Raksti

Q, t-Kostka polinomi - matemātika


Priekšvēsture

Apzīmēsim ( Lambda ) simetrisku funkciju algebru ierobežotā vai bezgalīgā alfabētā (X = {x_1, x_2, ldots } ) ar koeficientiem racionālo funkciju laukā ( mathbb {Q} (q, t) ). Mēs arī ļausim (X_n ) apzīmēt ierobežoto alfabētu (x_1 + x_2 + ldots + x_n ).

Starpsienas mēs apzīmējam ar viņu franču Ferrers diagrammām, tas ir, rindām samazinoties no apakšas uz augšu. Nodalījumam ( mu ), kura garums nepārsniedz (k ), apzīmē ar ( mu + 1 ^ k ) nodalījumu, kas iegūts, diagrammai sagatavojot (k ) garuma kolonnu. ( mu ).

Q, t-Kostka polinomu definīcija

Nodalījumam ( lambda ) apzīmējam (P _ { lambda} (x; q, t) ) apzīmējot Makdonalda formas polinomu ( lambda ) un apzīmējot (Q _ { lambda} (x ; q, t) ) apzīmē tā duālo. Definējiet šo Makdonalda polinomu neatņemamo formu (J _ { lambda} (x; q, t) ) kā [J _ { lambda} (x; q, t) = h _ { lambda} (q, t) P _ { lambda} (x; q, t) = h '_ { lambda} (q, t) Q _ { lambda} (x; q, t) ] ar [h _ { lambda} (q, t) = prod_ {s in lambda} {(1-q ^ {a _ { lambda} (s)} t ^ {l _ { mu} (s) +1})}, ; ; ; ; h '_ { lambda} (q, t) = prod_ {s in lambda} {1-q ^ {a _ { lambda} (s) +1} t ^ {l _ { mu} (s) }} ] kur šūnai (s in lambda ) (a _ { lambda} (s) ) un (l _ { lambda} (s) ) attiecīgi apzīmē roku un kāju s no ( lambda ), tas ir ( lambda ) šūnu skaits, kas atrodas attiecīgi stingri uz austrumiem un ziemeļiem no (s ).

Makdonalds parādīja, ka [J _ { mu} [X; q, t] = summa _ { lambda} {S _ { lambda} [X (1-t)] K _ { lambda mu} (q, t) } ] koeficientiem (K _ { lambda mu} (q, t) ) in ( mathbb {Q} (q, t) ). Tika pieļauts, ka šie koeficienti, kurus sauc par (q, t ) -Kostka polinomi, patiesībā ir ( mathbb {Z} [q, t] ) polinomi.

Polinomitātes pierādījums

Ļaujiet [H _ { mu} [X; q, t] = J _ { mu} [ frac {X} {1-t}; q, t]. ] Tagad mums ir tieša piekļuve (q , t ) - Kostkas koeficienti, jo [H _ { mu} [X; q, t] = summa _ { lambda} {S _ { lambda} [X] K _ { lambda mu} (q, t) }. ] Ļaujiet arī [H _ { mu} [X; t] = Q _ { mu} [ frac {X} {1-t}; t] = summa _ { lambda} {S _ { lambda } [X] K _ { lambda mu} (t)}. ]

Garsijas un Zabrocki pierādījumu par (q, t ) - Kostka koeficientu polinomitāti centrā ir šāda teorēma.

Teorēma: Jebkuram lineārajam operatoram (V ), kas darbojas ar ( Lambda ) un (P in Lambda ) kopu [ tilde {V} ^ qP [X] = V ^ YP [qX + (1- q) Y] | _ {Y = X} ] kur (V ^ Y ) vienkārši (V ) darbojas uz (Y ) mainīgo polinomiem. Tas tiek dots, ja (G_k = G_k (X, t) ) ir jebkurš lineārs operators ( Lambda ) ar rekvizītu [G_kH _ { mu} [X; t] = H _ { mu + 1 ^ k} [X; t] ] visiem ( mu ), kuru garums nepārsniedz (k ), tad ( tilde {G_k} ^ q ) ir īpašums [ tilde {G_k } ^ qH _ { mu} [X; q, t] = H _ { mu + 1 ^ k} [X; q, t] ] visiem ( mu ), kuru garums nepārsniedz (k ). Konkrēti, modificētos Makdonalda polinomus (H _ { mu} [X; q, t] ) var iegūt no formulas "Rodriguez": [H _ { mu} [X; q, t] = tilde {G _ { mu'_1}} ^ q tilde {G _ { mu'_2}} ^ q cdots tilde {G _ { mu'_h}} ^ q textbf {1} ] kur ( mu '= ( mu'_1, mu'_2, ldots, mu'_h) ) apzīmē ( mu ) konjugātu.

Ņemot vērā šo teorēmu, (q, t ) - Kostka koeficientu polinomitāte ir šāda:

Definējiet "triviālu" operatoru (TG_k = TG_k (X; t) ), iestatot ( {H _ { mu} [X; t] } _ { mu} ) pamatu [TG_kH_ { mu} [X; t] = sākt {gadījumus}
H _ { mu + 1 ^ k} [X; t] & mbox {if} l ( mu) leq k
0 & mbox {citādi. }
end {cases} ] Kostka-Foulkes matrica (K (t) = | K _ { lambda mu} (t) | ) ir pārejas matrica starp ( {H _ { mu} [X; t] } _ { mu} ) un Schur funkcijas. Tā kā (K (t) ) ir vienstūrveida ar ierakstiem ( mathbb {Z} [t] ), no tā izriet, ka tā apgrieztā vērtība (H (t) = K (t) ^ {- 1} ) ir ieraksti ( mathbb {Z} [t] ). Tas nozīmē, ka (TG_kS _ { lambda} [X] ) ir neatņemama lineāra Schur funkciju kombinācija. Tā kā operators (TG_k ) darbojas integrēti, pamatojoties uz Schur, vēlamais rezultāts (K _ { lambda mu} (q, t) in mathbb {Z} [q, t] ) ir tūlītējas sekas no Rodrigesa formulas iepriekšminētajā teorēmā ar (G = TG ).

Atbalstītāji

  • Rodžers Tians (UC Deiviss)


Skatīties video: Monomi. Līdzīgo locekļu savilkšana. (Novembris 2021).