Izmantojiet savu iecienīto skaitlisko metodi, lai atrisinātu vienādojumu, kuru atradāt a), lai pārliecinātu sevi, ka pastāv unikāls skaitlis (a_0 ), piemēram, ka ( lim_ {t to infty} s (t) = infty ), ja (a le a_0 ) un ( lim_ {t to infty} s (t) ) pastāv (galīgi), ja (a> a_0 ). (Mēs sakām, ka (a_0 ) ir bifurkācijas vērtība no (a ).) Mēģiniet atrast (a_0 ) un ( lim_ {t to infty} s (t) ) gadījumā, ja (a> a_0 ).

14. Masas (m ) objekts iekrīt vidē, kas iedarbojas uz pretestības spēku (f = f (s) ), kur (s = | v | ) ir objekta ātrums. Pieņemsim, ka (f (0) = 0 ) un (f ) tiek stingri palielināti un diferencējami uz ((0, infty) ).

  1. Uzrakstiet diferenciālvienādojumu objekta ātrumam (s = s (t) ). Uztveriet to, ņemot vērā to, ka visi šī vienādojuma risinājumi ar (s (0) ge0 ) ir definēti visiem (t> 0 ) (kas ir jēgpilni fizisku iemeslu dēļ).
  2. Parādiet, ka, ja ( lim_ {s to infty} f (s) le mg ), tad ( lim_ {t to infty} s (t) = infty ).
  3. Parādiet, ka, ja ( lim_ {s to infty} f (s)> mg ), tad ( lim_ {t to infty} s (t) = s_T ) (termināla ātrums), kur ( f (s_T) = mg ) ..

15. A (100 ) - g masa ar sākotnējo ātrumu (v_0 le0 ) iekrīt vidē, kas izdara pretestības spēku, kas proporcionāls ātruma ceturtajai jaudai. Pretestība ir (. 1 ) N, ja ātrums ir (3 ) m / s.

  1. Iestatiet masas ātruma (v ) sākotnējās vērtības problēmu (t> 0 ).
  2. Izmantot 4.3.14. Uzdevums (c) noteikt objekta gala ātrumu.
  3. Lai apstiprinātu atbildi uz b) apakšpunktu, izmantojiet kādu no 3. nodaļā pētītajām skaitliskajām metodēm, lai aprēķinātu aptuvenos (a) sākotnējās vērtības problēmas ([0,1] ) (sekundes) risinājumus ar sākotnējām vērtībām (v_0 = 0 ), (- 2 ), (- 4 ),…, (- 12 ). Uzrādiet savus rezultātus grafiskā formā, līdzīgi kā 4.3.3.

16. A (64 ) - lb objekts ar sākotnējo ātrumu (v_0 le0 ) izkrīt cauri blīvam šķidrumam, kas izdara pretestības spēku, kas proporcionāls ātruma kvadrātsaknei. Ja ātrums ir (16 ) ft / s, pretestība ir (64 ) lb.

  1. Iestatiet masas ātruma (v ) sākotnējās vērtības problēmu (t> 0 ).
  2. Izmantot 4.3.14. Uzdevums (c) noteikt objekta gala ātrumu.
  3. Lai apstiprinātu savu atbildi uz b) punktu, izmantojiet kādu no 3. nodaļā pētītajām skaitliskajām metodēm, lai aprēķinātu aptuvenos (a) sākotnējās vērtības problēmas ([0,4] ) (sekundes) risinājumus ar sākotnējām vērtībām (v_0 = 0 ), (- 5 ), (- 10 ),…, (- 30 ). Uzrādiet savus rezultātus grafiskā formā, kas līdzīga 4.3.3. Attēlam.

Q4.3.2

In Vingrinājumi 4.3.17-4.3.20, pieņemam, ka gravitācijas dēļ spēku piešķir Ņūtona gravitācijas likums. Ejiet uz augšu, lai būtu pozitīvs.

17. Kosmosa zonde jāuzsāk no kosmosa stacijas (200 ) jūdzes virs Zemes. Nosakiet tā evakuācijas ātrumu jūdzēs / s. Pieņemiet, ka Zemes rādiuss ir (3960 ) jūdzes.

18. No Mēness, kura rādiuss ir aptuveni (1080 ) jūdzes, jāpalaiž kosmosa transportlīdzeklis. Paātrinājums gravitācijas dēļ Mēness virsmā ir aptuveni (5,31 ) ft / s (^ 2 ). Atrodiet evakuācijas ātrumu jūdzēs / s.

19.

  1. Parādiet, ka (4.3.27. Vienādojumu) var pārrakstīt kā [v ^ 2 = {h-y over y + R} v ^ 2_e + v_0 ^ 2. Nonumber ]
  2. Parādiet, ka, ja (v_0 = rho v_e ) ar (0 le rho <1 ), tad kosmosa transportlīdzekļa maksimālais augstums (y_m ) ir [y_m = {h + R rho ^ 2 virs 1- rho ^ 2}. Nonumber ]
  3. Pieprasot, lai (v (y_m) = 0 ), izmantojiet (4.3.26. Vienādojums), lai secinātu, ka, ja (v_0
  4. No c) seciniet, ka, ja (v

20. Bēgšanas ātruma apspriešanā apskatītajā situācijā parādiet, ka ( lim_ {t to infty} y (t) = infty ) ja (v (t)> 0 ) visiem ( t> 0 ).