Raksti

6.5. Sadaliet monogrāfijas


Mācību mērķi

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot eksponentu īpašību Quotient
  • Vienkāršojiet izteicienus ar nulles eksponentiem
  • Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot jaudas rekvizīta koeficientu
  • Vienkāršojiet izteicienus, pielietojot vairākas īpašības
  • Sadaliet monomālus

Piezīme

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Vienkāršojiet: ( dfrac {8} {24} ).
    Ja esat nokavējis šo problēmu, pārskatiet 1.6.4. Uzdevumu.
  2. Vienkāršojiet: ((2m ^ 3) ^ 5 ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet 6.2.22. Uzdevumu.
  3. Vienkāršojiet: ( dfrac {12x} {12y} )
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet vingrinājumu 1.6.10.

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot eksponentu rekvizītu Quotient

Iepriekš šajā nodaļā mēs izstrādājām eksponentu īpašības reizināšanai. Mēs apkopojam šīs īpašības zemāk.

Kopsavilkums par multiplikācijas eksponentu īpašībām

Ja a un b ir reāli skaitļi, un m un n ir veseli skaitļi, tad

[ begin {array} {ll} { textbf {Product Property}} un {a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n}} { textbf {Power Property} } un { pa kreisi (a ^ {m} pa labi) ^ {n} = a ^ {mn}} { textbf {Produkts enerģijai}} un {(ab) ^ {m} = a ^ { m} b ^ {m}} beigu {masīvs} ]

Tagad mēs aplūkosim dalītāja eksponenta īpašības. Jūs esat iemācījies vienkāršot frakcijas, sadalot kopējos faktorus no skaitītāja un saucēja, izmantojot rekvizītu Ekvivalentās frakcijas. Šis rekvizīts arī palīdzēs jums strādāt ar algebras frakcijām, kas arī ir koeficienti.

LĪDZEKĻU LĪDZEKĻU ĪPAŠUMS

Ja a, b un c ir veseli skaitļi, kur (b neq 0, c neq 0 ).

[ text {then} quad dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} quad text {un} quad dfrac {a cdot c} { b cdot c} = dfrac {a} {b} ]

Tāpat kā iepriekš, mēs centīsimies atrast īpašumu, aplūkojot dažus piemērus.

( begin {masīvs} {lclc} { text {Apsveriet}} & dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}} & text {un} & dfrac {x ^ {2}} {x ^ {3}} { text {Ko tie nozīmē?}} & dfrac {x cdot x cdot x cdot x cdot x} {x cdot x} && dfrac {x cdot x} {x cdot x cdot x} { text {Izmantojiet rekvizītu Ekvivalenta frakcijas.}} un { dfrac {x not cdot x not cdot x cdot x cdot x} { x not cdot not x}} && dfrac { not x cdot not x cdot 1} {x not cdot not x cdot x} { text {Vienkāršot.}} & {x ^ {3}} & & dfrac {1} {x} end {array} )

Ievērojiet, ka katrā gadījumā bāzes bija vienādas, un mēs atņēmām eksponentus.

Kad lielākais eksponents atradās skaitītājā, mums skaitītājā palika faktori.

Kad lielākais eksponents atradās saucējā, mums saucējā palika faktori - ievērojiet skaitītāju 1.

Mēs rakstām:

[ begin {masīvs} {cc} { dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}}} un { dfrac {x ^ {2}} {x ^ {3}}} { x ^ {5-2}} un { dfrac {1} {x ^ {3} -2}} {x ^ {3}} un { dfrac {1} {x}} end {masīvs} ]

Tas noved pie Eksponentu īpašība.

EKSPONENTU KVANTITATĪVAIS ĪPAŠUMS

Ja a ir reāls skaitlis, (a neq 0 ) un m un n ir veseli skaitļi, tad

[ dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {mn}, m> n text {un} dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {nm}}, n> m ]

Pāris piemēri ar numuriem var palīdzēt pārbaudīt šo īpašumu.

[ begin {array} {llllll} dfrac {3 ^ {4}} {3 ^ {2}} & = & 3 ^ {4-2} & dfrac {5 ^ {2}} {5 ^ {3 }} & = & dfrac {1} {5 ^ {3-2}} dfrac {81} {9} & = & 3 ^ {2} & dfrac {25} {125} & = & dfrac {1} {5 ^ {1}} 9 & = & 9 atzīme & dfrac {1} {5} & = & dfrac {1} {5} checkmark end {array} ]

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {x ^ {9}} {x ^ {7}} )
  2. ( dfrac {3 ^ {10}} {3 ^ {2}} )
Atbilde

Lai vienkāršotu izteicienu ar koeficientu, vispirms jāsalīdzina skaitītājā un saucējā esošie eksponenti.

1.

Tā kā 9> 7, ir vairāk faktoru x skaitītājā.
Izmantojiet īpašību Quotient, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n} )
Vienkāršojiet.

2.

Tā kā 10> 2, ir vairāk faktoru x skaitītājā.
Izmantojiet īpašību Quotient, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n} )
Vienkāršojiet.
Ievērojiet, ka tad, kad lielākais eksponents atrodas skaitītājā, mums skaitītājā paliek faktori.

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {x ^ {15}} {x ^ {10}} )
  2. ( dfrac {6 ^ {14}} {6 ^ {5}} )
Atbilde
  1. (x ^ {5} )
  2. (6^9)

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {y ^ {43}} {y ^ {37}} )
  2. ( dfrac {10 ^ {15}} {10 ^ {7}} )
Atbilde
  1. (y ^ {6} )
  2. (10^8)

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {b ^ {8}} {b ^ {12}} )
  2. ( dfrac {7 ^ {3}} {7 ^ {5}} )
Atbilde

Lai vienkāršotu izteicienu ar koeficientu, vispirms jāsalīdzina skaitītājā un saucējā esošie eksponenti.

1.

Kopš 12> 8 ir vairāk faktoru b saucējā.
Izmantojiet īpašību Quotient, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n-m}} )
Vienkāršojiet.

2.

Tā kā 5> 3, saucējā ir vairāk faktoru 3.
Izmantojiet īpašību Quotient, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n-m}} )
Vienkāršojiet.
Vienkāršojiet.
Ievērojiet, ka tad, kad lielākais eksponents atrodas saucējā, mums paliek faktori saucējā.

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {x ^ {18}} {x ^ {22}} )
  2. ( dfrac {12 ^ {15}} {12 ^ {30}} )
Atbilde
  1. ( dfrac {1} {x ^ {4}} )
  2. ( dfrac {1} {12 ^ {15}} )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {m ^ {7}} {m ^ {15}} )
  2. ( dfrac {9 ^ {8}} {9 ^ {19}} )
Atbilde
  1. ( dfrac {1} {m ^ {8}} )
  2. ( dfrac {1} {9 ^ {11}} )

Ievērojiet divu iepriekšējo piemēru atšķirību:

  • Ja mēs skaitītājā sāksim ar vairākiem faktoriem, mēs nonāksim pie faktoriem skaitītājā.
  • Ja mēs sāksim ar vairāk faktoriem saucējā, mēs nonāksim pie faktoriem saucējā.

Pirmais solis, lai vienkāršotu izteiksmi, izmantojot eksponentu īpašību Quotient, ir noteikt, vai eksponents ir lielāks skaitītājā vai saucējā.

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {a ^ {5}} {a ^ {9}} )
  2. ( dfrac {x ^ {11}} {x ^ {7}} )
Atbilde

1. Vai skaitītājā vai saucējā ir lielāks skaitlis? Tā kā 9> 5, saucējā ir vairāk a, tāpēc mēs nonāksim pie faktoriem saucējā.

Izmantojiet īpašību Quotient, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n-m}} )
Vienkāršojiet.

2. Ievērojiet, ka skaitītājā ir vairāk xx faktoru, jo 11> 7. Tātad mēs nonāksim pie koeficientiem skaitītājā.

Izmantojiet īpašību Quotient, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n-m}} )
Vienkāršojiet.

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {b ^ {19}} {b ^ {11}} )
  2. ( dfrac {z ^ {5}} {z ^ {11}} )
Atbilde
  1. (b ^ {8} )
  2. ( dfrac {1} {z ^ {6}} )

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Vienkāršojiet:

  1. ( dfrac {p ^ {9}} {p ^ {17}} )
  2. ( dfrac {w ^ {13}} {w ^ {9}} )
Atbilde
  1. ( dfrac {1} {p ^ {8}} )
  2. (w ^ {4} )

Vienkāršojiet izteicienus ar nulles eksponentu

Īpašs Quotient Property gadījums ir tad, kad skaitītāja un saucēja eksponenti ir vienādi, piemēram, izteiksme, piemēram, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ). No sava agrākā darba ar daļām jūs zināt, ka:

[ dfrac {2} {2} = 1 quad dfrac {17} {17} = 1 quad dfrac {-43} {- 43} = 1 ]

Vārdos skaitlis, kas dalīts ar sevi, ir 1. Tātad, ( dfrac {x} {x} = 1 ) jebkuram (x (x neq 0) ), jo jebkurš skaitlis, kas dalīts ar sevi, ir 1 .

Eksponentu īpašība Quotient parāda, kā vienkāršot ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} ), kad (m> n ) un kad (n

Apsveriet ( dfrac {8} {8} ), kas, kā zināms, ir 1.

( begin {array} {lrll} & dfrac {8} {8} & = & 1 text {Write} 8 text {as} 2 ^ {3}. & dfrac {2 ^ {3} } {2 ^ {3}} & = & 1 text {Atņemt eksponentus.} & 2 ^ {3-3} & = & 1 text {Vienkāršot.} & 2 ^ {0} & = & 1 end {masīvs} )

Tagad mēs divkāršosim ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ) divos veidos, lai mūs novestu pie nulles eksponenta definīcijas. Parasti attiecībā uz (a neq 0 ):

Mēs redzam, ka ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ) vienkāršojas līdz (a ^ {0} ) un līdz 1. Tātad (a ^ {0} = 1 ).

NULLE EKSPONENTS

Ja a ir skaitlis, kas nav nulle, tad (a ^ {0} = 1 ).

Jebkurš nulles skaitlis, kas tiek palielināts līdz nulles jaudai, ir 1.

Šajā tekstā mēs pieņemam, ka jebkurš mainīgais, kuru mēs paaugstinām līdz nullei, nav nulle.

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Vienkāršojiet:

  1. (9^{0})
  2. (n ^ {0} )
Atbilde

Definīcija saka, ka jebkurš skaitlis, kas nav nulle, tiek palielināts līdz nulles jaudai, ir 1.

  1. ( begin {masīvs} {ll} & 9 ^ 0 text {Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.} un 1 end {masīvs} )
  2. ( begin {masīvs} {ll} & n ^ 0 text {Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.} un 1 end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

Vienkāršojiet:

  1. (15^{0})
  2. (m ^ {0} )
Atbilde
  1. 1
  2. 1

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

Vienkāršojiet:

  1. (k ^ {0} )
  2. (29^{0})
Atbilde
  1. 1
  2. 1

Tagad, kad mēs esam definējuši nulles eksponentu, mēs varam paplašināt visus eksponentu rekvizītus, iekļaujot veselā skaitļa eksponentus.

Kā ir ar izteiciena paaugstināšanu līdz nullei? Apskatīsim ((2x) ^ 0 ). Mēs varam izmantot produktu jaudas noteikumam, lai pārrakstītu šo izteicienu.

( begin {masīvs} {ll} & (2x) ^ 0 { text {Izmantojiet produktu jaudas kārtulai.}} un {2 ^ {0} x ^ {0}} { text {Izmantojiet rekvizītu nulles eksponents.}} Un {1 cdot 1} { text {Vienkāršot.}} Un 1 end {masīvs} )

Tas mums saka, ka jebkura nulles izteiksme, kas paaugstināta līdz nullei, ir viena.

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

Vienkāršojiet:

  1. ((5b) ^ 0 )
  2. ((- - 4a ^ {2} b) ^ 0 ).
Atbilde
  1. ( begin {masīvs} {ll} & (5b) ^ 0 { text {Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.}} un 1 end {masīvs} )
  2. ( begin {masīvs} {ll} & (−4a ^ {2} b) ^ 0 { text {Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.}} un 1 end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

Vienkāršojiet:

  1. ((11z) ^ 0 )
  2. ((- - 11pq ^ {3}) ^ 0 ).
Atbilde
  1. 1
  2. 1

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- - 6d) ^ 0 )
  2. ((- - 8m ^ {2} n ^ {3}) ^ 0 ).
Atbilde
  1. 1
  2. 1

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot jaudas rekvizīta koeficientu

Tagad mēs aplūkosim piemēru, kas mūs novedīs pie jaudas īpašuma koeficienta.

( begin {masīvs} {lc} un { pa kreisi ( dfrac {x} {y} right) ^ {3}} text {Tas nozīmē:} un { dfrac {x} {y} cdot dfrac {x} {y} cdot dfrac {x} {y}} text {Reiziniet frakcijas.} & { dfrac {x cdot x cdot x} {y cdot y cdot y}} text {Rakstīt ar eksponentiem.} un { dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}}} end {masīvs} )

Ievērojiet, ka eksponents attiecas gan uz skaitītāju, gan uz saucēju.

( begin {array} {lc} { text {Mēs redzam, ka} pa kreisi ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} text {is} dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}}} { text {Mēs rakstām:}} un pa kreisi ( dfrac {x} {y} pa labi) ^ {3} & { dfrac {x ^ {3} } {y ^ {3}}} beigu {masīvs} )

Tas noved pie Paaugstināts jaudas īpašums eksponentiem.

EKSPONENTU SATURA ĪPAŠUMA KVOTIENTS

Ja a un b ir reāli skaitļi, (b neq 0 ) un m ir skaitīšanas skaitlis, tad

[ pa kreisi ( dfrac {a} {b} pa labi) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ]

Lai palielinātu daļu no jaudas, paceliet skaitītāju un saucēju līdz šai jaudai.

Piemērs ar numuriem var palīdzēt izprast šo īpašumu:

[ begin {aligned} left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} & = dfrac {2 ^ {3}} {3 ^ {3}} dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} & = dfrac {8} {27} dfrac {8} {27} & = dfrac {8} {27} atzīme beigas {izlīdzināts} ]

Vingrinājums ( PageIndex {16} )

Vienkāršojiet:

  1. ( pa kreisi ( dfrac {3} {7} pa labi) ^ {2} )
  2. ( pa kreisi ( dfrac {b} {3} pa labi) ^ {4} )
  3. ( pa kreisi ( dfrac {k} {j} pa labi) ^ {3} )
Atbilde

1.

Izmantojiet īpašību Quotient, ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} )
Vienkāršojiet.

2.

Izmantojiet īpašību Quotient, ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} )
Vienkāršojiet.

3.

Paaugstiniet skaitītāju un saucēju līdz trešajai pakāpei.

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

Vienkāršojiet:

  1. ( pa kreisi ( dfrac {5} {8} pa labi) ^ {2} )
  2. ( pa kreisi ( dfrac {p} {10} pa labi) ^ {4} )
  3. ( pa kreisi ( dfrac {m} {n} pa labi) ^ {7} )
Atbilde
  1. ( dfrac {25} {64} )
  2. ( dfrac {p ^ {4}} {10 000} )
  3. ( dfrac {m ^ {7}} {n ^ {7}} )

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

Vienkāršojiet:

  1. ( pa kreisi ( dfrac {1} {3} pa labi) ^ {3} )
  2. ( pa kreisi ( dfrac {-2} {q} pa labi) ^ {3} )
  3. ( pa kreisi ( dfrac {w} {x} pa labi) ^ {4} )
Atbilde
  1. ( dfrac {1} {27} )
  2. ( dfrac {-8} {q ^ {3}} )
  3. ( dfrac {w ^ {4}} {x ^ {4}} )

Vienkāršojiet izteiksmes, lietojot vairākas īpašības

Tagad mēs apkoposim visus eksponentu rekvizītus, lai tie visi būtu kopā, lai atsauktos, kad mēs vienkāršojam izteiksmes, izmantojot vairākas īpašības. Ievērojiet, ka tie tagad ir definēti veselā skaitļa eksponentiem.

EKSPONENTU ĪPAŠĪBU KOPSAVILKUMS

Ja a un b ir reāli skaitļi, un m un n ir veseli skaitļi, tad

[ begin {array} {lrll} textbf {Product Property} & a ^ {m} cdot a ^ {n} & = & a ^ {m + n} textbf {Power Property} & left ( a ^ {m} right) ^ {n} & = & a ^ {m cdot n} textbf {Produkts spēkam} & (ab) ^ {m} & = & a ^ {m} b ^ { m} textbf {Quotient Property} & dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} & = & a ^ {mn}, a neq 0, m> n & dfrac {a ^ {n}} {a ^ {n}} & = & 1, a neq 0, n> m textbf {Zero Exponent Definition} & a ^ 0 & = & 1, a neq 0 textbf {Citāts a Power Property} & left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} & = & dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 end { masīvs} ]

Vingrinājums ( PageIndex {19} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (y ^ {4} right) ^ {2}} {y ^ {6}} )

Atbilde

( begin {array} {ll} & dfrac { left (y ^ {4} right) ^ {2}} {y ^ {6}} text {Reiziniet eksponentus skaitītājā.} & dfrac {y ^ {8}} {y ^ {6}} text {Atņemiet eksponentus.} & y ^ {2} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {20} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (m ^ {5} right) ^ {4}} {m ^ {7}} )

Atbilde

(m ^ {13} )

Vingrinājums ( PageIndex {21} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (k ^ {2} right) ^ {6}} {k ^ {7}} )

Atbilde

(k ^ {5} )

Vingrinājums ( PageIndex {22} )

Vienkāršojiet: ( dfrac {b ^ {12}} { left (b ^ {2} right) ^ {6}} )

Atbilde

( begin {array} {ll} & dfrac {b ^ {12}} { left (b ^ {2} right) ^ {6}} text {Reiziniet eksponentus skaitītājā.} & dfrac {b ^ {12}} {b ^ {12}} text {Atņemiet eksponentus.} & b ^ {0} text {Vienkāršot} un 1 end {masīvs} )

Ievērojiet, ka pēc tam, kad pirmajā solī vienkāršojām saucēju, skaitītājs un saucējs bija vienādi. Tātad galīgā vērtība ir vienāda ar 1.

Vingrinājums ( PageIndex {23} )

Vienkāršojiet: ( dfrac {n ^ {12}} { left (n ^ {3} right) ^ {4}} )

Atbilde

1

Vingrinājums ( PageIndex {24} )

Vienkāršojiet: ( dfrac {x ^ {15}} { left (x ^ {3} right) ^ {5}} )

Atbilde

1

Vingrinājums ( PageIndex {25} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {y ^ {9}} {y ^ {4}} right) ^ {2} )

Atbilde

( begin {array} {ll} & left ( dfrac {y ^ {9}} {y ^ {4}} right) ^ {2} text {Atcerieties, ka iekavas atrodas pirms eksponentiem.} & text {Ievērojiet, ka bāzes ir vienādas, tāpēc mēs varam vienkāršot} & left (y ^ {5} right) ^ {2} text {iekavās. Atņemiet eksponentus.} & text {Reiziniet eksponentus.} un y ^ {10} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {25} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {r ^ {5}} {r ^ {3}} right) ^ {4} )

Atbilde

(r ^ {8} )

Vingrinājums ( PageIndex {25} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {v ^ {6}} {v ^ {4}} right) ^ {3} )

Atbilde

(v ^ {6} )

Vingrinājums ( PageIndex {26} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {j ^ {2}} {k ^ {3}} right) ^ {4} )

Atbilde

Šeit mēs nevaram vispirms vienkāršot iekavās, jo bāzes nav vienādas.

( begin {array} {ll} & left ( dfrac {j ^ {2}} {k ^ {3}} right) ^ {4} text {Paaugstiniet skaitītāju un saucēju uz trešo jauda} & text {izmantojot koeficientu jaudas īpašumam,} pa kreisi ( dfrac {a} {b} pa labi) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m }} & dfrac { left (j ^ {2} right) ^ {4}} { left (k ^ {3} right) ^ {4}} text {Izmantojiet enerģijas rekvizītu un vienkāršojiet .} & dfrac {j ^ {8}} {k ^ {12}} end {array} )

Vingrinājums ( PageIndex {27} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {a ^ {3}} {b ^ {2}} right) ^ {4} )

Atbilde

( dfrac {a ^ {12}} {b ^ {8}} )

Vingrinājums ( PageIndex {28} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {q ^ {7}} {r ^ {5}} right) ^ {3} )

Atbilde

( dfrac {q ^ {21}} {r ^ {15}} )

Vingrinājums ( PageIndex {29} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {2 m ^ {2}} {5 n} right) ^ {4} )

Atbilde

( begin {array} {ll} & left ( dfrac {2 m ^ {2}} {5 n} right) ^ {4} text {Paceļiet skaitītāju un saucēju uz ceturto} & dfrac { left (2 m ^ {2} right) ^ {4}} {(5 n) ^ {4}} text {power, izmantojot koeficientu jaudas īpašumam,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} un dfrac {2 ^ {4} left (m ^ {2} right ) ^ {4}} {5 ^ {4} n ^ {4}} text {Izmantojiet enerģijas rekvizītu un vienkāršojiet.} & Dfrac {16 m ^ {8}} {625 n ^ {4}} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {30} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {7 x ^ {3}} {9 y} right) ^ {2} )

Atbilde

( dfrac {49 x ^ {6}} {81 y ^ {2}} )

Vingrinājums ( PageIndex {31} )

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {3 x ^ {4}} {7 y} right) ^ {2} )

Atbilde

( dfrac {9 x ^ {8}} {49 v ^ {2}} )

Vingrinājums ( PageIndex {32} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (x ^ {3} right) ^ {4} left (x ^ {2} right) ^ {5}} { left (x ^ {6} right) ^ {5}} )

Atbilde

( begin {array} {ll} & dfrac { left (x ^ {3} right) ^ {4} left (x ^ {2} right) ^ {5}} { left (x ^ {6} pa labi) ^ {5}} text {Izmantojiet enerģijas rekvizītu,} pa kreisi (a ^ {m} pa labi) ^ {n} = a ^ {m cdot n} & dfrac { left (x ^ {12} right) left (x ^ {10} right)} { left (x ^ {30} right)} text {Pievienojiet eksponentus skaitītājā.} & dfrac {x ^ {22}} {x ^ {30}} text {Izmantojiet rekvizītu Quotient,} dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {nm}} un dfrac {1} {x ^ {8}} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {32} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (a ^ {2} right) ^ {3} left (a ^ {2} right) ^ {4}} { left (a ^ {4} right) ^ {5}} )

Atbilde

( dfrac {1} {a ^ {6}} )

Vingrinājums ( PageIndex {33} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (p ^ {3} right) ^ {4} left (p ^ {5} right) ^ {3}} { left (p ^ {7} right) ^ {6}} )

Atbilde

( dfrac {1} {p ^ {15}} )

Vingrinājums ( PageIndex {34} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (10 p ^ {3} right) ^ {2}} {(5 p) ^ {3} left (2 p ^ {5} right) ^ {4}} )

Atbilde

( begin {array} {ll} & dfrac { left (10 p ^ {3} right) ^ {2}} {(5 p) ^ {3} left (2 p ^ {5} pa labi) ^ {4}} text {Izmantojiet produktu enerģijas īpašumam,} (ab) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} & dfrac {(10) ^ {2} left (p ^ {3} right) ^ {2}} {(5) ^ {3} (p) ^ {3} (2) ^ {4} left (p ^ {5} right) ^ {4}} text {Izmantojiet enerģijas rekvizītu,} pa kreisi (a ^ {m} pa labi) ^ {n} = a ^ {m cdot n} & dfrac {100 p ^ {6}} {125 p ^ {3} cdot 16 p ^ {20}} text {Pievienojiet eksponentus saucējā.} & Dfrac {100 p ^ {6}} {125 cdot 16 p ^ {23} } text {Izmantojiet rekvizītu Quotient,} dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {nm}} un dfrac {100} {125 cdot 16 p ^ {17}} text {Vienkāršot.} & dfrac {1} {20 p ^ {17}} end {array} )

Vingrinājums ( PageIndex {35} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (3 r ^ {3} right) ^ {2} left (r ^ {3} right) ^ {7}} { left (r ^ {3} right ) ^ {3}} )

Atbilde

9 (r ^ {18} )

Vingrinājums ( PageIndex {36} )

Vienkāršojiet: ( dfrac { left (2 x ^ {4} right) ^ {5}} { left (4 x ^ {3} right) ^ {2} left (x ^ {3} pa labi) ^ {5}} )

Atbilde

( dfrac {2} {x} )

Sadaliet Monomials

Tagad jūs esat iepazīstināts ar visām eksponentu īpašībām un izmantojis tos, lai vienkāršotu izteiksmes. Pēc tam jūs redzēsiet, kā izmantot šīs īpašības, lai sadalītu monomālus. Vēlāk tos izmantosiet, lai sadalītu polinomus.

Vingrinājums ( PageIndex {37} )

Atrodiet koeficientu: (56 x ^ {7} div 8 x ^ {3} )

Atbilde

( begin {array} {ll} & 56 x ^ {7} div 8 x ^ {3} text {Pārrakstīt kā daļu.} & dfrac {56 x ^ {7}} {8 x ^ {3}} text {Izmantojiet frakciju reizināšanu.} & Dfrac {56} {8} cdot dfrac {x ^ {7}} {x ^ {3}} text {Vienkāršojiet un izmantojiet Quotient Property.} & 7 x ^ {4} end {array} )

Vingrinājums ( PageIndex {38} )

Atrodiet koeficientu: 42 (y ^ {9} div 6 y ^ {3} )

Atbilde

(7g ^ {6} )

Vingrinājums ( PageIndex {39} )

Atrodiet koeficientu: (48z ^ {8} div 8 z ^ {2} )

Atbilde

(6z ^ {6} )

Vingrinājums ( PageIndex {40} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {45 a ^ {2} b ^ {3}} {- 5 a b ^ {5}} )

Atbilde

Kad mēs dalām monomālus ar vairāk nekā vienu mainīgo, mēs katram mainīgajam uzrakstām vienu daļu.

( begin {masīvs} {ll} & dfrac {45 a ^ {2} b ^ {3}} {- 5 ab ^ {5}} text {Izmantot frakciju reizināšanu.} & dfrac {45 } {- 5} cdot dfrac {a ^ {2}} {a} cdot dfrac {b ^ {3}} {b ^ {5}} text {Vienkāršojiet un izmantojiet rekvizītu Quotient.} & -9 cdot a cdot dfrac {1} {b ^ {2}} teksts {Reizināt.} & - dfrac {9 a} {b ^ {2}} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {41} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {-72 a ^ {7} b ^ {3}} {8 a ^ {12} b ^ {4}} )

Atbilde

(- dfrac {9} {a ^ {5} b} )

Vingrinājums ( PageIndex {42} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {-63 c ^ {8} d ^ {3}} {7 c ^ {12} d ^ {2}} )

Atbilde

( dfrac {-9 d} {c ^ {4}} )

Vingrinājums ( PageIndex {43} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {24 a ^ {5} b ^ {3}} {48 a b ^ {4}} )

Atbilde

( begin {array} {ll} & dfrac {24 a ^ {5} b ^ {3}} {48 ab ^ {4}} text {Izmantot frakciju reizināšanu.} & dfrac {24} {48} cdot dfrac {a ^ {5}} {a} cdot dfrac {b ^ {3}} {b ^ {4}} text {Vienkāršojiet un izmantojiet īpašumu Quotient.} & dfrac {1} {2} cdot a ^ {4} cdot dfrac {1} {b} text {Reizināt.} & dfrac {a ^ {4}} {2 b} end {masīvs } )

Vingrinājums ( PageIndex {44} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {16 a ^ {7} b ^ {6}} {24 a b ^ {8}} )

Atbilde

( dfrac {2 a ^ {6}} {3 b ^ {2}} )

Vingrinājums ( PageIndex {45} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {27 p ^ {4} q ^ {7}} {- 45 p ^ {12} q} )

Atbilde

(- dfrac {3 q ^ {6}} {5 p ^ {8}} )

Kad esat iepazinies ar procesu un esat to vairākkārt praktizējis soli pa solim, iespējams, vienā solī varēsit vienkāršot daļu.

Vingrinājums ( PageIndex {46} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {14 x ^ {7} y ​​^ {12}} {21 x ^ {11} y ^ {6}} )

Atbilde

Esiet ļoti uzmanīgs, lai vienkāršotu ( dfrac {14} {21} ), sadalot kopējo faktoru, un vienkāršojiet mainīgos, atņemot to eksponentus.

( begin {array} {ll} & dfrac {14 x ^ {7} y ​​^ {12}} {21 x ^ {11} y ^ {6}} text {Vienkāršojiet un izmantojiet rekvizītu Quotient .} & dfrac {2 y ^ {6}} {3 x ^ {4}} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {47} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {28 x ^ {5} y ^ {14}} {49 x ^ {9} y ^ {12}} )

Atbilde

( dfrac {4 y ^ {2}} {7 x ^ {4}} )

Vingrinājums ( PageIndex {48} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac {30 m ^ {5} n ^ {11}} {48 m ^ {10} n ^ {14}} )

Atbilde

( dfrac {5} {8 m ^ {5} n ^ {3}} )

Visos līdzšinējos piemēros pirms frakcijas vienkāršošanas skaitītājā vai saucējā nebija jādara darbs. Nākamajā piemērā vispirms mēs atradīsim skaitītājā divu monomālu produkciju, pirms vienkāršojam daļu. Tas notiek pēc darbību kārtības. Atcerieties, ka frakcijas josla ir grupēšanas simbols.

Vingrinājums ( PageIndex {49} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac { left (6 x ^ {2} y ^ {3} right) left (5 x ^ {3} y ^ {2} right)} { left (3 x ^ {4} y ^ {5} pa labi)} )

Atbilde

( begin {array} {lc} & dfrac { left (6 x ^ {2} y ^ {3} right) left (5 x ^ {3} y ^ {2} right)} { left (3 x ^ {4} y ^ {5} right)} text {Vienkāršojiet skaitītāju.} & dfrac {30 x ^ {5} y ^ {5}} {3 x ^ {4 } y ^ {5}} text {Vienkāršot.} & 10 x end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {50} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac { left (6 a ^ {4} b ^ {5} right) left (4 a ^ {2} b ^ {5} right)} {12 a ^ {5 } b ^ {8}} )

Atbilde

(2 a b ^ {2} )

Vingrinājums ( PageIndex {51} )

Atrodiet koeficientu: ( dfrac { left (-12 x ^ {6} y ^ {9} right) left (-4 x ^ {5} y ^ {8} right)} {- 12 x ^ {10} y ^ {12}} )

Atbilde

(- 4 x y ^ {5} )

Piezīme

Piekļūstiet šiem tiešsaistes resursiem, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi, sadalot monomālus:

  • Racionālas izteiksmes
  • Monomālu dalīšana
  • Monomālu dalīšana 2

Galvenie jēdzieni

  • Eksponentu īpašība:
    • Ja a ir reāls skaitlis, (a neq 0 ) un m, n ir veseli skaitļi, tad: ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {mn} , m> n text {un} dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {mn}}, n> m )
  • Nulles eksponents
    • Ja a ir skaitlis, kas nav nulle, tad (a ^ {0} = 1 ).
  • Paaugstināts jaudas īpašums eksponentiem:
    • Ja a un b ir reāli skaitļi, (b neq 0 ) un mm ir skaitīšanas skaitlis, tad: ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac { a ^ {m}} {b ^ {m}} )
    • Lai palielinātu daļu no jaudas, paceliet skaitītāju un saucēju līdz šai jaudai.
  • Eksponentu īpašību kopsavilkums
    • Ja a, b ir reālie skaitļi un m, nm, n ir veseli skaitļi, tad ( begin {masīvs} {lrll} textbf {Produkta īpašums} & a ^ {m} cdot a ^ {n} & = & a ^ {m + n} textbf {Power Property} & left (a ^ {m} right) ^ {n} & = & a ^ {m cdot n} textbf {Product to a Power} & (ab) ^ {m} & = & a ^ {m} b ^ {m} textbf {Quotient Property} & dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} & = & a ^ { mn}, a neq 0, m> n & dfrac {a ^ {n}} {a ^ {n}} & = & 1, a neq 0, n> m textbf {Nulles eksponenta definīcija } & a ^ 0 & = & 1, a neq 0 textbf {Quotient to a Power Properties} & left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} & = & dfrac {a ^ { m}} {b ^ {m}}, b neq 0 end {masīvs} )