Raksti

10.6: Daliet monogrāfijas (1. daļa) - matemātika


Prasmes attīstīties

  • Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot eksponentu īpašību Quotient
  • Vienkāršojiet izteicienus ar nulles eksponentiem
  • Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot jaudas rekvizīta koeficientu
  • Vienkāršojiet izteicienus, pielietojot vairākas īpašības
  • Sadaliet monomālus

esi gatavs!

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Vienkāršojiet: ( dfrac {8} {24} ). Ja esat nokavējis problēmu, skatiet 4.3.1. Piemēru.
  2. Vienkāršojiet: (2m3)5. Ja esat nokavējis problēmu, skatiet 10.3.13. Piemēru.
  3. Vienkāršojiet: ( dfrac {12x} {12y} ). Ja esat nokavējis problēmu, skatiet 4.3.5. Piemēru.

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot eksponentu īpašību

Iepriekš šajā nodaļā mēs izstrādājām eksponentu īpašības reizināšanai. Šīs īpašības mēs apkopojam šeit.

Reizināšanas eksponentu īpašību kopsavilkums

Ja a, b ir reālie skaitļi un m, n ir veseli skaitļi, tad

Produkta īpašumsam • an = am + n
Jaudas īpašums(am)n = am • n
Produkts spēkamab)m = ambm

Tagad mēs aplūkosim dalītāja eksponenta īpašības. Ātra atmiņas atsvaidzināšana var palīdzēt pirms sākam darbu. Frakcijās jūs uzzinājāt, ka frakcijas var vienkāršot, dalot kopējos faktorus no skaitītāja un saucēja, izmantojot rekvizītu Ekvivalentās frakcijas. Šis īpašums arī palīdzēs mums strādāt ar algebriskajām frakcijām - kas arī ir koeficienti.

Definīcija: Ekvivalentu frakciju īpašība

Ja a, b, c ir veseli skaitļi, kur b ≠ 0, c ≠ 0, tad

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} quad un quad dfrac {a cdot c} {b cdot c} = dfrac {a} {b} ]

Tāpat kā iepriekš, mēs centīsimies atrast īpašumu, aplūkojot dažus piemērus.

Apsveriet$$ dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}} $$un$$ dfrac {x ^ {2}} {x ^ {3}} $$
Ko viņi domā?$$ dfrac {x cdot x cdot x cdot x cdot x} {x cdot x} $$$$ dfrac {x cdot x} {x cdot x cdot x} $$
Izmantojiet rekvizītu Ekvivalentās frakcijas$$ dfrac { cancel {x} cdot cancel {x} cdot x cdot x cdot x} { cancel {x} cdot cancel {x} cdot 1} $$$$ dfrac { cancel {x} cdot cancel {x} cdot 1} { cancel {x} cdot cancel {x} cdot x} $$
Vienkāršojiet.$$ x ^ {3} $$$$ dfrac {1} {x} $$

Ievērojiet, ka katrā gadījumā bāzes bija vienādas, un mēs atņēmām eksponentus.

  • Kad lielākais eksponents atradās skaitītājā, mums palika faktori skaitītājā un 1 saucējā, kurus mēs vienkāršojām.
  • Kad lielākais eksponents atradās saucējā, mums saucējā palika faktori un skaitītājā 1, kurus nevarēja vienkāršot.

Mēs rakstām:

[ begin {split} dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}} qquad & quad dfrac {x ^ {2}} {x ^ {3}} x ^ {5 -2} qquad & ; dfrac {1} {x ^ {3-2}} x ^ {3} qquad quad & quad dfrac {1} {x} end {split} ]

Definīcija: Eksponentu īpašība

Ja a ir reāls skaitlis, a ≠ 0 un m, n ir veseli skaitļi, tad

[ dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, ; m> n quad un quad dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n-m}}, ; n> m ]

Pāris piemēri ar numuriem var palīdzēt pārbaudīt šo īpašumu.

[ begin {split} dfrac {3 ^ {4}} {3 ^ {2}} & stackrel {?} {=} 3 ^ {4-2} qquad ; dfrac {5 ^ {2}} {5 ^ {3}} stackrel {?} {=} dfrac {1} {5 ^ {3-2}} dfrac {81} {9} & kaudze {?} {=} 3 ^ {2} qquad ; ; dfrac {25} {125} stackrel {?} {=} dfrac {1} {5 ^ {1}} 9 & = 9 ; atzīme qquad ; ; ; dfrac {1} {5} = dfrac {1} {5} ; pārbaude end {split} ]

Kad mēs strādājam ar skaitļiem un eksponents ir mazāks vai vienāds ar 3, mēs izmantosim eksponentu. Kad eksponents ir lielāks par 3, mēs atstājam atbildi eksponenciālā formā.

Piemērs ( PageIndex {1} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {x ^ {10}} {x ^ {8}} ) (b) ( dfrac {2 ^ {9}} {2 ^ {2}} )

Risinājums

Lai vienkāršotu izteicienu ar koeficientu, vispirms jāsalīdzina skaitītājā un saucējā esošie eksponenti.

a)

Tā kā 10> 8, skaitītājā ir vairāk x faktoru.$$ dfrac {x ^ {10}} {x ^ {8}} $$
Izmantojiet koeficienta rekvizītu ar m> n, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m - n} ).$$ x ^ { textcolor {red} {10-8}} $$
Vienkāršojiet.$$ x ^ {2} $$

b)

Tā kā 9> 2, skaitītājā ir vairāk faktoru 2.$$ dfrac {2 ^ {9}} {2 ^ {2}} $$
Izmantojiet koeficienta rekvizītu ar m> n, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m - n} ).$$ 2 ^ { textcolor {red} {9-2}} $$
Vienkāršojiet.$$2^{7}$$

Ievērojiet, ka tad, kad lielākais eksponents atrodas skaitītājā, mums skaitītājā paliek faktori.

Vingrinājums ( PageIndex {1} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {x ^ {12}} {x ^ {9}} ) (b) ( dfrac {7 ^ {14}} {7 ^ {5}} )

Atbilde a

(x ^ 3 )

Atbilde b

(7^9)

Vingrinājums ( PageIndex {2} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {y ^ {23}} {y ^ {17}} ) (b) ( dfrac {8 ^ {15}} {8 ^ {7}} )

Atbilde a

(y ^ 6 )

Atbilde b

(8^8)

Piemērs ( PageIndex {2} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {b ^ {10}} {b ^ {15}} ) (b) ( dfrac {3 ^ {3}} {3 ^ {5}} )

Risinājums

Lai vienkāršotu izteicienu ar koeficientu, vispirms jāsalīdzina skaitītājā un saucējā esošie eksponenti.

a)

Kopš 15> 10 saucējā ir vairāk b faktoru.$$ dfrac {b ^ {10}} {b ^ {15}} $$
Izmantojiet koeficienta koeficientu ar n> m, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n - m}} ).$$ dfrac { textcolor {red} {1}} {b ^ { textcolor {red} {15-10}}} $$
Vienkāršojiet.$$ dfrac {1} {b ^ {5}} $$

b)

Tā kā 5> 3, saucējā ir vairāk faktoru 3.$$ dfrac {3 ^ {3}} {3 ^ {5}} $$
Izmantojiet koeficienta koeficientu ar n> m, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n - m}} ).$$ dfrac { textcolor {red} {1}} {3 ^ { textcolor {red} {5-3}}} $$
Vienkāršojiet.$$ dfrac {1} {3 ^ {2}} $$
Uzklājiet eksponentu.$$ dfrac {1} {9} $$

Ievērojiet, ka tad, kad lielākais eksponents atrodas saucējā, mums paliek koeficienti saucējā un 1 skaitītājā.

Vingrinājums ( PageIndex {3} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {x ^ {8}} {x ^ {15}} ) (b) ( dfrac {12 ^ {11}} {12 ^ {21}} )

Atbilde a

( frac {1} {x ^ 7} )

Atbilde b

( frac {1} {12 ^ 10} )

Vingrinājums ( PageIndex {4} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {m ^ {17}} {m ^ {26}} ) (b) ( dfrac {7 ^ {8}} {7 ^ {14}} )

Atbilde a

( frac {1} {m ^ 9} )

Atbilde b

( frac {1} {7 ^ 6} )

Piemērs ( PageIndex {3} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {a ^ {5}} {a ^ {9}} ) (b) ( dfrac {x ^ {11}} {x ^ {7}} )

Risinājums

a)

Tā kā 9> 5, saucējā ir vairāk a, un tāpēc mēs nonāksim pie faktoriem saucējā.$$ dfrac {a ^ {5}} {a ^ {9}} $$
Izmantojiet koeficienta koeficientu ar n> m, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n - m}} ).$$ dfrac { textcolor {red} {1}} {a ^ { textcolor {red} {9-5}}} $$
Vienkāršojiet.$$ dfrac {1} {a ^ {4}} $$

b)

Ievērojiet, ka skaitītājā ir vairāk x faktoru, jo 11> 7. Tātad mēs nonāksim pie faktoriem skaitītājā.$$ dfrac {x ^ {11}} {x ^ {97}} $$
Izmantojiet koeficienta rekvizītu ar m> n, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m - n} ).$$ a ^ { textcolor {red} {11-7}} $$
Vienkāršojiet.$$ x ^ {4} $$

Vingrinājums ( PageIndex {5} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {b ^ {19}} {b ^ {11}} ) (b) ( dfrac {z ^ {5}} {z ^ {11}} )

Atbilde a

(b ^ 8 )

Atbilde b

( frac {1} {z ^ 6} )

Vingrinājums ( PageIndex {6} ):

Vienkāršojiet: (a) ( dfrac {p ^ {9}} {p ^ {17}} ) (b) ( dfrac {w ^ {13}} {w ^ {9}} )

Atbilde a

( frac {1} {p ^ 8} )

Atbilde b

(w ^ 4 )

Vienkāršojiet izteicienus ar nulles eksponentiem

Īpašs Quotient Property gadījums ir tad, kad skaitītāja un saucēja eksponenti ir vienādi, piemēram, izteiksme, piemēram, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ). No agrākā darba ar daļām mēs to zinām

[ dfrac {2} {2} = 1 qquad dfrac {17} {17} = 1 qquad dfrac {-43} {- 43} = 1 ]

Vārdos skaitlis, kas dalīts ar sevi, ir 1. Tātad ( dfrac {x} {x} ) = 1 jebkuram x (x ≠ 0), jo jebkurš skaitlis, kas dalīts ar sevi, ir 1.

Eksponentu īpašība Quotient parāda, kā vienkāršot ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} ), kad m> n un kad n

Tagad mēs vienkāršosim ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ) divos veidos, lai mūs novestu pie definīcijas nulle eksponents. Apsveriet vispirms ( dfrac {8} {8} ), kas, kā mēs zinām, ir 1.

$$ dfrac {8} {8} = 1 $$
Rakstiet 8 kā 23.$$ dfrac {2 ^ {3}} {2 ^ {3}} = 1 $$
Atņem eksponentus.$$2^{3-3} = 1$$
Vienkāršojiet.$$2^{0} = 1$$

Mēs redzam, ka ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} ) vienkāršojas līdz a0 un uz 1. Tātad a0 = 1.

Definīcija: Zero Exponent

Ja a ir skaitlis, kas nav nulle, tad a0 = 1. Jebkurš nulles skaitlis, kas palielināts līdz nulles jaudai, ir 1.

Šajā tekstā mēs pieņemam, ka jebkurš mainīgais, kuru mēs paaugstinām līdz nullei, nav nulle.

Piemērs ( PageIndex {4} ):

Vienkāršojiet: a) 120 b) y0

Risinājums

Definīcija saka, ka jebkurš skaitlis, kas nav nulle, tiek palielināts līdz nulles jaudai, ir 1.

a) 120

Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.1

b) y0

Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.1

Vingrinājums ( PageIndex {7} ):

Vienkāršojiet: a) 170 b) m0

Atbilde a

1

Atbilde b

1

Vingrinājums ( PageIndex {8} ):

Vienkāršojiet: a) k0 b) 290

Atbilde a

1

Atbilde b

1

Tagad, kad mēs esam definējuši nulles eksponentu, mēs varam izvērst visus eksponentu rekvizītus, iekļaujot veselā skaitļa eksponentus.

Kā ir ar izteiciena paaugstināšanu līdz nullei? Apskatīsim (2x)0. Mēs varam izmantot produktu jaudas noteikumam, lai pārrakstītu šo izteicienu.

(2x)0
Izmantojiet izstrādājumu atbilstoši jaudas noteikumam.20x0
Izmantojiet rekvizītu Zero Exponent.1 • 1
Vienkāršojiet.1

Tas mums saka, ka jebkura izteiksme, kas nav nulle, tiek paaugstināta līdz nullei, ir viena.

Piemērs ( PageIndex {5} ):

Vienkāršojiet: (7z)0.

Risinājums

Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.1

Vingrinājums ( PageIndex {9} ):

Vienkāršojiet: (−4y)0.

Atbilde

1

Vingrinājums ( PageIndex {10} ):

Vienkāršojiet: ( left ( dfrac {2} {3} x right) ^ {0} ).

Atbilde

1

Piemērs ( PageIndex {6} ):

Vienkāršojiet: (a) (−3x2y)0 (b) −3x2y0

Risinājums

(a) (−3x2y)0

Produkts tiek paaugstināts līdz nulles jaudai.(−3x2y)0
Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.1

(b) −3x2y0

Ievērojiet, ka tikai mainīgais y tiek paaugstināts līdz nulles jaudai.−3x2y0
Izmantojiet nulles eksponenta definīciju.−3x2 • 1
Vienkāršojiet.−3x2

Vingrinājums ( PageIndex {11} ):

Vienkāršojiet: (a) (7x2y)0 b) 7x2y0

Atbilde a

1

Atbilde b

(7x ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {12} ):

Vienkāršojiet: (a) −23x2y0 (b) (−23x2y)0

Atbilde a

(- - 23x ^ 2 )

Atbilde b

1

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot jaudas rekvizīta koeficientu

Tagad mēs aplūkosim piemēru, kas mūs novedīs pie jaudas īpašuma koeficienta.

$$ left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} $$
Tas nozīmē$$ dfrac {x} {y} cdot dfrac {x} {y} cdot dfrac {x} {y} $$
Reiziniet frakcijas.$$ dfrac {x cdot x cdot x} {y cdot y cdot y} $$
Rakstiet ar eksponentiem.$$ dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}} $$

Ievērojiet, ka eksponents attiecas gan uz skaitītāju, gan uz saucēju. Mēs redzam, ka ( left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} ) ir ( dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}} ). Mēs rakstām:

[ pa kreisi ( dfrac {x} {y} pa labi) ^ {3} = dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}} ]

Tas noved pie Eksponentu jaudas īpašuma kvantitātes.

Definīcija: Eksponentu jaudas īpašību koeficients

Ja a un b ir reāli skaitļi, b ≠ 0 un m ir skaitīšanas skaitlis, tad

[ pa kreisi ( dfrac {a} {b} pa labi) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ]

Lai palielinātu daļu no jaudas, paceliet skaitītāju un saucēju līdz šai jaudai.

Piemērs ar numuriem var palīdzēt jums izprast šo īpašumu:

[ begin {split} left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} & stackrel {?} {=} dfrac {2 ^ {3}} {3 ^ {3}} dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} & stackrel {?} {=} dfrac {8} {27} dfrac {8} {27} & = dfrac {8} {27} ; pārbaude end {split} ]

Piemērs ( PageIndex {7} ):

Vienkāršojiet: (a) ( left ( dfrac {5} {8} right) ^ {2} ) (b) ( left ( dfrac {x} {3} right) ^ {4} ) (c) ( pa kreisi ( dfrac {y} {m} pa labi) ^ {3} )

Risinājums

(a) ( left ( dfrac {5} {8} right) ^ {2} )

Izmantojiet jaudas rekvizīta koeficientu ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ).$$ dfrac {5 ^ { textcolor {red} {2}}} {8 ^ { textcolor {red} {2}}} $$
Vienkāršojiet.$$ dfrac {25} {64} $$

(b) ( pa kreisi ( dfrac {x} {3} pa labi) ^ {4} )

Izmantojiet jaudas rekvizīta koeficientu ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ).$$ dfrac {x ^ { textcolor {red} {4}}} {3 ^ { textcolor {red} {4}}} $$
Vienkāršojiet.$$ dfrac {x ^ {4}} {81} $$

(c) ( pa kreisi ( dfrac {y} {m} pa labi) ^ {3} )

Paaugstiniet skaitītāju un saucēju līdz trešajai pakāpei.$$ dfrac {y ^ { textcolor {red} {3}}} {m ^ { textcolor {red} {3}}} $$

Vingrinājums ( PageIndex {13} ):

Vienkāršojiet: (a) ( left ( dfrac {7} {9} right) ^ {2} ) (b) ( left ( dfrac {y} {8} right) ^ {3} ) (c) ( pa kreisi ( dfrac {p} {q} pa labi) ^ {6} )

Atbilde a

( dfrac {49} {81} )

Atbilde b

( dfrac {y ^ 3} {512} )

Atbilde c

( dfrac {p ^ 6} {q ^ 6} )

Vingrinājums ( PageIndex {14} ):

Vienkāršojiet: (a) ( left ( dfrac {1} {8} right) ^ {2} ) (b) ( left ( dfrac {-5} {m} right) ^ {3 } ) (c) (pa kreisi ( dfrac {r} {s} pa labi) ^ {4} )

Atbilde a

( dfrac {1} {64} )

Atbilde b

(- dfrac {125} {m ^ 3} )

Atbilde c

( dfrac {r ^ 4} {s ^ 4} )


10.4 Sadaliet mononomus

Iepriekš šajā nodaļā mēs izstrādājām eksponentu īpašības reizināšanai. Šīs īpašības mēs apkopojam šeit.

Reizināšanas eksponentu īpašību kopsavilkums

Tagad mēs aplūkosim dalītāja eksponenta īpašības. Ātra atmiņas atsvaidzināšana var palīdzēt pirms sākam darbu. Sadaļā Frakcijas jūs uzzinājāt, ka frakcijas var vienkāršot, dalot kopējos faktorus no skaitītāja un saucēja, izmantojot rekvizītu Ekvivalentās frakcijas. Šis īpašums arī palīdzēs mums strādāt ar algebriskām daļām, kas arī ir koeficienti.

Ekvivalenta frakciju īpašība

Tāpat kā iepriekš, mēs centīsimies atrast īpašumu, aplūkojot dažus piemērus.

Apsveriet x 5 x 2 un x 2 x 3 Ko tie nozīmē? x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x ⋅ x Izmantojiet rekvizītu Ekvivalentās frakcijas. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ x Vienkāršojiet. x 3 1 x Apsveriet x 5 x 2 un x 2 x 3 Ko tie nozīmē? x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x ⋅ x Izmantojiet rekvizītu Ekvivalentās frakcijas. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ x Vienkāršojiet. x 3 1 x

Ievērojiet, ka katrā gadījumā bāzes bija vienādas, un mēs atņēmām eksponentus.

Eksponentu īpašība

Pāris piemēri ar numuriem var palīdzēt pārbaudīt šo īpašumu.

10.45. Piemērs

Risinājums

Lai vienkāršotu izteicienu ar koeficientu, vispirms jāsalīdzina skaitītājā un saucējā esošie eksponenti.

Ievērojiet, ka tad, kad lielākais eksponents atrodas skaitītājā, mums skaitītājā paliek faktori.

10.46. Piemērs

Risinājums

Lai vienkāršotu izteicienu ar koeficientu, vispirms jāsalīdzina skaitītājā un saucējā esošie eksponenti.

Ievērojiet, ka tad, kad lielākais eksponents ir saucējā, mums paliek faktori saucējā un 1 1 skaitītājā.

10.47. Piemērs

Risinājums

Vienkāršojiet izteicienus ar nulles eksponentiem

Īpašs Quotient Property gadījums ir tad, kad skaitītāja un saucēja eksponenti ir vienādi, piemēram, izteiksme, piemēram, m a m. a m a m. No agrākā darba ar daļām mēs to zinām

Nulles eksponents

Jebkurš nulles skaitlis, kas tiek palielināts līdz nulles jaudai, ir 1. 1.

Šajā tekstā mēs pieņemam, ka jebkurš mainīgais, kuru mēs paaugstinām līdz nullei, nav nulle.

10.48. Piemērs

Risinājums

Definīcija saka, ka jebkurš skaitlis, kas nav nulle, tiek palielināts līdz nulles jaudai, ir 1. 1.

Tagad, kad mēs esam definējuši nulles eksponentu, mēs varam izvērst visus eksponentu rekvizītus, iekļaujot veselā skaitļa eksponentus.

Kā ir ar izteiciena paaugstināšanu līdz nullei? Apskatīsim (2 x) 0. (2 x) 0. Mēs varam izmantot produktu jaudas noteikumam, lai pārrakstītu šo izteicienu.

Tas mums saka, ka jebkura izteiksme, kas nav nulle, tiek paaugstināta līdz nullei, ir viena.

10.49. Piemērs

Risinājums

10.50. Piemērs

Risinājums

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot jaudas rekvizīta koeficientu

Tagad mēs aplūkosim piemēru, kas mūs novedīs pie jaudas īpašuma koeficienta.

Ievērojiet, ka eksponents attiecas gan uz skaitītāju, gan uz saucēju.

Tas noved pie Eksponentu jaudas īpašuma kvantitātes.

Eksponentu jaudas īpašību koeficients

Lai palielinātu daļu no jaudas, paceliet skaitītāju un saucēju līdz šai jaudai.

Piemērs ar numuriem var palīdzēt izprast šo īpašumu:

10.51. Piemērs

Risinājums

Vienkāršojiet izteiksmes, lietojot vairākas īpašības

Tagad mēs apkoposim visus eksponentu rekvizītus, lai tie visi būtu kopā, lai atsauktos, kad mēs vienkāršojam izteiksmes, izmantojot vairākas īpašības. Ievērojiet, ka tie tagad ir definēti veselā skaitļa eksponentiem.

Eksponentu īpašību kopsavilkums

10.52. Piemērs

Risinājums

10.53. Piemērs

Risinājums

10.54. Piemērs

Risinājums

10.55. Piemērs

Risinājums

Šeit mēs nevaram vispirms vienkāršot iekavās, jo bāzes nav vienādas.

10.56. Piemērs

Risinājums

10.57. Piemērs

Vienkāršojiet: (y 2) 3 (y 2) 4 (y 5) 4. (y 2) 3 (y 2) 4 (y 5) 4.

Risinājums

Vienkāršojiet: (y 4) 4 (y 3) 5 (y 7) 6. (y 4) 4 (y 3) 5 (y 7) 6.

Vienkāršojiet: (3 x 4) 2 (x 3) 4 (x 5) 3. (3 x 4) 2 (x 3) 4 (x 5) 3.

Sadaliet Monomials

Tagad mēs esam redzējuši visas eksponentu īpašības. Mēs tos izmantosim, lai sadalītu monomālus. Vēlāk tos izmantosiet, lai sadalītu polinomus.

10.58. Piemērs

Atrodiet koeficientu: 56 x 5 ÷ 7 x 2. 56 x 5 ÷ 7 x 2.

Risinājums

Atrodiet koeficientu: 63 x 8 ÷ 9 x 4. 63 x 8 ÷ 9 x 4.

Atrodiet koeficientu: 96 y 11 ÷ 6 y 8. 96 g 11 ÷ 6 g 8.

Kad mēs dalām monomālus ar vairāk nekā vienu mainīgo, mēs katram mainīgajam uzrakstām vienu daļu.

10.59. Piemērs

Atrodiet koeficientu: 42 x 2 y 3 −7 x y 5. 42 x 2 y 3 −7 x y 5.

Risinājums

Atrodiet koeficientu: −84 x 8 y 3 7 x 10 y 2. −84 x 8 y 3 7 x 10 y 2.

Atrodiet koeficientu: −72 a 4 b 5 −8 a 9 b 5. −72 a 4 b 5 −8 a 9 b 5.

10.60. Piemērs

Atrodiet koeficientu: 24 a 5 b 3 48 a b 4. 24 a 5 b 3 48 a b 4.

Risinājums

Atrodiet koeficientu: 16 a 7 b 6 24 a b 8. 16 a 7 b 6 24 a b 8.

Atrodiet koeficientu: 27 p 4 q 7 −45 p 12 q. 27 p 4 q 7 −45 p 12 q.

Kad esat iepazinies ar procesu un esat to vairākkārt praktizējis soli pa solim, iespējams, vienā solī varēsit vienkāršot daļu.

10.61. Piemērs

Atrodiet koeficientu: 14 x 7 y 12 21 x 11 y 6. 14 x 7 g 12 21 x 11 g 6.

Risinājums

Atrodiet koeficientu: 28 x 5 y 14 49 x 9 y 12. 28 x 5 g 14 49 x 9 g 12.

Atrodiet koeficientu: 30 m 5 n 11 48 m 10 n 14. 30 m 5 n 11 48 m 10 n 14.

Visos līdzšinējos piemēros pirms frakcijas vienkāršošanas skaitītājā vai saucējā nebija jādara darbs. Nākamajā piemērā vispirms mēs atradīsim skaitītājā divu monomālu produktu, pirms mēs vienkāršojam daļu.

10.62. Piemērs

Atrodiet koeficientu: (3 x 3 y 2) (10 x 2 y 3) 6 x 4 y 5. (3 x 3 y 2) (10 x 2 y 3) 6 x 4 y 5.

Risinājums

Atcerieties, ka frakcijas josla ir grupēšanas simbols. Vispirms mēs vienkāršosim skaitītāju.

Atrodiet koeficientu: (3 x 4 y 5) (8 x 2 y 5) 12 x 5 y 8. (3 x 4 y 5) (8 x 2 y 5) 12 x 5 y 8.

Atrodiet koeficientu: (−6 a 6 b 9) (−8 a 5 b 8) −12 a 10 b 12. (−6 a 6 b 9) (−8 a 5 b 8) −12 a 10 b 12.

Mediji

PIEEJAMI PAPILDU TIEŠSAISTES RESURSI

10.4. Sadaļa Vingrinājumi

Prakse padara perfektu

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot eksponentu īpašību

Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet.

Vienkāršojiet izteicienus ar nulles eksponentiem

Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet.

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot koeficientu enerģijas īpašībai

Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet.

Vienkāršojiet izteiksmes, lietojot vairākas īpašības

Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet.

(3 x 4) 3 (2 x 3) 2 (6 x 5) 2 (3 x 4) 3 (2 x 3) 2 (6 x 5) 2

[−2 g. 3] 4 (3. g. 4) 2 (−6 g. 3) 2 (−2 g. 3) 4 (3. g. 4) 2 (−6 g. 3) 2

Sadaliet Monomials

Turpmākajos vingrinājumos sadaliet monomālus.

48 x 11 y 9 z 3 36 x 6 y 8 z 5 48 x 11 y 9 z 3 36 x 6 y 8 z 5

64 x 5 y 9 z 7 48 x 7 y 12 z 6 64 x 5 y 9 z 7 48 x 7 y 12 z 6

(10 u 2 v) (4 u 3 v 6) 5 u 9 v 2 (10 u 2 v) (4 u 3 v 6) 5 u 9 v 2

(6 m 2 n) (5 m 4 n 3) 3 m 10 n 2 (6 m 2 n) (5 m 4 n 3) 3 m 10 n 2

(6 a 4 b 3) (4 a b 5) (12 a 8 b) (a 3 b) (6 a 4 b 3) (4 a b 5) (12 a 8 b) (a 3 b)

(4 u 5 v 4) (15 u 8 v) (12 u 3 v) (u 6 v) (4 u 5 v 4) (15 u 8 v) (12 u 3 v) (u 6 v)

Jaukta prakse

27 a 7 3 a 3 + 54 a 9 9 a 5 27 a 7 3 a 3 + 54 a 9 9 a 5

32 c 11 4 c 5 + 42 c 9 6 c 3 32 c 11 4 c 5 + 42 c 9 6 c 3

32 y 5 8 y 2 - 60 y 10 5 y 7 32 y 5 8 y 2 - 60 y 10 5 y 7

48 x 6 6 x 4 - 35 x 9 7 x 7 48 x 6 6 x 4 - 35 x 9 7 x 7

63 r 6 s 3 9 r 4 s 2 - 72 r 2 s 2 6 s 63 r 6 s 3 9 r 4 s 2 - 72 r 2 s 2 6 s

56 g 4 z 5 7 g 3 z 3 - 45 g 2 z 2 5 g 56 g 4 z 5 7 y 3 z 3 - 45 g 2 z 2 5 g

Ikdienas matemātika

Rakstīšanas vingrinājumi

Pašpārbaude

Ⓐ Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu šīs sadaļas mērķu apguvi.

Ⓑ Kā jūs vērtējat šīs sadaļas prasmi skalā no 1 līdz 10, ņemot vērā jūsu atbildes uz kontrolsarakstu? Kā jūs to varat uzlabot?

Kā Amazon Associate mēs nopelnām no kvalificētiem pirkumiem.

Vai vēlaties citēt, kopīgot vai pārveidot šo grāmatu? Šī grāmata ir Creative Commons attiecinājuma licence 4.0, un jums jāpiešķir OpenStax.

    Ja jūs visu grāmatu vai tās daļu pārdalāt drukas formātā, tad katrā fiziskajā lapā jāiekļauj šāds attiecinājums:

  • Izmantojiet zemāk esošo informāciju, lai ģenerētu citātu. Mēs iesakām izmantot citēšanas rīku, piemēram, šo.
    • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Izdevējs / vietne: OpenStax
    • Grāmatas nosaukums: Prealgebra 2e
    • Publicēšanas datums: 2020. gada 11. marts
    • Atrašanās vieta: Hjūstona, Teksasa
    • Grāmatas URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • Sadaļas URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-4-divide-monomials

    © 2021. gada 21. janvāris OpenStax. Mācību grāmatu saturs, ko ražo OpenStax, tiek licencēts saskaņā ar Creative Commons Attribution License 4.0 licenci. Uz OpenStax vārdu, OpenStax logotipu, OpenStax grāmatu vākiem, OpenStax CNX nosaukumu un OpenStax CNX logotipu neattiecas Creative Commons licence, un tos nevar reproducēt bez Rīsu universitātes iepriekšējas un skaidras rakstiskas piekrišanas.


    10.6. Ievads faktoringa polinomiem

    Iepriekš mēs reizinājām faktorus, lai iegūtu produktu. Tagad mēs mainīsim šo procesu, sāksim ar produktu un pēc tam sadalīsim to faktoros. Produkta sadalīšanu faktoros sauc par faktoringu.

    Grāmatā Algebra valoda mēs aprēķinājām skaitļus, lai atrastu vismazāk kopīgo daudzkārtni (LCM) no diviem vai vairākiem skaitļiem. Tagad mēs veiksim izteiksmes un atradīsim lielākais kopīgais faktors no diviem vai vairākiem izteicieniem. Metode, kuru mēs izmantojam, ir līdzīga tai, ko mēs izmantojām, lai atrastu LCM.

    Lielākais kopīgais faktors

    Divu vai vairāku izteicienu lielākais kopīgais faktors (GCF) ir lielākais izteiciens, kas ir visu izteicienu faktors.

    Vispirms mēs atradīsim vislielāko divu skaitļu kopīgo faktoru.

    10.80. Piemērs

    Atrodiet lielāko kopējo koeficientu 24 24 un 36. 36.

    Risinājums

    1. darbība: Katru koeficientu ņem vērā pirmskaitļos. Rakstiet visus mainīgos ar eksponentiem izvērstā formā. 24. un 36. faktors.
    2. darbība: Sarakstā norādiet visus faktorus, kas atbilst kopējiem faktoriem.
    Katrā kolonnā riņķojiet kopīgos faktorus. Apvelciet 2, 2 un 3 apli, kas ir kopīgi abiem skaitļiem.
    3. solis: Norādiet kopīgos faktorus, kas ir kopīgi visiem izteicieniem. Nolaidiet lejā 2, 2, 3 un pēc tam reiziniet.
    4. solis: Reiziniet faktorus. 24 un 36 GKF ir 12.

    Ievērojiet, ka, tā kā GCF ir abu skaitļu faktors, 24 24 un 36 36 var rakstīt kā 12 reizinājumus. 12.

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru: 54, 36. 54., 36. lpp.

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru: 48, 80. 48, 80.

    Iepriekšējā piemērā mēs atradām vislielāko konstantu faktoru. Vislielākais algebriskās izteiksmes kopīgais faktors var saturēt mainīgos, kas paaugstināti līdz jaudām, kā arī koeficientus. Mēs apkopojam darbības, kuras mēs izmantojam, lai atrastu lielāko kopīgo faktoru.

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru.

    1. 1. solis. Katru koeficientu ņemiet vērā. Rakstiet visus mainīgos ar eksponentiem izvērstā formā.
    2. 2. solis. Sarakstā norādiet visus faktorus, kas atbilst kopējiem faktoriem. Katrā kolonnā riņķojiet kopīgos faktorus.
    3. 3. solis. Saziniet kopīgos faktorus, kas ir kopīgi visiem izteicieniem.
    4. 4. solis. Reiziniet faktorus.

    10.81. Piemērs

    Atrodiet lielāko kopīgo koeficientu 5 x un 15. 5 x un 15.

    Risinājums

    Faktors katram skaitlim pamatsummā.
    Katrā kolonnā noapaļojiet kopīgos faktorus.
    Norādiet kopīgos faktorus.
    5x un 15 GKF ir 5.

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru: 7 y, 14. 7. g., 14. gads.

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru: 22, 11 m. 22, 11 m.

    Līdz šim sniegtajos piemēros lielākais kopīgais faktors bija konstante. Nākamajos divos piemēros mēs iegūsim mainīgos lielākajā kopfaktorā.

    10.82. Piemērs

    Atrodiet lielāko kopējo koeficientu 12 x 2 12 x 2 un 18 x 3. 18 x 3.

    Risinājums

    Katru koeficientu ņem vērā pirmskaitļos un raksti
    mainīgie ar eksponentiem izvērstā formā.
    Katrā kolonnā noapaļojiet kopīgos faktorus.
    Norādiet kopīgos faktorus.
    Reiziniet faktorus.
    12 x 2 un 18 x 3 GKF ir 6 x 2. 12 x 2 un 18 x 3 GKF ir 6 x 2

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru: 16 x 2, 24 x 3. 16 x 2, 24 x 3.

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru: 27 y 3, 18 y 4. 27 y 3, 18 y 4.

    10.83. Piemērs

    Atrodiet lielāko kopējo koeficientu 14 x 3, 8 x 2, 10 x. 14 x 3, 8 x 2, 10 x.

    Risinājums

    Katru koeficientu ņem vērā pirmskaitļos un raksti
    mainīgie ar eksponentiem izvērstā formā.
    Katrā kolonnā noapaļojiet kopīgos faktorus.
    Norādiet kopīgos faktorus.
    Reiziniet faktorus.
    14 x 3, 8 x 2 un 10 x GKF ir 2 x 14 x 3 un 8 x 2 un 10 x GKF ir 2 x

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru: 21 x 3, 9 x 2, 15 x. 21 x 3, 9 x 2, 15 x.

    Atrodiet lielāko kopīgo faktoru: 25 m 4, 35 m 3, 20 m 2. 25 m 4, 35 m 3, 20 m 2.

    Faktors Lielākais kopfaktors no polinoma

    Izplatīšanas īpašums

    Kreisajā pusē esošo veidlapu izmanto, lai reizinātu. Labajā pusē esošo veidlapu izmanto faktora noteikšanai.

    Tātad, kā mēs izmantojam izplatīšanas īpašību, lai aprēķinātu polinomu? Mēs atrodam visu terminu GCF un uzrakstām polinomu kā produktu!

    10.84. Piemērs

    Risinājums

    1. darbība: Atrodiet visu polinoma terminu GKF. Atrodiet 2x un 14 GCF.
    2. darbība: Pārrakstiet katru terminu kā produktu, izmantojot GCF. Pārrakstiet 2x un 14 kā sava GCF produktus, 2.
    2 x = 2 ⋅ x 2 x = 2 ⋅ x
    14 = 2 ⋅ 7 14 = 2 ⋅ 7
    3. solis: Izmantojiet izplatīšanas rekvizītu “pretēji”, lai faktoru izteiktu. 2 (x + 7) 2 (x + 7)
    4. solis: Pārbaudiet, reizinot faktorus. Pārbaudiet:

    Ievērojiet, ka 10.84. Piemērā mēs izmantojām vārdu faktors gan kā lietvārds, gan darbības vārds:

    Faktors ir lielākais kopējais faktors no polinoma.

    1. 1. solis. Atrodiet visu polinoma terminu GCF.
    2. 2. solis. Pārrakstiet katru terminu kā produktu, izmantojot GCF.
    3. 3. solis. Izmantojiet izplatīšanas rekvizītu ‘otrādi’, lai koeficientu izteiktu.
    4. 4. solis. Pārbaudiet, reizinot faktorus.

    10.85. Piemērs

    Risinājums

    Pārrakstiet katru terminu kā produktu, izmantojot GCF.
    Izmantojiet izplatīšanas rekvizītu “pretēji”, lai aprēķinātu GKF.
    Pārbaudiet, reizinot faktorus, lai iegūtu sākotnējo polinomu.

    Nākamā piemēra izteicieniem ir kopīgi vairāki faktori. Atcerieties uzrakstīt GCF kā visu kopējo faktoru reizinājumu.

    10.86. Piemērs

    Risinājums

    Tagad mēs ņemsim vērā lielāko kopīgo faktoru no trinoma. Mēs sākam ar visu trīs terminu GCF atrašanu.

    10.87. Piemērs

    Risinājums

    Nākamajā piemērā mēs faktoru mainām no binomāla.

    10.88. Piemērs

    Risinājums

    Ja ir vairāki kopīgi faktori, kā redzēsim nākamajos divos piemēros, palīdz laba organizācija un veikls darbs!

    10.89. Piemērs

    Risinājums

    10.90. Piemērs

    Risinājums

    10.91. Piemērs

    Faktors: 14 x 3 + 8 x 2 - 10 x. 14 x 3 + 8 x 2 - 10 x.

    Risinājums

    Iepriekš mēs konstatējām, ka GCF 14 x 3, 8 x 2 un 10 x 14 x 3, 8 x 2 un 10 x ir 2 x. 2 x.

    Faktors: 18 g 3 - 6 g 2 - 24 g. 18 g 3 - 6 g 2 - 24 g.

    Faktors: 16 x 3 + 8 x 2 - 12 x. 16 x 3 + 8 x 2 - 12 x.

    Kad pirmā koeficienta koeficients, pirmā termiņa koeficients, ir negatīvs, mēs negatīvo ņemam vērā kā daļu no GCF.

    10.92. Piemērs

    Risinājums

    Kad vadošais koeficients ir negatīvs, GKF būs negatīvs. Ignorējot terminu zīmes, vispirms atrodam GCF 9y un 27 ir 9.
    Tā kā izteicienam −9y − 27 ir negatīvs vadošais koeficients, mēs izmantojam −9 kā GCF.
    - 9. g. - 27. g. - 9. g. - 27. g
    Pārrakstiet katru terminu, izmantojot GCF.
    Faktors GCF. - 9 (y + 3) - 9 (y + 3)

    Pievērsiet īpašu uzmanību terminu zīmēm nākamajā piemērā.

    10.93. Piemērs

    Risinājums

    Vadošais koeficients ir negatīvs, tāpēc GCF būs negatīvs.
    Tā kā vadošais koeficients ir negatīvs, GCF ir negatīvs, −4a.
    −4 a 2 + 16 a −4 a 2 + 16 a
    Pārrakstiet katru terminu.
    Faktors GCF. - 4 a (a - 4) - 4 a (a - 4)
    Pārbaudiet pats, reizinot.

    Mediji

    PIEEJAMI PAPILDU TIEŠSAISTES RESURSI

    10.6. Sadaļa Vingrinājumi

    Prakse padara perfektu

    Atrodiet vislielāko divu vai vairāku izteicienu kopīgo faktoru

    Turpmākajos vingrinājumos atrodiet lielāko kopīgo faktoru.

    Faktors Lielākais kopfaktors no polinoma

    Turpmākajos vingrinājumos ņemiet vērā lielāko kopējo faktoru no katra polinoma.

    Ikdienas matemātika

    Ieņēmumi Mikroviļņu krāsniņu ražotājs ir atklājis, ka ieņēmumus, kas iegūti, pārdodot mikroviļņus, kuru katra cena ir p p dolāri, dod polinoms −5 p 2 + 150 p. −5 p 2 + 150 p. Faktors ir lielākais kopīgais faktors no šī polinoma.

    Rakstīšanas vingrinājumi

    Pašpārbaude

    Ⓐ Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu šīs sadaļas mērķu apguvi.

    Ⓑ Vai, pēc apskatīšanas kontrolsarakstā, jūs domājat, ka esat labi sagatavojies nākamajai nodaļai? Kāpēc vai kāpēc ne?

    Kā Amazon Associate mēs nopelnām no kvalificētiem pirkumiem.

    Vai vēlaties citēt, kopīgot vai pārveidot šo grāmatu? Šī grāmata ir Creative Commons attiecinājuma licence 4.0, un jums jāpiešķir OpenStax.

      Ja jūs visu grāmatu vai tās daļu pārdalāt drukas formātā, tad katrā fiziskajā lapā jāiekļauj šāds attiecinājums:

    • Izmantojiet zemāk esošo informāciju, lai ģenerētu citātu. Mēs iesakām izmantot citēšanas rīku, piemēram, šo.
      • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
      • Izdevējs / vietne: OpenStax
      • Grāmatas nosaukums: Prealgebra 2e
      • Publicēšanas datums: 2020. gada 11. marts
      • Atrašanās vieta: Hjūstona, Teksasa
      • Grāmatas URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
      • Sadaļas URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-6-introduction-to-factoring-polynomials

      © 2021. gada 21. janvāris OpenStax. Mācību grāmatu saturs, ko ražo OpenStax, tiek licencēts saskaņā ar Creative Commons Attribution License 4.0 licenci. Uz OpenStax vārdu, OpenStax logotipu, OpenStax grāmatu vākiem, OpenStax CNX nosaukumu un OpenStax CNX logotipu neattiecas Creative Commons licence, un tos nevar reproducēt bez Rīsu universitātes iepriekšējas un skaidras rakstiskas piekrišanas.


      Matemāti

      Bija februāra beigas, kad mums paziņoja, ka skolas tiks slēgtas un ka mums ir jāizdomā jauns veids, kā mācīt pa nakti.

      Pēc diviem mēnešiem es joprojām cīnos. Es mīlu tehnoloģijas un domāju, ka tām ir liels potenciāls, taču lielākā daļa no mums kļūdījās. Mēs domājām, ka mēs varētu turpināt mācīt pa vecam, tikai aiz ekrāna, nevis klasē, bet bērniem ir garlaicīgi. Dažreiz man rodas sajūta, ka visi mani studenti guļ, un es neko nevaru darīt un gandrīz # 8230.

      Pirms dažām dienām es uzskrēju uzplaukuma kartēm www.boomlearning.com.

      Tas ļauj jums izveidot interaktīvas nodarbības un darīt visu, ko vēlaties: velciet un nometiet, aizpildiet tukšās vietas, izvēlieties vairākas izvēles iespējas.

      Ir tūkstošiem citu skolotāju jau izveidotu klāju, daži ir bezmaksas citi, par kuriem jums jāmaksā, bet tie ir skaisti, saistoši un jautri, un jūs varat izveidot paši savus klājus, lai jūs varētu izlemt, kāds līmenis ir piemērots jūsu klasei.

      Vēl viena spilgta tā puse ir tā, ka jūs varat pārdot izveidotos klājus.

      Es mācu vidusskolu un vidusskolu, un, kā es saprotu, uzplaukuma kartes nav tik bieži izmantojamas vecākiem skolēniem, kamēr tās patiešām ir populāras pamatskolā.

      Boom Cards ir ideāla sākotnējo skolotāju iesaistīšanās un efektivitātes kombinācija. Platforma nodrošina unikālu digitālo pieredzi studentiem, jo ​​tā piedāvā saturu perfektos gabaliņos. Spilgti attēli palīdz studentiem veikt svarīgus mācību uzdevumus pa vienam jautājumam, un skolēni jūtas kā spēlējuši jaunāko lietotni. Viss process tiek pilnveidots ar studentu spēju uzreiz ievadīt savas atbildes.

      Pats fakts, ka bērni nav pārņemti ar jautājumu sarakstu vai saistīto informāciju, ir viens no iemesliem, kāpēc pedagogi plūst uz kartītēm.

      Kontrole, ko Boom nodrošina skolotājiem, ir bezprecedenta, jo kartītes palīdz jūsu studentiem sasniegt mācību mērķus un reģistrē visas atbildes, radot atgriezeniskās saites iespējas un vērtēšanai izmantojamus datus.

      Skolēniem, kuri mācās digitālā vidē, tas ir absolūti svarīgs instruments, un, atkal ieejot klasē, tas paliks mūsdienu pamatskolas sastāvdaļa.


      Milleres kundze Matē Mavensa - 8. klase

      Jaudas īpašuma spēks
      Vārdi
      Uz fi un spēka jauda, ​​reiziniet eksponentus.
      Skaitļi
      [(4)^6]^3 = (4)^(18)
      Algebra
      [(a) ^ m] ^ n = (a) ^ (mn)

      Produkta īpašības spēks
      Vārdi
      Lai atrastu produkta spēku, atrodiet katra faktora spēku un vairoties.
      Skaitļi
      (3 ⋅ 2)^5 = (3^5) (2^5)
      Algebra
      (ab) ^ m = (a ^ m) (b ^ m)

      Kā jūs varat sadalīt divas pilnvaras, kurām ir tā pati bāze?

      10.4 Nulles un negatīvie eksponenti
      ES varu novērtēt izteicienus iesaistot skaitļus arnulle kā eksponents.
      Es varu novērtēt izteicienus iesaistot negatīvuvesels skaitlis.


      Kā jūs varat novērtēt nulles skaitli ar nulles eksponents?
      Kā jūs varat novērtēt nulles skaitli ar negatīvu vesels skaitlis eksponents?

      Vārdi
      Jebkuram skaitlim, kas nav nulle, a, (a) ^ 0 = 1. Jauda (0) ^ 0 nav definēts.
      Skaitļi
      (4)^0 = 1
      Algebra
      (a) ^ 0 = 1, kur & & 8800 0

      Negatīvie eksponenti
      Vārdi
      Jebkuram skaitlim n un jebkuram skaitlim ar nulli a (a) ^ (& # 8722n) ir (a) ^ n abpusējs.

      Kā jūs varat ierakstīt numuru zinātniskais apzīmējums?

      Skaitļu rakstīšana zinātniskajā pierakstā
      1. solis: Pārvietojiet decimāldaļu, lai tas atrastos pa labi no vadošais nulles cipars.
      2. solis: saskaitiet vietu skaitu, kuru pārvietojāt aiz komata.
      Tas norāda 10 pakāpes eksponentu.

      Skaitlis lielāks par vai vienāds ar 10
      Izmantojiet pozitīvu eksponentu, kad jūs pārvietojat komatu pa kreisi.
      8600 = 8.6 × 10^3

      Skaitlis starp 0 un 1
      Kad, izmantojiet negatīvu eksponentu jūs pārvietojat komatu uz labā puse.
      0.0024 = 2.4 × 10^(𕒷)

      ES varu saskaitīt, atņemt, reizināt, un sadaliet skaitļusrakstīts zinātniskiapzīmējums.


      Salivans, Strūve un Mazzarella

      Apmācot matemātiku, statistiku un ekonomiku, Maiklam Salivanam, III, ir daudzveidīgs mācību fons, kas ietver 27 gadus ilgas mācības gan vidusskolas, gan koledžas līmeņa matemātikā. Pašlaik viņš ir pilna laika matemātikas profesors Joliet Junior College. Maiklam ir daudz mācību grāmatu, tostarp ievada statistikas sērija un sērija Precalculus, kuras viņš raksta kopā ar savu tēvu Maiklu Salivanu.

      Maikls uzskata, ka viņa pieredze, rakstot tekstus koledžas līmeņa matemātikas un statistikas kursiem, dod viņam unikālu skatījumu uz to, kurp studenti virzās, kad viņi pamet matemātikas attīstības ceļu. Šī pieredze atspoguļojas viņa attīstības tekstu sērijas filozofijā un prezentācijā. Kad neatrodas klasē un neraksta, Maiklam patīk pavadīt laiku kopā ar trim bērniem Maiklu, Kevinu un Marisu un spēlēt golfu. Tagad, kad viņa divi dēli kļūst vecāki, viņam ir iespēja darīt abus vienlaikus!

      Kathy Struve ir klases skolotāja gandrīz 35 gadus, vispirms vidusskolas līmenī un pēdējos 27 gadus Kolumbusas štata kopienas koledžā. Keitija ietver klases dažādību: skolēnu vecuma, mācību stilu un iepriekšējo mācību panākumu daudzveidību. Viņa apzinās matemātikas mācīšanas problēmas lielā, pilsētas kopienas koledžā, kur studentiem ir dažāda matemātika un viņi var iestāties koledžā ar lielu matemātikas satraukumu.

      Keitija bija Kolumbusas štata Attīstības algebras kursa vadošā instruktore, kur viņa izstrādāja mācību programmu, vadīja seminārus un vadīja matemātikas nodaļas pasniedzējus. Viņa apgūst tehnoloģiju izmantošanu apmācībā un ir pasniegusi tīmekļa un hibrīdnodarbības papildus tradicionālajām klātienes un emporium stila nodarbībām. Viņa vienmēr meklē veidus, kā pilnīgāk iesaistīt studentus mācību procesā. Brīvajā laikā Keitijai patīk pavadīt laiku kopā ar divām pieaugušām meitām, četrām mazmeitām, kā arī braukt ar velosipēdu, doties pārgājienos un ceļot kopā ar vīru.

      Dženeta Mazzarella, kas dzimusi un augusi Sandjego apgabalā, pavadīja savu karjeru, mācot kulturāli un ekonomiski daudzveidīgās vidusskolās, pirms pirms 25 gadiem ieņēma vietu Dienvidrietumu koledžā. Dženeta ir pasniegusi plašu matemātikas kursu klāstu, sākot no aritmētikas līdz pat matemātikas / dabaszinātņu / inženierzinātņu specialitātēm, un ir apmācījusi matemātiku, izglītību, inženierzinātnes un grāmatvedību.

      Dženeta ir strādājusi, lai tehnoloģiju iekļautu mācību programmā, piedaloties interaktīvās matemātikas un matemātikas Pro izstrādē. Dienvidrietumu koledžā viņa palīdzēja attīstīt patstāvīgu attīstības matemātikas programmu. Turklāt Dženeta bija Matemātikas, dabaszinātņu un inženierzinātņu skolas dekāne, Matemātikas katedras priekšsēdētāja, fakultāšu arodbiedrību prezidente un vidējās algebras fakultātes koordinatore. In the past, free time consisted of racing motorcycles off-road in the Baja 500 and rock climbing, but recently she has given up the adrenaline rush of these activities for the thrill of traveling in Europe.

      Jessica Bernards, Contributor

      Jessica Bernards has been teaching mathematics since 2005. She began her career at the high school level and then transitioned to teaching at Portland Community College in 2010. She has taught a wide range of mathematics courses from Developmental Math up to Calculus and has created curriculum for all of these levels. Additionally, Jessica is a member of AMATYC's Project ACCCESS Cohort 9 where she developed a Math Study Skills Program which is now used across the nation. In 2017, she was the honored recipient of the Leila and Simon Peskoff AMATYC Award for her work with Project ACCCESS.

      When not working, Jessica loves spending time with her husband and two boys in the Pacific Northwest. She enjoys running races, cooking, and hiking and is also an active member of her community coordinating a neighborhood group that brings local moms together.

      Wendy Fresh, Contributor

      Wendy Fresh has been full-time instructor at Portland Community College since 1997 and has taught a wide range of classes from Developmental Math through Calculus, both on campus and online. Before teaching at PCC, Wendy began her teaching career in 1992, teaching high school at both rural and urban schools. Her love of creating curriculum to make the classroom come alive, has led her to working with technologies that can be incorporated into her many courses.

      She earned her Bachelor’s Degree in Mathematics Education from the University of Oregon and her Master’s Degree in the Teaching of Mathematics from Portland State University. When not teaching, Wendy loves hanging out at home with her husband and two college age “kids”. In addition, she enjoys running, gardening, watching soccer and reading.


      Monomials A monomial is an algebraic expression that consists of only one term. (A term is a numerical or literal expression with its own sign.) For instance, 9x , -4a², and 3mpx³ are all monomials. The number in front of the variable is called the numerical coefficient. In -9xy, -9 is the coefficient. Adding and subtracting monomials To add or subtract monomials, followContinue reading “Monomials part 1”

      Multiplying Positive and Negatives numbers We can only do arithmetic in the usual way. To calculate 5(−2), we have to do 5· 2 = 10 — and then decide on the sign. Is it +10 or −10? For the answer, we have the following Rule of Signs. Rules of signs Like signs produce a positiveContinue reading “Relative numbers (part 2)”


      Factor and Coefficient

      What is Factor?

      Each combination of the constants and variables, which form a term, is called a Factor.

      For examples

      (i) 7, x and 7x are factors of 7x, in which
      7 is constant (numerical) factor and x is variable (literal) factor.

      (ii) In &ndash5x2y, the numerical factor is &ndash5 and literal factors are : x, y, xy, x2 and x2y.

      ² Coefficient :

      Any factor of a term is called the coefficient of the remaining term.

      For example :

      (i) In 7x 7 is coefficient of x

      (ii) In &ndash5x2y 5 is coefficient of ­&ndashx2y &ndash5 is coefficient of x2y.

      Ex. 1 Write the coefficient of :

      coefficient of x0 is 7.Ø

      The greatest power (exponent) of the terms of a polynomial is called degree of the polynomial.

      For example :

      (a) In polynomial 5×2 &ndash 8×7 + 3x :

      (i) The power of term 5×2 = 2

      (ii) The power of term &ndash8×7 = 7

      Since, the greatest power is 7, therefore degree of the polynomial 5×2 &ndash 8×7 + 3x is 7

      (b) The degree of polynomial :

      (iii) 2m &ndash 7m8 + m13 is 13 and so on.

      v EXAMPLES v

      Ex.2 Find which of the following algebraic expression is a polynomial.

      Since, the power of the first term () is , which is not a whole number.

      Since, the exponent of the second term is
      1/3, which in not a whole number. Therefore, the given expression is not a polynomial.

      Ex.3 Find the degree of the polynomial :

      Sol. (i) Since the term with highest exponent (power) is 8×7 and its power is 7.

      The degree of given polynomial is 7.

      (ii) The highest power of the variable is 15

      (A) Based on degree :

      If degree of polynomial is

      x 3 + 3x 2 &ndash7x+8, 2x 2 +5x 3 +7,

      x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 , x 4 + 3,&hellip

      (B) Based on Terms :

      If number of terms in polynomial is

      2 + 7y 6 , y 3 + x 14 , 7 + 5x 9 ,&hellip

      x 3 &ndash2x + y, x 31 +y 32 + z 33 ,&hellip..

      Piezīme : (1) Degree of constant polynomials

      (Ex.5, 7, &ndash3, 8/5, &hellip) is zero.

      (2) Degree of zero polynomial (zero = 0
      = zero polynomial) is not defined.

      If a polynomial has only one variable then it is called polynomial in one variable.

      Ex. P(x) = 2x 3 + 5x &ndash 3 Cubic trinomial

      Q(x) = 7x 7 &ndash 5x 5 &ndash 3x 3 + x + 3 polynomial of

      S(t) = t 2 + 3 Quadratic Binomial

      for quadratic ax 2 + bx + c, a ¹ 0

      for cubic ax 3 + bx 2 + cx + d, a ¹ 0

      (i) Remainder obtained on dividing polynomial p(x) by x &ndash a is equal to p(a) .

      (ii) If a polynomial p(x) is divided by (x + a) the remainder is the value of p(x) at x = &ndasha.

      (iii) (x &ndash a) is a factor of polynomial p(x) if p(a) = 0

      (iv) (x + a) is a factor of polynomial p(x) if p(&ndasha) = 0

      (v) (x &ndash a)(x &ndash b) is a factor of polynomial p(x),

      v EXAMPLES v

      Ex.4 Find the remainder when 4×3 &ndash 3×2 + 2x &ndash 4 is divided by

      Sol. Let p(x) = 4×3 &ndash 3×2 + 2x &ndash 4

      (a) When p(x) is divided by (x &ndash 1), then by remainder theorem, the required remainder will be p(1)

      (b) When p(x) is divided by (x + 2), then by remainder theorem, the required remainder will be p (&ndash2).

      (c) When p(x) is divided by, then by remainder theorem, the required remainder will be

      Ø For a polynomial f(x) = 3×2 &ndash 4x + 2.

      To find its value at x = 3

      replace x by 3 everywhere.

      So, the value of f(x) = 3×2 &ndash 4x + 2 at x = 3 is

      Similarly, the value of polynomial

      (ii) at x = 0 is f(0) = 3(0)2 &ndash 4(0) + 2

      Ex.5 Find the value of the polynomial 5x &ndash 4×2 + 3 at:

      Sol. Let p(x) = 5x &ndash 4×2 + 3.

      (i) At x = 0, p(0) = 5 × 0 &ndash 4 × (0)2 + 3

      Ø If for x = a, the value of the polynomial p(x) is 0 i.e., p(a) = 0 then x = a is a zero of the polynomial p(x).

      For example :

      (i) For polynomial p(x) = x &ndash 2 p(2) = 2 &ndash 2 = 0

      x = 2 or simply 2 is a zero of the polynomial

      (ii) For the polynomial g(u) = u2 &ndash 5u + 6

      g(3) = (3)2 &ndash 5 × 3 + 6 = 9 &ndash 15 + 6 = 0

      3 is a zero of the polynomial g(u)

      Also, g(2) = (2)2 &ndash 5 × 2 + 6 = 4 &ndash 10 + 6 = 0

      2 is also a zero of the polynomial

      (a) Every linear polynomial has one and only one zero.

      (b) A given polynomial may have more than one zeroes.

      (c) If the degree of a polynomial is n the largest number of zeroes it can have is also n.

      Piemēram :

      If the degree of a polynomial is 5, the polynomial can have at the most 5 zeroes if the degree of a polynomial is 8 largest number of zeroes it can have is 8.

      (d) A zero of a polynomial need not be 0.

      For example : If f(x) = x2 &ndash 4,

      Here, zero of the polynomial f(x) = x2 &ndash 4 is 2 which itself is not 0.

      (e) 0 may be a zero of a polynomial.

      For example : If f(x) = x2 &ndash x,

      Here 0 is the zero of polynomial

      v EXAMPLES v

      Ex.6 Verify whether the indicated numbers are zeroes of the polynomial corresponding to them in the following cases :

      Sol. (i) p(x) = 3x + 1

      x = &ndash is a zero of p(x) = 3x + 1.

      and, p(2) = (2 + 1) (2 &ndash 2) = 3 × 0 = 0

      x = &ndash1 and x = 2 are zeroes of the given polynomial.

      x = 0 is a zero of the given polynomial

      x = &ndash is a zero of the given polynomial.

      x = is not a zero of the given polynomial.

      Ex.7 Find the zero of the polynomial in each of the following cases :

      Sol. To find the zero of a polynomial p(x) means to solve the polynomial equation p(x) = 0.

      (i) For the zero of polynomial p(x) = x + 5

      x = &ndash5 is a zero of the polynomial
      p(x) = x + 5.

      x = is a zero of p(x) = 2x + 5.

      Let us consider linear polynomial ax + b. The graph of y = ax + b is a straight line.

      For example : The graph of y = 3x + 4 is a straight line passing through (0, 4) and (2, 10).

      (i) Let us consider the graph of y = 2x &ndash 4 intersects the x-axis at x = 2. The zero 2x &ndash 4 is 2. Thus, the zero of the polynomial 2x &ndash 4 is the x-coordinate of the point where the graph y = 2x &ndash 4 intersects the x-axis.

      (ii) A general equation of a linear polynomial is
      ax + b. The graph of y = ax + b is a straight line which intersects the x-axis at .

      Zero of the polynomial ax + b is the x-coordinate of the point of intersection of the graph with x-axis.

      (iii) Let us consider the quadratic polynomial
      x2 &ndash 4x + 3. The graph of x2 &ndash 4x + 3 intersects the x-axis at the point (1, 0) and (3, 0). Zeroes of the polynomial x2 &ndash 4x + 3 are the
      x-coordinates of the points of intersection of the graph with x-axis.

      The shape of the graph of the quadratic polynomials is È and the curve is known as parabola.

      (iv) Now let us consider one more polynomial
      &ndashx2 + 2x + 8. Graph of this polynomial intersects the x-axis at the points
      (4, 0), (&ndash2, 0). Zeroes of the polynomial &ndashx2 + 2x + 8 are the x-coordinates of the points at which the graph intersects the x-axis. The shape of the graph of the given quadratic polynomial is Ç and the curve is known as parabola.

      The zeroes of a quadratic polynomial
      ax 2 + bx + c he x-coordinates of the points where the graph of y = ax 2 + bx + c intersects the x-axis.

      Cubic polynomial : Let us find out geometrically how many zeroes a cubic has.

      Let consider cubic polynomial

      The graph of the cubic equation intersects the
      x-axis at three points (1, 0), (2, 0) and (3, 0). Zeroes of the given polynomial are the
      x-coordinates of the points of intersection with the x-axis.

      The cubic equation x3 &ndash x2 intersects the x-axis at the point (0, 0) and (1, 0). Zero of a polynomial x3 &ndash x2 are the x-coordinates of the point where the graph cuts the x-axis.

      Zeroes of the cubic polynomial are 0 and 1.

      Cubic polynomial has only one zero.

      In brief : A cubic equation can have 1 or 2 or 3 zeroes or any polynomial of degree three can have at most three zeroes.

      Remarks : In general, polynomial of degree n, the graph of y = p(x) passes x-axis at most at n points. Therefore, a polynomial p(x) of degree n has at most n zeroes.

      v EXAMPLES v

      Ex.8 Which of the following correspond to the graph to a linear or a quadratic polynomial and find the number of zeroes of polynomial.

      Sol. (i) The graph is a straight line so the graph is of a linear polynomial. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only.

      (ii) The graph is a parabola. So, this is the graph of quadratic polynomial. The number of zeroes is zero as the graph does not intersect the x-axis.

      (iii) Here the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only (two coincident points).

      (iv) Here, the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is two as the graph intersects the x-axis at two points.

      (v) The polynomial is linear as the graph is straight line. The number of zeroes is zero as the graph does not intersect the x-axis.

      (vi) The polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is 1 as the graph intersects the x-axis at one point (two coincident points) only.

      (vii)The polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is zero, as the graph does not intersect the x-axis.

      (viii) Polynomial is neither linear nor quadratic as the graph is neither a straight line nor a parabola is one as the graph intersects the x-axis at one point only.

      (ix) Here, the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only (two coincident points).

      (x) The polynomial is linear as the graph is a straight line. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at only one point.


      10.6: Divide Monomials (Part 1) - Mathematics

      Review and practice for Final Exam by using the Final Exam study guide.

      Review and practice for Final Exam by using the Final Exam study guide.

      Assess students' level of understanding of important concepts learned during the school year.

      Final Exam for Periods 1-2

      Assess students' level of understanding of important concepts learned during the school year.

      Communicate to students the results of their Final Exam..

      13.3 The fundamental counting principle

      By the end of this lesson, students will be able to count the number of choices that can be made from sets

      Quiz on Sections 13.1-13.3 for Period 3

      Assess students' knowledge of the probability concepts learned in Sections 13.1-13.3

      Quiz on Sections 13.1-13.3 for Periods 1/2 Review for Final Exam

      Review for the Keystone Exam

      Review problems on the Predictive Keystone Exam given on Friday 05/16/ 2015

      Complete problems #7-20 on a new Review packet

      Keystone Exam in Algebra 1

      Answer students' questions on the Keystone Exam based on their needs.

      Keystone Exam in Algebra 1

      13.2 Counting the elements of sets (pp. 654-660)

      By the end of this lesson, students will be able to 1) find the union and intersection of sets 2) count the elements of sets 3) apply the addition of probability principle

      4.3 Introduction to probability

      Find the experimental probability that an event will occur.

      Practice for the Keystone Exam

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam

      Practice for the Keystone Exam

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam

      13.1 Theoretical probability (pp. 648-653)

      1) list or describe the sample space of an experiment 2) find the theoretical probability of a favorable outcome

      13.2 Counting the elements of sets (pp. 654-660)

      1) find the union and intersection of sets 2) count the elements of sets 3) apply the addition of probability principle

      Review and practice on Sections 12.6-12.7

      Use the tangent, sine and cosine ratios to solve problems

      Review for Test on Chapter 12

      Complete problems # 1-14 of Pretest during class

      For Period 1-2: p.643: # 2-30 even For Period 3: Complete problems 15-25 of Pretest.

      Practice for the Keystone Exam.

      Review diverse concepts learned during the school year.

      Assess students' knowledge of the concepts learned from Chapter 12.

      Keystone Exam preparation

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam.

      1) Define and use the equations of circles 2) Use the coordinate plane to investigate the diagonals of a rectangle and the midsegment of a triangle

      Review and practice on the distance, midpoint and circle formulas.

      Use the distance, midpoint, and circle formulas to solve problems.

      Identify and use the tangent ratio in a right triangle.

      12.6 The tangent function (Continued)

      Find unknown side and angle measures in right triangles.

      12.7 The sine and cosine functions

      1) Define the sine and cosine ratios in a right triangle 2) Find unknown side and angle measures in right triangles.

      12.3 The Pythagorean theorem (pp. 591-597)

      Find the side length of a right triangle given the length of its other two sides.

      12.3 The Pythagorean theorem (Continued)

      Apply the Pythagorean theorem to real-world problems.

      Second administration of the SLO Quiz

      SLO Quiz + Review for Quiz on S. 12.1-12.3

      Assess students' knowledge

      12.1 Operations with radicals (pp. 576-582)

      1) Identify and estimate square root 2) Define and write square root in simplest radical forms.

      p.581: # 24-45 multiples of 3

      12.1 Operations with radicals (Continued)

      1) Write square-root expressions in simplest radical form 2) Perform mathematical operations with radicals

      pp.581-582: 48-78 multiples of 3

      Review for the Benchmark Test

      Review the following concepts: slope, linear equations, linear functions.

      Review Chapter 5 Test on page 271

      12.2 Square root functions & radical equations (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to solve equations by using radicals.

      lpp. 589: # 30-36 even, 40, 42, 50, 52, 54-57

      11.2 Rational expressions and functions

      Define and illustrate the use of rational expressions and functions.

      11.2 Rational expressions and functions (Continued)

      Graph non-trivial rational functions

      11.3 Simplifying rational expressions.

      Factor the numerator and the denominator to simplify rational expressions

      11.3 Simplifying rational expressions (Continued)

      1) State the restrictions on the variable of the simplified rational expression 2) Extend simplification techniques to other algebraic fractions

      Assess students' knowledge of rational functions and simplification of rational functions.

      Students will be able to define and use two different forms of inverse variation to study real-world situations

      11.2 Rational expressions and functions

      Students will be able to define and illustrate the use of rational expressions and functions.

      10.5 The quadratic formula (Continued)

      Solve quadratic equations by using the quadratic formula

      10.6 Graphing quadratic inequalities (pp. 511-515)

      By the end of this lesson, students will be able to solve and graph quadratic inequalities and test solution regions.

      For Periods 1-2: p.514: # 12-33 multiples of 3 For Period 3: Complete the first twelve problems on Review packet.

      Review and practice for test on Ch 10

      Review all concepts/formulas learned in Ch 10

      Assess students' knowledge of quadratic functions.

      Students will be able to define and use two different forms of inverse variation to study real-world situations

      Review and practice for Test on Chapter 9

      Prepare students for Test on Chapter 9

      Assess students' knowledge of polynomials and factoring techniques

      10.4 Solving equations of the form x 2 +bx+c=0 (pp.498-503)

      By the end of this lesson, students will be able to solve quadratic equations by completing the square or by factoring.

      10.4 Solving equations of the form x 2 +bx+c=0 (pp.498-503)

      By the end of this lesson, students will be able to solve quadratic equations by completing the square or by factoring.

      10.5 The quadratic formula (pp.506-510)

      By the end of this lesson, students will be able to evaluate the discriminant to determine how many roots a quadratic equation has and whether it can be factored..

      10.1 Graphing parabolas (pp. 480-485)

      Discover how adding a constant to the parent function y = x 2 affects the graph of the function.

      10.1 Graphing parabolas (Continued)

      Use the zeros of a quadratic function to find the vertex of the graph of the function.

      pp. 484-485: # 32-40 even, 42-45

      10.2 Solving equations by using the square root (pp. 486-491)

      By the end of this lesson, students will be able to solve equation of the form ax 2 = k..

      10.2 Solving equations by using the square root (continued)

      Solve equation of the form ax 2 = k., where x is replaced by an algebraic expression.

      10.3 Completing the square (pp. 492-497)

      1) Form a perfect-square trinomial from a given quadratic binomial 2) write a given quadratic function in Vertex form.

      For periods 1-2: p.496: 18-42 even for Period 3: complete the first 15 problems on Pretest on loose leaf with your work!

      9.7 Factoring quadratic trinomials (pp. 458-463)

      1) Factor quadratic trinomials by using Guess-and-Check 2) Factor quadratic trinomials by using the grouping process.

      pp.462-463: 10-24 even, 27-36 multiples of 3

      9.7 Factoring quadratic trinomials (Continued)

      Students will be able to factor trinomials by using the methods learned in Section 9.7

      9.8 Solving equations by factoring (pp. 464-469) + Quiz on Sections 9.3-9.6

      1) Find the zeros of a function 2) Solve equations by factoring.

      Assess students' knowledge of the concepts learned in chapter 7

      Find products of binomials by using the FOIL method and mentally simplify special products of binomials.

      9.4 Polynomial Functions (pp. 443-447)

      1) Define polynomial functions 2) solve problems involving polynomial functions

      pp. 446-447: # 9-18 multiples of 3, 19-25

      9.5 Common Factors (pp.448-451)

      By the end of this lesson, students will be able to factor a polynomial by using the greatest common factor

      9.5 Factoring special polynomials

      1) Factor perfect-square trinomials 2) Factor the difference of two squares.

      7.6 Classic puzzles in two variables

      Solve traditional math puzzles in two variables

      Review and Practice for Test on Chapter 7

      Students practice class work as a preparation for Chapter 7 Test.

      Test on Chapter 7 postponed until Monday due to extreme weather.

      Students complete work on systems of linear equations from the Keystone preparation workbook.

      7.4 Consistent & inconsistent Systems

      Identify consistent, inconsistent, dependent & independent systems of linear equations

      lpp. 342: # 12-27 multiples of 3, 30, 31, 38

      * 7.5 Systems of inequalities (pp. 345-352)

      1) Graph the solution to a linear inequality 2) graph the solution to a system of linear inequalities

      7.5 Systems of inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to graph the solution to a system of linear inequalities

      7.5 Systems of inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to graph the solution to a system of linear inequalities

      Complete Practice worksheet to be distributed in class: Problems 1-9

      7.6 Classic puzzles in two variables

      Solve traditional math puzzles in two variables

      For Periods 1-2: pp. 358-359: # 11, 13-16 for Period 3: Complete the first 15 problems on Pretest.

      7.1 Graphing systems of equations

      Graph systems of equations and solve graphically systems of equations

      7.2 The substitution method (pp.326-330)

      Find the exact solution to a system of linear equations by using the substitution method

      7.3 The elimination method (pp 331-337)

      Use the elimination method to solve a system of equations

      Philadelphia School District Test

      Practice on Solving systems of linear equations

      Use the graphing, substitution or elimination methods to solve systems of linear equations

      Mid-Year Exam Review packet: # 66-79

      Mid-Year Exam for Period 1/2

      Exam for Periods 1/2 For Period 3: Practice for Benchmark 2 Test

      Mid-Year Exam for Period 3

      Exam for Period 3 For 1/2: Practice for Benchmark 2 Test

      7.1 Graphing systems of equations

      By the end of this lesson, students will be able to graph systems of equations and solve graphically systems of equations

      6.5 Absolute-value equations and inequalities.

      Use technology to check the solutions to Absolute-value equations and inequalities

      Complete the first 20 problems of The Review for Mid-Year Exam packet

      Complete problems # 25-40 of The Review for Mid-Year Exam packet

      Complete problems # 45-60 of The Review for Mid-Year Exam packet

      6.3 Compound inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to use compound inequalities to solve problems

      Quiz, and practice on solving compound inequalities

      6.4 Absolute value functions

      By the end of this lesson, students will be able to learn by exploring the features of absolute value functions, and the basic transformations of the absolute value functions

      pp.298: # 12-45 multiples of 3

      6.5 Absolute-value equations and inequalities

      By the end of this lesson, students will be able to solve absolute-value equations and inequalities, and express the solution as a range of values on the number line


      Example problems for broad differentiation

      Broad differentiation example problem 1:
      Find the third derivative value of the given function f(x) = 5x 4 - 7x 2 + 61x - 9
      Risinājums:
      Given function is f(x) = 5x 4 - 7x 2 + 61x - 9
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 20x 3 - 14x + 61
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 60x 2 - 14
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 120x
      Atbilde:
      The final answer is 120x
      Broad differentiation example problem 2:
      Find the third derivative value of the given function f(x) = 52x 4 - 17x 2 + 33x
      Risinājums:
      Given function is f(x) = 52x 4 - 17x 2 + 33x
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 208x 3 - 34x + 33
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 624x 2 - 34
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 1248x
      Atbilde:
      The final answer is 1248x

      Broad differentiation example problem 3:
      Find the fourth derivative value of the given function f(x) = 10x 4 + 4x 3 + 14x 2 - x
      Risinājums:
      Given function is f(x) = 10x 4 + 4x 3 + 14x 2 - x
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 40x 3 + 12x 2 + 28x - 1
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 120x 2 + 24x + 28
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 240x + 24
      For fourth derivative, we get
      f''''(x) = 240
      Atbilde:
      The final answer is 240


      Formula for how to rewrite radicals:

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical( `sqrt (1225)` )
      Given: ( `sqrt (1225)` )
      Risinājums: Given question says, radical (1225),
      When, we take radical for 1225, we obtain 25*49.
      Because, ( `^nsqrt (ab)` ) = ( ` ^nsqrt (a)` ) ( ` ^nsqrt (b)` )
      `sqrt (1225)` = `sqrt (25)` `sqrt (49)`
      = `sqrt(5)` * `sqrt(7)`
      `sqrt (1225)` = `35`
      Thus, we can do how to rewrite radicals in the prefered way.

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical( `^3sqrt (512)` )
      Given: ( `^3sqrt (512)` )
      Risinājums: Given question says, cubic root of (512),
      When, we take cubic root for 512, we obtain 8.
      Because, `8*8*8 = 512`
      `^3sqrt(512)` ` =` `8^3`
      Tāpēc cubic root for (512 ) = 8^3
      Thus,we can do how to rewrite radicals in the prefered way

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^3sqrt (729)`
      Given: ( `^3sqrt (729)` )
      Risinājums: Given question says, cubic root of (729),
      When, we take cubic root for 729, we obtain 9.
      Because, `9*9*9 = 729`
      `^3sqrt(729) = 9^3`
      Tāpēc cubic root of (729) = 9^3


      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^4sqrt (1296)`
      Given: ( `^4sqrt (1296)` )
      Risinājums: Given question says, fourth root of (1296),
      When, we take fourth radical for 1296, we obtain 6.
      Because, `6*6*6*6 = 1296`
      `^4sqrt(1296 )= 6^4`
      Tāpēc fourth root of (1296) = 6^4

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^5sqrt (3125)`
      Given: ( `^5sqrt (3125)` )
      Risinājums: Given question says, fifth root of (3125),
      When, we take Fifth radical for 3125, we obtain 8.
      Because, `5*5*5*5*5 = 3125`
      `^5sqrt(3125) = 5^5`
      Tāpēc fifth root of (3125) = 5


      Watch the video: Matemātika (Decembris 2021).