Raksti

15.5E: Divergence un čokurošanās (vingrinājumi) - matemātika


Turpmākajiem vingrinājumiem nosakiet, vai apgalvojums ir Patiesi vai Nepatiesa.

1. Ja ( vecs F: mathbb {R} ^ 3 rightarrow mathbb {R} ^ 3 ) koordinātu funkcijām ir nepārtraukti sekundāri daļēji atvasinājumi, tad ( text {curl} , ( text {div } , vecs F) ) ir vienāds ar nulli.

2. ( vecs nabla cdot (x , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k}) = 1 ).

Atbilde:
Nepatiesa

3. Visi vektora lauki formā ( vecs F (x, y, z) = f (x) , mathbf { hat i} + g (y) , mathbf { hat j} + h (z ) , mathbf { hat k} ) ir konservatīvi.

4. Ja ( text {curl} , vecs F = vecs 0 ), tad ( vecs F ) ir konservatīvs.

Atbilde:
Patiesi

5. Ja ( vecs F ) ir nemainīgs vektora lauks, tad ( text {div} , vecs F = 0 ).

6. Ja ( vecs F ) ir nemainīgs vektora lauks, tad ( text {curl} , vecs F = vecs 0 ).

Atbilde:
Patiesi

Lai veiktu šādus vingrinājumus, atrodiet ( vecs F ) čokurošanos.

7. ( vecs F (x, y, z) = xy ^ 2z ^ 4 , mathbf { hat i} + (2x ^ 2y + z) , mathbf { hat j} + y ^ 3 z ^ 2 , mathbf { hat k} )

8. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 z , mathbf { hat i} + y ^ 2 x , mathbf { hat j} + (y + 2z) , mathbf { hat k} )

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = , mathbf { hat i} + x ^ 2 , mathbf { hat j} + y ^ 2 , mathbf { hat k} )

9. ( vecs F (x, y, z) = 3xyz ^ 2 , mathbf { hat i} + y ^ 2 sin z , mathbf { hat j} + xe ^ {2z} , mathbf { hat k} )

10. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 yz , mathbf { hat i} + xy ^ 2 z , mathbf { hat j} + xyz ^ 2 , mathbf { cepure k} )

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = (xz ^ 2 - xy ^ 2) , mathbf { hat i} + (x ^ 2 y - yz ^ 2) , mathbf { hat j } + (y ^ 2z - x ^ 2z) , mathbf { hat k} )

11. ( vecs F (x, y, z) = (x , cos y) , mathbf { hat i} + xy ^ 2 , mathbf { hat j} )

12. ( vecs F (x, y, z) = (x - y) , mathbf { hat i} + (y - z) , mathbf { hat j} + (z - x) , mathbf { hat k} )

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = , mathbf { hat i} + , mathbf { hat j} + , mathbf { hat k} )

13. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + x ^ 2y ^ 2z ^ 2 , mathbf { hat j} + y ^ 2z ^ 3 , mathbf { hat k} )

14. ( vecs F (x, y, z) = xy , mathbf { hat i} + yz , mathbf { hat j} + xz , mathbf { hat k} )

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = - y , mathbf { hat i} - z , mathbf { hat j} - x , mathbf { hat k} )

15. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 , mathbf { hat i} + y ^ 2 , mathbf { hat j} + z ^ 2 , mathbf { hat k } )

16. ( vecs F (x, y, z) = ax , mathbf { hat i} + by , mathbf { hat j} + c , mathbf { hat k} ) konstantēm (a, , b, , c ).

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = vecs 0 )

Turpmākajiem vingrinājumiem atrodiet ( vecs F ) atšķirības.

17. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 z , mathbf { hat i} + y ^ 2 x , mathbf { hat j} + (y + 2z) , mathbf { hat k} )

18. ( vecs F (x, y, z) = 3xyz ^ 2 , mathbf { hat i} + y ^ 2 sin z , mathbf { hat j} + xe ^ 2 , mathbf { cepure k} )

Atbilde:
( text {div} , vecs F = 3yz ^ 2 + 2y , sin sin + 2xe ^ {2z} )

19. ( vecs {F} (x, y) = ( sin x) , mathbf { hat i} + ( cos y) , mathbf { hat j} )

20. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 , mathbf { hat i} + y ^ 2 , mathbf { hat j} + z ^ 2 , mathbf { hat k } )

Atbilde:
( text {div} , vecs F = 2 (x + y + z) )

21. ( vecs F (x, y, z) = (x - y) , mathbf { hat i} + (y - z) , mathbf { hat j} + (z - x) , mathbf { hat k} )

22. ( vecs {F} (x, y) = dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , mathbf { hat i} + dfrac {y} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} , mathbf { hat j} )

Atbilde:
( text {div} , vecs F = dfrac {1} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} )

23. ( vecs {F} (x, y) = x , mathbf { hat i} - y , mathbf { hat j} )

24. ( vecs F (x, y, z) = ax , mathbf { hat i} + by , mathbf { hat j} + c , mathbf { hat k} ) konstantēm (a, , b, , c ).

Atbilde:
( text {div} , vecs F = a + b )

25. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + x ^ 2y ^ 2z ^ 2 , mathbf { hat j} + y ^ 2z ^ 3 , mathbf { hat k} )

26. ( vecs F (x, y, z) = xy , mathbf { hat i} + yz , mathbf { hat j} + xz , mathbf { hat k} )

Atbilde:
( text {div} , vecs F = x + y + z )

Veicot 27. un 28. vingrinājumu, nosakiet, vai katra no dotajām skalārajām funkcijām ir harmoniska.

27. (u (x, y, z) = e ^ {- x} ( cos y - sin y) )

28. (w (x, y, z) = (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {- 1/2} )

Atbilde:
Harmonika

29. Ja ( vecs F (x, y, z) = 2 , mathbf { hat i} + 2x j + 3y k ) un ( vecs G (x, y, z) = x , mathbf { hat i} - y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ), atrodiet ( text {curl} , ( vecs F reizes vecs G ) ).

30. Ja ( vecs F (x, y, z) = 2 , mathbf { hat i} + 2x j + 3y k ) un ( vecs G (x, y, z) = x , mathbf { hat i} - y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ), atrodiet ( text {div} , ( vecs F reizes vecs G ) ).

Atbilde:
( text {div} , ( vecs F reizes vecs G) = 2z + 3x )

31. Atrodiet ( text {div} , vecs F ), ņemot vērā, ka ( vecs F = vecs nabla f ), kur (f (x, y, z) = xy ^ 3z ^ 2 ).

32. Atrodiet vektora lauka ( vecs F ) novirzi ( vecs F (x, y, z) = (y ^ 2 + z ^ 2) (x + y) , mathbf { hat i} + (z ^ 2 + x ^ 2) (y + z) , mathbf { hat j} + (x ^ 2 + y ^ 2) (z + x) , mathbf { hat k} ) .

Atbilde:
( text {div} , vecs F = 2r ^ 2 )

33. Atrodiet vektora lauka ( vecs F ) novirzi ( vecs F (x, y, z) = f_1 (y, z) , mathbf { hat i} + f_2 (x, z) , mathbf { hat j} + f_3 (x, y) , mathbf { hat k} ).

34. - 36. vingrinājumam izmantojiet (r = | vecs r | ) un ( vecs r (x, y, z) = langle x, y, z rangle ).

34. Atrodiet ( text {curl} , vecs r )

Atbilde:
( text {curl} , vecs r = vecs 0 )

35. Atrodiet ( text {curl} , dfrac { vecs r} {r} ).

36. Atrodiet ( text {curl} , dfrac { vecs r} {r ^ 3} ).

Atbilde:
( text {curl} , dfrac { vecs r} {r ^ 3} = vecs 0 )

37. Ļaujiet ( vecs {F} (x, y) = dfrac {-y , mathbf { hat i} + x , mathbf { hat j}} {x ^ 2 + y ^ 2} ), kur ( vecs F ) ir definēts uz ( big {(x, y) in mathbb {R} | (x, y) neq (0,0) big } ) . Atrodiet ( text {curl} , vecs F ).

Turpmākajiem vingrinājumiem izmantojiet datora algebras sistēmu, lai atrastu doto vektoru lauku čokurošanos.

38. [T] ( vecs F (x, y, z) = arctan left ( dfrac {x} {y} right) , mathbf { hat i} + ln sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , mathbf { hat j} + , mathbf { hat k} )

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = dfrac {2x} {x ^ 2 + y ^ 2} , mathbf { hat k} )

39. [T] ( vecs F (x, y, z) = sin (x - y) , mathbf { hat i} + grēks (y - z) , mathbf { hat j} + sin (z - x) , mathbf { hat k} )

Turpmākajiem vingrinājumiem atrodiet ( vecs F ) novirzi dotajā punktā.

40. ( vecs F (x, y, z) = , mathbf { hat i} + , mathbf { hat j} + , mathbf { hat k} ) pie ((2, -1, 3) )

Atbilde:
( text {div} , vecs F = 0 )

41. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ) pie ( (1, 2, 3) )

42. ( vecs F (x, y, z) = e ^ {- xy} , mathbf { hat i} + e ^ {xz} , mathbf { hat j} + e ^ {yz} , mathbf { hat k} ) pie ((3, 2, 0) )

Atbilde:
( text {div} , vecs F = 2 - 2e ^ {- 6} )

43. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ) pie ( (1, 2, 1) )

44. ( vecs F (x, y, z) = e ^ x sin y , mathbf { hat i} - e ^ x cos y , mathbf { hat j} ) pie (( 0, 0, 3) )

Atbilde:
( text {div} , vecs F = 0 )

45. – 49. Vingrinājumam atrodiet ( vecs F ) čokurošanos dotajā punktā.

45. ( vecs F (x, y, z) = , mathbf { hat i} + , mathbf { hat j} + , mathbf { hat k} ) pie ((2, -1, 3) )

46. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ) pie ( (1, 2, 3) )

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = mathbf { hat j} - 3 , mathbf { hat k} )

47. ( vecs F (x, y, z) = e ^ {- xy} , mathbf { hat i} + e ^ {xz} , mathbf { hat j} + e ^ {yz} , mathbf { hat k} ) pie ((3, 2, 0) )

48. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ) pie ( (1, 2, 1) )

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = 2 , mathbf { hat j} - , mathbf { hat k} )

49. ( vecs F (x, y, z) = e ^ x sin y , mathbf { hat i} - e ^ x cos y , mathbf { hat j} ) pie (( 0, 0, 3) )

50. Ļaujiet ( vecs F (x, y, z) = (3x ^ 2 y + az) , mathbf { hat i} + x ^ 3 , mathbf { hat j} + (3x + 3z ^ 2) , mathbf { hat k} ). Par kādu (a ) vērtību ( vecs F ) ir konservatīvs?

Atbilde:
(a = 3 )

51. Dotais vektora lauks ( vecs {F} (x, y) = dfrac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} langle -y, x rangle ) domēnā (D = dfrac { mathbb {R} ^ 2} { {(0,0) }} = liels {(x, y) in mathbb {R} ^ 2 | (x, y) neq (0,0) liels } ), vai ( vecs F ) ir konservatīvs?

52. Dotais vektora lauks ( vecs {F} (x, y) = dfrac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} langle x, y rangle ) domēnā (D = dfrac { mathbb {R} ^ 2} { {(0,0) }} ), vai ( vecs F ) ir konservatīvs?

Atbilde:
( vecs F ) ir konservatīvs.

53. Atrodiet darbu, ko paveicis spēka lauks ( vecs {F} (x, y) = e ^ {- y} , mathbf { hat i} - xe ^ {- y} , mathbf { hat j } ), pārvietojot objektu no (P (0, 1) ) uz (Q (2, 0) ). Vai spēka lauks ir konservatīvs?

54. Aprēķināt novirzi ( vecs F (x, y, z) = ( sinh x) , mathbf { hat i} + ( cosh y) , mathbf { hat j} - xyz , mathbf { hat k} ).

Atbilde:
( text {div} , vecs F = cosh x + sinh y - xy )

55. Aprēķiniet ( text {curl} , vecs F = ( sinh x) , mathbf { hat i} + ( cosh y) , mathbf { hat j} - xyz , mathbf { hat k} ).

Veicot šādus vingrinājumus, apsveriet stingru ķermeni, kas rotē ap (x ) asi pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar nemainīgu leņķa ātrumu ( vecs omega = langle a, b, c rangle ). Ja (P ) ir ķermeņa punkts, kas atrodas ( vecs r = x , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ), ātrumu pie (P ) izsaka vektora lauks ( vecs F = vecs omega times vecs r ).

56. Express ( vecs F ) izteiksmē (, mathbf { hat i}, ; , mathbf { hat j}, ) un (, mathbf { hat k} ) vektori.

Atbilde:
( vecs F = (bz - cy) , mathbf { hat i} + (cx - az) , mathbf { hat j} + (ay - bx) , mathbf { hat k} )

57. Atrodiet ( text {div} , F ).

58. Atrast ( text {curl} , F )

Atbilde:
( text {curl} , vecs F = 2 vecs omega )

Turpmākajos vingrinājumos pieņemsim, ka ( vecs nabla cdot vecs F = 0 ) un ( vecs nabla cdot vecs G = 0 ).

59. Vai ( vecs F + vecs G ) atšķirības obligāti nav?

60. Vai ( vecs F reizes vecs G ) vienmēr nav nulles atšķirību?

Atbilde:
( vecs F reizes vecs G ) nav nulles atšķirību.

Turpmākajos vingrinājumos pieņemsim, ka cietam objektam ( mathbb {R} ^ 3 ) ir temperatūras sadalījums, ko sniedz (T (x, y, z) ). Siltuma plūsmas vektora lauks objektā ir ( vecs F = - k vecs nabla T ), kur (k> 0 ) ir materiāla īpašība. Siltuma plūsmas vektors ir vērsts pretējā virzienā pret gradientu, kas ir lielākās temperatūras pazemināšanās virziens. Siltuma plūsmas vektora novirze ir ( vecs nabla cdot vecs F = -k vecs nabla cdot vecs nabla T = - k vecs nabla ^ 2 T ).

61. Aprēķiniet siltuma plūsmas vektora lauku.

62. Aprēķiniet atšķirību.

Atbilde:
( vecs nabla cdot vecs F = -200 k [1 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)] e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} )

63. [T] Apsveriet rotācijas ātruma lauku ( vecs v = langle 0,10z, -10y rangle ). Ja lāpstiņu novieto plaknē (x + y + z = 1 ) ar asi, kas ir normāla šai plaknei, izmantojot datora algebras sistēmu, aprēķiniet, cik ātri lāpstiņa griežas apgriezienos laika vienībā.

Gilberts Strangs (MIT) un Edvīns “Džeds” Hermans (Hārvijs Muds) ar daudziem līdzautoriem. Šis OpenStax saturs ir licencēts ar CC-BY-SA-NC 4.0 licenci. Lejupielādējiet bez maksas vietnē http://cnx.org.