Raksti

4.3. Vienkāršojiet racionālos eksponentus - matemātika


Mācību mērķi

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot (a ^ { frac {1} {n}} )
  • Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot (a ^ { frac {m} {n}} )
  • Izmantojiet eksponentu īpašības, lai vienkāršotu izteiksmes ar racionāliem eksponentiem

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Pievienojiet: ( frac {7} {15} + frac {5} {12} ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 1.28. Piemēru.
  2. Vienkāršojiet: ((4x ^ {2} y ^ {5}) ^ {3} ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 5.18. Piemēru.
  3. Vienkāršojiet: (5 ^ {- 3} ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 5.14. Piemēru.

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot (a ^ { frac {1} {n}} )

Racionālie eksponenti ir vēl viens veids, kā rakstīt izteicienus ar radikāļiem. Kad mēs izmantojam racionālus eksponentus, mēs varam piemērot eksponentu īpašības, lai vienkāršotu izteiksmes.

Eksponentu jaudas rekvizīts saka, ka ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} ), ja (m ) un (n ) ir veseli skaitļi . Pieņemsim, ka tagad mēs neaprobežojamies tikai ar veseliem skaitļiem.

Pieņemsim, ka mēs vēlamies atrast tādu skaitli (p ), ka ( left (8 ^ {p} right) ^ {3} = 8 ). Mēs izmantosim eksponentu jaudas īpašību, lai atrastu (p ) vērtību.

( pa kreisi (8 ^ {p} pa labi) ^ {3} = 8 )

Vairāki eksponenti pa kreisi.

(8 ^ {3p} = 8 )

Labajā pusē uzrakstiet eksponentu (1 ).

(8 ^ {3p} = 8 ^ {1} )

Tā kā bāzes ir vienādas, eksponentiem jābūt vienādiem.

(3p = 1 )

Atrisiniet (p ).

(p = frac {1} {3} )

Tātad ( pa kreisi (8 ^ { frac {1} {3}} pa labi) ^ {3} = 8 ). Bet mēs zinām arī (( sqrt [3] {8}) ^ {3} = 8 ). Tad tam jābūt (8 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {8} ).

Šo pašu loģiku var izmantot jebkuram pozitīva veselā skaitļa eksponentam (n ), lai parādītu, ka (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

Definīcija ( PageIndex {1} ): Racionālais eksponents (a ^ { frac {1} {n}} )

Ja ( sqrt [n] {a} ) ir reāls skaitlis un (n geq 2 ), tad

(a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} )

Racionālā eksponenta saucējs ir radikāļa indekss.

Būs reizes, kad strādāt ar izteicieniem būs vieglāk, ja izmantosiet racionālus eksponentus, un reizes, kad būs vieglāk, ja izmantosiet radikāļus. Pirmajos piemēros jūs praktizēsiet izteicienu konvertēšanu starp šiem diviem apzīmējumiem.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Rakstiet kā radikālu izteicienu:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} )
  3. (z ^ { frac {1} {4}} )

Risinājums:

Katru izteiksmi mēs vēlamies uzrakstīt formā ( sqrt [n] {a} ).

a.

(x ^ { frac {1} {2}} )

Racionālā eksponenta saucējs ir (2 ), tātad radikāla indekss ir (2 ). Mēs nerādām indeksu, ja tas ir (2 ).

( sqrt {x} )

b.

(y ^ { frac {1} {3}} )

Eksponenta saucējs ir (3 ), tātad indekss ir (3 ).

( sqrt [3] {y} )

c.

(z ^ { frac {1} {4}} )

Eksponenta saucējs ir (4 ), tāpēc indekss ir (4 ).

( sqrt [4] {z} )

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Rakstiet kā radikālu izteicienu:

  1. (t ^ { frac {1} {2}} )
  2. (m ^ { frac {1} {3}} )
  3. (r ^ { frac {1} {4}} )
Atbilde
  1. ( sqrt {t} )
  2. ( sqrt [3] {m} )
  3. ( sqrt [4] {r} )

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Rakstiet kā radikālu izteicienu:

  1. (b ^ { frac {1} {6}} )
  2. (z ^ { frac {1} {5}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} )
Atbilde
  1. ( sqrt [6] {b} )
  2. ( sqrt [5] {z} )
  3. ( sqrt [4] {p} )

Nākamajā piemērā mēs uzrakstīsim katru radikālu, izmantojot racionālu eksponentu. Ir svarīgi izmantot iekavas ap visu izteiksmi radikālajā zonā, jo visa izteiksme tiek paaugstināta līdz racionālai spēkai.

Piemērs ( PageIndex {2} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {5y} )
  2. ( sqrt [3] {4 x} )
  3. (3 sqrt [4] {5 z} )

Risinājums:

Mēs vēlamies katru radikālu uzrakstīt formā (a ^ { frac {1} {n}} )

a.

( sqrt {5y} )

Indekss netiek rādīts, tāpēc tas ir (2 ).

Eksponenta saucējs būs (2 ).

Ievietojiet iekavas ap visu izteiksmi (5y ).

((5 gadi) ^ { frac {1} {2}} )

b.

( sqrt [3] {4 x} )

Indekss ir (3 ), tāpēc eksponenta saucējs ir (3 ). Iekļaut iekavas ((4x) ).

((4 x) ^ { frac {1} {3}} )

c.

(3 sqrt [4] {5 z} )

Indekss ir (4 ), tāpēc eksponenta saucējs ir (4 ). Iekavas ievietojiet tikai ap (5z ), jo 3 nav zem radikālas zīmes.

(3 (5 z) ^ { frac {1} {4}} )

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {10m} )
  2. ( sqrt [5] {3 n} )
  3. (3 sqrt [4] {6 y} )
Atbilde
  1. ((10 m) ^ { frac {1} {2}} )
  2. ((3 n) ^ { frac {1} {5}} )
  3. (3 (6 gadi) ^ { frac {1} {4}} )

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt [7] {3 k} )
  2. ( sqrt [4] {5 j} )
  3. (8 sqrt [3] {2 a} )
Atbilde
  1. ((3 k) ^ { frac {1} {7}} )
  2. ((5 j) ^ { frac {1} {4}} )
  3. (8 (2a) ^ { frac {1} {3}} )

Nākamajā piemērā, iespējams, jums būs vieglāk vienkāršot izteicienus, ja vispirms tos pārrakstīsit kā radikāļus.

Piemērs ( PageIndex {3} )

Vienkāršojiet:

  1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (256 ^ { frac {1} {4}} )

Risinājums:

a.

(25 ^ { frac {1} {2}} )

Pārrakstiet kā kvadrātsakni.

( sqrt {25} )

Vienkāršojiet.

(5)

b.

(64 ^ { frac {1} {3}} )

Pārrakstiet kā kuba sakni.

( sqrt [3] {64} )

Atzīt (64 ) ir ideāls kubs.

( sqrt [3] {4 ^ {3}} )

Vienkāršojiet.

(4)

c.

(256 ^ { frac {1} {4}} )

Pārrakstiet kā ceturto sakni.

( sqrt [4] {256} )

Atzīt (256 ) ir ideāls ceturtais spēks.

( sqrt [4] {4 ^ {4}} )

Vienkāršojiet.

(4)

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Vienkāršojiet:

  1. (36 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (8 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (16 ^ { frac {1} {4}} )
Atbilde
  1. (6)
  2. (2)
  3. (2)

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Vienkāršojiet:

  1. (100 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {1} {4}} )
Atbilde
  1. (10)
  2. (3)
  3. (3)

Uzmanieties no negatīvo zīmju izvietojuma nākamajā piemērā. Mums vienā gadījumā būs jāizmanto rekvizīts (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

Piemērs ( PageIndex {4} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} )

Risinājums:

a.

((- 16) ^ { frac {1} {4}} )

Pārrakstiet kā ceturto sakni.

( sqrt [4] {- 16} )

( sqrt [4] {(- 2) ^ {4}} )

Vienkāršojiet.

Nav reāla risinājuma

b.

(- 16 ^ { frac {1} {4}} )

Eksponents attiecas tikai uz (16 ). Pārrakstiet kā ceturto sakni.

(- sqrt [4] {16} )

Pārrakstīt (16 ) kā (2 ^ {4} )

(- sqrt [4] {2 ^ {4}} )

Vienkāršojiet.

(-2)

c.

((16) ^ {- frac {1} {4}} )

Pārrakstiet, izmantojot rekvizītu (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

( frac {1} {(16) ^ { frac {1} {4}}} )

Pārrakstiet kā ceturto sakni.

( frac {1} { sqrt [4] {16}} )

Pārrakstīt (16 ) kā (2 ^ {4} ).

( frac {1} { sqrt [4] {2 ^ {4}}} )

Vienkāršojiet.

( frac {1} {2} )

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- 64) ^ {- frac {1} {2}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {2}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {2}} )
Atbilde
  1. Nav reāla risinājuma
  2. (-8)
  3. ( frac {1} {8} )

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- - 256) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 256 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((256) ^ {- frac {1} {4}} )
Atbilde
  1. Nav reāla risinājuma
  2. (-4)
  3. ( frac {1} {4} )

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot (a ^ { frac {m} {n}} )

Mēs varam apskatīt (a ^ { frac {m} {n}} ) divējādi. Atcerieties, ka jaudas īpašums mums liek reizināt eksponentus un tā ( left (a ^ { frac {1} {n}} right) ^ {m} ) un ( left (a ^ {m} pa labi) ^ { frac {1} {n}} ) abi ir vienādi (a ^ { frac {m} {n}} ). Ja mēs rakstām šos izteicienus radikālā formā, mēs to iegūstam

(a ^ { frac {m} {n}} = pa kreisi (a ^ { frac {1} {n}} pa labi) ^ {m} = ( sqrt [n] {a}) ^ { m} quad text {un} quad a ^ { frac {m} {n}} = left (a ^ {m} right) ^ {^ { frac {1} {n}}} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

Tas mūs noved pie šādas definīcijas.

Definīcija ( PageIndex {2} ): Racionālais eksponents (a ^ { frac {m} {n}} )

Jebkuriem pozitīviem skaitļiem (m ) un (n )

(a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} quad text {un} quad a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

Kuru formu mēs izmantojam, lai vienkāršotu izteicienu? Parasti mēs vispirms iesakņojamies - tādā veidā skaitļi radikālajā zonā tiek saglabāti mazāki, pirms mēs tos paaugstinām līdz norādītajai jaudai.

Piemērs ( PageIndex {5} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {y ^ {3}} )
  2. (( sqrt [3] {2 x}) ^ {4} )
  3. ( sqrt { left ( frac {3 a} {4 b} right) ^ {3}} )

Risinājums:

Mēs vēlamies izmantot (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ {m}} ), lai ierakstītu katru radikālu formā (a ^ { frac {m} {n}} )

a.

b.

c.

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {x ^ {5}} )
  2. (( sqrt [4] {3 y}) ^ {3} )
  3. ( sqrt { left ( frac {2 m} {3 n} right) ^ {5}} )
Atbilde
  1. (x ^ { frac {5} {2}} )
  2. ((3 gadi) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ( pa kreisi ( frac {2 m} {3 n} pa labi) ^ { frac {5} {2}} )

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt [5] {a ^ {2}} )
  2. (( sqrt [3] {5 a b}) ^ {5} )
  3. ( sqrt { left ( frac {7 x y} {z} right) ^ {3}} )
Atbilde
  1. (a ^ { frac {2} {5}} )
  2. ((5 a b) ^ { frac {5} {3}} )
  3. ( left ( frac {7 x y} {z} right) ^ { frac {3} {2}} )

Atcerieties, ka (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ). Negatīvā zīme eksponentā nemaina izteiksmes zīmi.

Piemērs ( PageIndex {6} )

Vienkāršojiet:

  1. (125 ^ { frac {2} {3}} )
  2. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (32 ^ {- frac {2} {5}} )

Risinājums:

Vispirms mēs pārrakstīsim izteiksmi kā radikālu, izmantojot definīciju (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} ). Šī forma ļauj mums vispirms iesakņoties saknei, un tāpēc mēs saglabājam skaitļus radikā un mazākā, nekā tad, ja mēs izmantotu otru veidlapu.

a.

(125 ^ { frac {2} {3}} )

Radikāla spēks ir eksponenta skaitītājs (2 ). Radikāla indekss ir eksponenta, (3 ) saucējs.

(( sqrt [3] {125}) ^ {2} )

Vienkāršojiet.

((5)^{2})

(25)

b. Katru izteiksmi vispirms pārrakstīsim, izmantojot (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ) un pēc tam mainīsimies uz radikālu formu.

(16 ^ {- frac {3} {2}} )

Pārrakstīt, izmantojot (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} )

( frac {1} {16 ^ { frac {3} {2}}} )

Pāreja uz radikālu formu. Radikāla spēks ir eksponenta skaitītājs (3 ). Indekss ir eksponenta (2 ) saucējs.

( frac {1} {( sqrt {16}) ^ {3}} )

Vienkāršojiet.

( frac {1} {4 ^ {3}} )

( frac {1} {64} )

c.

(32 ^ {- frac {2} {5}} )

Pārrakstīt, izmantojot (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} )

( frac {1} {32 ^ { frac {2} {5}}} )

Pāreja uz radikālu formu.

( frac {1} {( sqrt [5] {32}) ^ {2}} )

Pārrakstiet radicand kā spēku.

( frac {1} { pa kreisi ( sqrt [5] {2 ^ {5}} pa labi) ^ {2}} )

Vienkāršojiet.

( frac {1} {2 ^ {2}} )

( frac {1} {4} )

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

Vienkāršojiet:

  1. (27 ^ { frac {2} {3}} )
  2. (81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ {- frac {3} {4}} )
Atbilde
  1. (9)
  2. ( frac {1} {729} )
  3. ( frac {1} {8} )

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

Vienkāršojiet:

  1. (4 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ {- frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ {- frac {3} {4}} )
Atbilde
  1. (8)
  2. ( frac {1} {9} )
  3. ( frac {1} {125} )

Piemērs ( PageIndex {7} )

Vienkāršojiet:

  1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} )

Risinājums:

a.

(- 25 ^ { frac {3} {2}} )

Pārrakstiet radikālā formā.

(- ( sqrt {25}) ^ {3} )

Vienkāršojiet radikālo.

(-(5)^{3})

Vienkāršojiet.

(-125)

b.

(- 25 ^ {- frac {3} {2}} )

Pārrakstiet, izmantojot (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

(- pa kreisi ( frac {1} {25 ^ { frac {3} {2}}} pa labi) )

Pārrakstiet radikālā formā.

(- pa kreisi ( frac {1} {( sqrt {25}) ^ {3}} pa labi) )

Vienkāršojiet radikālo.

(- pa kreisi ( frac {1} {(5) ^ {3}} pa labi) )

Vienkāršojiet.

(- frac {1} {125} )

c.

((- 25) ^ { frac {3} {2}} )

Pārrakstiet radikālā formā.

(( sqrt {-25}) ^ {3} )

Nav reāla skaitļa, kura kvadrātsakne ir (- 25 ).

Nav reāls skaitlis.

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

Vienkāršojiet:

  1. (- 16 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 16) ^ {- frac {3} {2}} )
Atbilde
  1. (-64)
  2. (- frac {1} {64} )
  3. Nav reāls skaitlis

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

Vienkāršojiet:

  1. (- 81 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 81) ^ {- frac {3} {2}} )
Atbilde
  1. (-729)
  2. (- frac {1} {729} )
  3. Nav reāls skaitlis

Izmantojiet eksponentu īpašības, lai vienkāršotu izteiksmes ar racionālajiem eksponentiem

Tās pašas eksponentu īpašības, kuras mēs jau esam izmantojuši, attiecas arī uz racionālajiem eksponentiem. Šeit mēs uzskaitīsim eksponentu rekvizītus, lai tos vienkāršotu, vienkāršojot izteiksmes.

Eksponentu īpašības

Ja (a ) un (b ) ir reālie skaitļi un (m ) un (n ) ir racionāli skaitļi, tad

Produkta īpašums

(a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} )

Jaudas īpašums

( pa kreisi (a ^ {m} pa labi) ^ {n} = a ^ {m cdot n} )

Produkts spēkam

((a b) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} )

Quotient Property

( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, a neq 0 )

Nulles eksponenta definīcija

(a ^ {0} = 1, a neq 0 )

Jaudas īpašumam

( left ( frac {a} {b} right) ^ {m} = frac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )

Negatīvs eksponenta īpašums

(a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}}, a neq 0 )

Šīs īpašības mēs piemērosim nākamajā piemērā.

Piemērs ( PageIndex {8} )

Vienkāršojiet:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {5} {6}} )
  2. ( pa kreisi (z ^ {9} pa labi) ^ { frac {2} {3}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {1} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )

Risinājums

a. Produkta īpašums mums saka, ka tad, kad mēs reizinām vienu un to pašu bāzi, mēs pievienojam eksponentus.

(x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {5} {6}} )

Bāzes ir vienādas, tāpēc mēs pievienojam eksponentus.

(x ^ { frac {1} {2} + frac {5} {6}} )

Pievienojiet frakcijas.

(x ^ { frac {8} {6}} )

Vienkāršojiet eksponentu.

(x ^ { frac {4} {3}} )

b. Spēka īpašums mums saka, ka, palielinot spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus.

( pa kreisi (z ^ {9} pa labi) ^ { frac {2} {3}} )

Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus.

(z ^ {9 cdot frac {2} {3}} )

Vienkāršojiet.

(z ^ {6} )

c. Quotient Property stāsta, ka, dalot ar vienu un to pašu bāzi, mēs atņemam eksponentus.

( frac {x ^ { frac {1} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )

Lai dalītu ar to pašu bāzi, mēs atņemam eksponentus.

( frac {1} {x ^ { frac {5} {3} - frac {1} {3}}} )

Vienkāršojiet.

( frac {1} {x ^ { frac {4} {3}}} )

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

Vienkāršojiet:

  1. (x ^ { frac {1} {6}} cdot x ^ { frac {4} {3}} )
  2. ( pa kreisi (x ^ {6} pa labi) ^ { frac {4} {3}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {2} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )
Atbilde
  1. (x ^ { frac {3} {2}} )
  2. (x ^ {8} )
  3. ( frac {1} {x} )

Vingrinājums ( PageIndex {16} )

Vienkāršojiet:

  1. (y ^ { frac {3} {4}} cdot y ^ { frac {5} {8}} )
  2. ( pa kreisi (m ^ {9} pa labi) ^ { frac {2} {9}} )
  3. ( frac {d ^ { frac {1} {5}}} {d ^ { frac {6} {5}}} )
Atbilde
  1. (y ^ { frac {11} {8}} )
  2. (m ^ {2} )
  3. ( frac {1} {d} )

Dažreiz mums ir jāizmanto vairāk nekā viens īpašums. Nākamajā piemērā mēs izmantosim abus Produkts enerģijas īpašumam un pēc tam Jaudas īpašums.

Piemērs ( PageIndex {9} )

Vienkāršojiet:

  1. ( pa kreisi (27 u ^ { frac {1} {2}} pa labi) ^ { frac {2} {3}} )
  2. ( pa kreisi (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {1} {2}} pa labi) ^ { frac {3} {2}} )

Risinājums:

a.

( pa kreisi (27 u ^ { frac {1} {2}} pa labi) ^ { frac {2} {3}} )

Vispirms mēs izmantojam produktu enerģijas īpašumam.

((27) ^ { frac {2} {3}} pa kreisi (u ^ { frac {1} {2}} pa labi) ^ { frac {2} {3}} )

Pārrakstīt (27 ) kā (3 ) spēku.

( left (3 ^ {3} right) ^ { frac {2} {3}} left (u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} { 3}} )

Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus.

( left (3 ^ {2} right) left (u ^ { frac {1} {3}} right) )

Vienkāršojiet.

(9 u ^ { frac {1} {3}} )

b.

( pa kreisi (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {1} {2}} pa labi) ^ { frac {3} {2}} )

Vispirms mēs izmantojam produktu enerģijas īpašumam.

( left (m ^ { frac {2} {3}} right) ^ { frac {3} {2}} left (n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} )

Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus.

(m n ^ { frac {3} {4}} )

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

Vienkāršojiet:

  1. ( pa kreisi (32 x ^ { frac {1} {3}} pa labi) ^ { frac {3} {5}} )
  2. ( left (x ^ { frac {3} {4}} y ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )
Atbilde
  1. (8 x ^ { frac {1} {5}} )
  2. (x ^ { frac {1} {2}} y ^ { frac {1} {3}} )

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

Vienkāršojiet:

  1. ( pa kreisi (81 n ^ { frac {2} {5}} pa labi) ^ { frac {3} {2}} )
  2. ( pa kreisi (a ^ { frac {3} {2}} b ^ { frac {1} {2}} pa labi) ^ { frac {4} {3}} )
Atbilde
  1. (729 n ^ { frac {3} {5}} )
  2. (a ^ {2} b ^ { frac {2} {3}} )

Mēs izmantosim abus Produkta īpašums un Quotient Property nākamajā piemērā.

Piemērs ( PageIndex {10} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} cdot x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
  2. ( left ( frac {16 x ^ { frac {4} {3}} y ^ {- frac {5} {6}}} {x ^ {- frac {2} {3}} y ^ { frac {1} {6}}} pa labi) ^ { frac {1} {2}} )

Risinājums:

a.

( frac {x ^ { frac {3} {4}} cdot x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )

Izmantojiet produkta rekvizītu skaitītājā, pievienojiet eksponentus.

( frac {x ^ { frac {2} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )

Izmantojiet rekvizītu Quotient, atņemiet eksponentus.

(x ^ { frac {8} {4}} )

Vienkāršojiet.

(x ^ {2} )

b.

( left ( frac {16 x ^ { frac {4} {3}} y ^ {- frac {5} {6}}} {x ^ {- frac {2} {3}} y ^ { frac {1} {6}}} pa labi) ^ { frac {1} {2}} )

Izmantojiet rekvizītu Quotient, atņemiet eksponentus.

( left ( frac {16 x ^ { frac {6} {3}}} {y ^ { frac {6} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )

Vienkāršojiet.

( left ( frac {16 x ^ {2}} {y} right) ^ { frac {1} {2}} )

Izmantojiet produktu enerģijas īpašībai, reiziniet eksponentus.

( frac {4 x} {y ^ { frac {1} {2}}} )

Vingrinājums ( PageIndex {19} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {m ^ { frac {2} {3}} cdot m ^ {- frac {1} {3}}} {m ^ {- frac {5} {3}}} )
  2. ( pa kreisi ( frac {25 m ^ { frac {1} {6}} n ^ { frac {11} {6}}} {m ^ { frac {2} {3}} n ^ { - frac {1} {6}}} pa labi) ^ { frac {1} {2}} )
Atbilde
  1. (m ^ {2} )
  2. ( frac {5 n} {m ^ { frac {1} {4}}} )

Vingrinājums ( PageIndex {20} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {u ^ { frac {4} {5}} cdot u ^ {- frac {2} {5}}} {u ^ {- frac {13} {5}}} )
  2. ( left ( frac {27 x ^ { frac {4} {5}} y ^ { frac {1} {6}}} {x ^ { frac {1} {5}} y ^ { - frac {5} {6}}} pa labi) ^ { frac {1} {3}} )
Atbilde
  1. (u ^ {3} )
  2. (3 x ^ { frac {1} {5}} y ^ { frac {1} {3}} )

Piekļūstiet šiem tiešsaistes resursiem, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi, vienkāršojot racionālos eksponentus.

  • Pārskatīšanas racionālie eksponenti
  • Eksponentu likumu izmantošana radikāļos: racionālo eksponentu īpašības

Galvenie jēdzieni

  • Racionālais eksponents (a ^ { frac {1} {n}} )
    • Ja ( sqrt [n] {a} ) ir reāls skaitlis un (n ≥2 ), tad (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).
  • Racionālais eksponents (a ^ { frac {m} {n}} )
    • Jebkuriem pozitīviem skaitļiem (m ) un (n )
      (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} text {un} a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [ n] {a ^ {m}} )
  • Eksponentu īpašības
    • Ja (a, b ) ir reālie skaitļi un (m, n ) ir racionāli skaitļi, tad
      • Produkta īpašums (a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} )
      • Jaudas īpašums ( pa kreisi (a ^ {m} pa labi) ^ {n} = a ^ {m cdot n} )
      • Produkts spēkam ((a b) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} )
      • Quotient Property ( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, a neq 0 )
      • Nulles eksponenta definīcija (a ^ {0} = 1, a neq 0 )
      • Pāreja uz enerģijas īpašumu ( pa kreisi ( frac {a} {b} pa labi) ^ {m} = frac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )
      • Negatīvs eksponenta īpašums (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}}, a neq 0 )