Raksti

3.5. Saistītās likmes - matemātika


Ja vairāki lielumi ir saistīti ar vienādojumu, tad, diferencējot abas šī vienādojuma puses attiecībā uz mainīgo (parasti (t ), kas apzīmē laiku), rodas sakarība starp šo lielumu izmaiņu ātrumiem. Pēc tam šajā sakarā izmanto zināmos izmaiņu ātrumus, lai noteiktu nezināmu saistīto ātrumu.

Piemērs ( PageIndex {1} ): pārvērtēt1

Pievienojiet tekstu šeit.

Risinājums

Pieņemsim, ka taisnstūra baseinā ūdens tiek iesūknēts ar ātrumu 60 000 kubikpēdas minūtē. Ja baseins ir 300 pēdas garš, 100 pēdas plats un 10 pēdu dziļš, cik ātri ūdens augstums baseina iekšienē mainās?

Risinājums: Ļaujiet (V ) būt ūdens tilpumam baseinā. Tā kā taisnstūrveida cietās vielas tilpums ir cietās vielas garuma, platuma un augstuma reizinājums, tad

[V ~ = ~ (300) (100) h ~ = ~ 30000h ~~ text {ft} ^ 3 ] kur (h ) ir ūdens augstums, kā attēlā labajā pusē. Gan (V ), gan (h ) ir laika (t ) funkcijas (mērot minūtēs), un tika dota ( dVdt = 60000 ~ text {ft} ^ 3 ) / min. Mērķis ir atrast ( frac {d ! H} { dt} ). Kopš

[ dVdt ~ = ~ ddt , (30000h) ~ = ~ 30000 , frac {d ! h} { dt} ], tad

[ frac {d ! h} { dt} ~ = ~ frac {1} {30000} dVdt ~ = ~ frac {1} {30000} cdot 60000 ~ = ~ 2 ~ text {ft / min}. ]

Piemērs ( PageIndex {1} ): relrate2

Pievienojiet tekstu šeit.

Risinājums

Pieņemsim, ka slīpuma leņķis no 100 pēdu masta augšdaļas uz sauli samazinās ar ātrumu (0,05 ) radiāni minūtē. Cik ātri staba ēnas garums uz zemes palielinās, ja slīpuma leņķis ir ( pi / 6 ) radians? Var pieņemt, ka stabs ir perpendikulārs zemei.

Risinājums: Ļaujiet ( theta ) būt slīpuma leņķim un (x ) - ēnas garumam, kā attēlā labajā pusē. Gan ( theta ), gan (x ) ir laika (t ) funkcijas (mērot minūtēs), un ( frac {d negmedspace theta} { dt} = -0,05 ) rad / min tika dota (atvasinājums ir negatīvs, jo ( theta ) samazinās). Mērķis ir atrast ( dxdt ), kad ( theta = pi / 6 ), ko apzīmē ar ( dxdt Biggr | _ { theta = pi / 6} ) (vertikālā josla nozīmē “Novērtēts pēc” apakšvirsraksta vērtības, kas atrodas pa labi no joslas). Kopš

[x ~ = ~ 100 ; cot , theta quad Rightarrow quad dxdt ~ = ~ -100 ; csc ^ 2 theta cdot frac {d negmedspace theta} { dt } ~ = ~ -100 ; csc ^ 2 theta cdot (-0.05) ~ = ~ 5 ; csc ^ 2 theta ], tad

[ dxdt Biggr | _ { theta = pi / 6} ~ = ~ 5 ; csc ^ 2 ( pi / 6) ~ = ~ 5 ; (2) ^ 2 ~ = ~ 20 ~ īsziņa {ft / min}. ]

Piemērs ( PageIndex {1} ): pārvērtēt3

Pievienojiet tekstu šeit.

Risinājums

Labā apļveida cilindra rādiuss samazinās ar ātrumu (3 ) cm / min, savukārt augstums palielinās ar ātrumu (2 ) cm / min. Atrodiet cilindra tilpuma izmaiņu ātrumu, kad rādiuss ir (8 ) cm un augstums (6 ) cm.

Risinājums: Ļaujiet (r ), (h ) un (V ) būt attiecīgi cilindra rādiusam, augstumam un tilpumam. Tad (V = pi , r ^ 2 , h ). Tā kā ( frac { dr} { dt} = -3 ) cm / min un ( frac {d negmedspace h} { dt} = 2 ) cm / min, tad pēc produkta kārtulas:

[ dVdt ~ = ~ ddt ( pi , r ^ 2 , h) ~ = ~ pa kreisi (2 pi , r ; cdot ; drdt pa labi) , h ~ + ~ pi , r ^ 2 ; cdot ; frac {d negmedspace h} { dt} quad Rightarrow quad dVdt Biggr | _ { text { scriptsize {$ begin {matrix} r = 8 h = 6 beigas {matrica} $}}} ~ = ~ 2 pi , (8) , (- 3) , (6) ~ + ~ pi , (8 ^ 2 ) , (2) ~ = ~ -160 pi ~ frac { text { scriptsize cm} ^ 3} { text { scriptsize min}} ]

[sec3dot5]

  1. Akmens tiek nomests negāzētā ūdenī. Ja apļveida ārējā viļņojuma rādiuss palielinās ar ātrumu (4 ) ft / s, cik ātri traucētā ūdens apļa laukums palielinās, kad rādiuss ir (10 ​​) pēdas?
  2. Sfēras rādiuss samazinās ar ātrumu 3 mm / h. Nosakiet, cik ātri mainās sfēras tilpums un virsmas laukums, kad rādiuss ir 5 mm.
  3. Pūķis (80 ) pēdas virs zemes līmeņa pārvietojas horizontāli ar ātrumu (4 ) pēdas / s prom no personas, kas ar to lido. Cik ātri virkne tiek atbrīvota brīdī, kad ir izlaistas (100 ) pēdas virknes?
  4. A (10 ​​) - pēdu kāpnes ir balstītas uz sienas uz līdzenas zemes. Ja kāpņu apakšdaļa tiek vilkta prom no sienas ar ātrumu (5 ) ft / s, cik ātri kāpņu augšdaļa nolaidīsies tajā brīdī, kad tā ir (8 ) pēdas no zemes?
  5. Persona, kuras garums ir 6 (6) pēdas, staigā ar ātrumu (6 ) pēdas / s prom no gaismas, kas atrodas (15 ) pēdas virs zemes. Ar kādu ātrumu cilvēka ēna pārvietojas pa zemi prom no gaismas?
  6. Objekts pārvietojas pa līkni (y = x ^ 3 ) (xy ) - plaknē. Kuros līknes punktos objekta (x ) un (y ) koordinātas mainās vienādā ātrumā?
  7. Labā apļveida konusa rādiuss samazinās ar ātrumu (4 ) cm / min, savukārt augstums palielinās ar ātrumu (3 ) cm / min. Atrodiet konusa tilpuma izmaiņu ātrumu, kad rādiuss ir (6 ) cm un augstums (7 ) cm.
  8. Divas laivas vienlaikus atstāj to pašu piestātni, viena iet uz ziemeļiem 25 jūdzes stundā, bet otra iet uz austrumiem - 30 jūdzes stundā. Cik ātri mainās attālums starp laivām, kad tās atrodas 100 jūdžu attālumā?
  9. Atkārtojiet 8. vingrinājumu ar leņķi starp laivām (110 grādi ). [[1.]]
  10. Leņķis ( theta ) mainās ar laiku. Kādām ( theta ) vērtībām mainās ( sin , theta ) un ( tan , theta ) tādā pašā ātrumā?
  11. Atkārtojiet piemēru

    Piemērs ( PageIndex {1} ): relrate2

    Pievienojiet tekstu šeit.

    Risinājums

    bet ar zemi izdarot (100 grādi ) leņķi ar stabu pa kreisi no staba. [[1.]]
  12. Taisna cilindriska tvertne, kas pilna ar ūdeni, tiek apgāzta ar nemainīgu leņķisko ātrumu. Pieņemsim, ka tvertnes augstums ir vismaz divreiz lielāks par rādiusu. Parādiet, ka brīdī, kad tvertne ir nogāzta (45 grādi ), ūdens no tvertnes iziet divreiz ātrāk, nekā tas notika brīdī, kad tvertne pirmo reizi tika nogāzta. (Padoms: Padomājiet par to, kā ūdens izskatās tvertnes iekšpusē, kad tas tiek nogāzts.


Skatīties video: CS50 Lecture by Mark Zuckerberg - 7 December 2005 (Novembris 2021).