Raksti

3.5. Sasaistīšana - vienādojumu un nevienlīdzību sistēmas - matemātika


Šajā modulī mēs nonācām dažus soļus tuvāk $ 1 000 000 jautājuma risināšanai, apgūstot dažus vienādojumu sistēmu pamatprincipus. Piemēram, elektroinženieri var būt ieinteresēti noteikt strāvas stiprumu, kas plūst caur ķēdi, kā parādīts zemāk redzamajā diagrammā.

Elektriskā ķēde

Var izveidot un atrisināt vienādojumu sistēmu, kuras pamatā ir Kirhofa sprieguma likums, lai atrastu strāvu ampēros, kas plūst caur katru ķēdes atzarojumu. Kirhofa sprieguma likums ir balstīts uz principu, ka spriegums mainās intensitātē, pārvietojoties ap ķēdi. Katrs vienādojums sistēmā apzīmē vienu ķēdes atzaru, tāpēc strāvas atrašanai nepieciešamo vienādojumu skaits ir atkarīgs no ķēdes atzaru skaita. Piemēram, zemāk redzamajā attēlā ir attēlota ķēde no augšas ar trīs identificētām cilpu strāvām:

Elektriskā ķēde ar 3 cilpas strāvām

Tā kā ir trīs cilpas strāvas, mums vajadzētu uzrakstīt trīs vienādojumus ar trim mainīgajiem lielumiem, pamatojoties uz Kirchoff likumu, lai atrastu trīs nezināmās strāvas, kas veido sistēmu. Ja vēlaties uzzināt vairāk par Kirchoff likumu un cilpu straumēm, apmeklējiet šo vietni.

Ja turpināsiet apgūt vairāk matemātikas kursu, jūs varat uzzināt, kā atrisināt trīs vienādojumu sistēmas, un jūs pat varat apgūt visu kursu sistēmās, kuras sauc par lineāro algebru. Un no turienes jūs varat uzzināt vairāk par Navier-Stokes vienādojumiem un, iespējams, atrisināt vienu no septiņām vissvarīgākajām matemātikas problēmām pasaulē!


Kustība tieši uz priekšu

CMP4 MSA vienībai ir 14 problēmas, salīdzinot ar 17 CMP3 MSA problēmām.

Šī vienība turpina analizēt un attēlot kvantitatīvās attiecības starp neatkarīgajiem un atkarīgajiem mainīgajiem, kas tika uzsākta 6. klasē Mainīgie un modeliss vienība. Šī vienība turpina izpēti, izmantojot lineāras attiecības kā kontekstu, lai izpētītu, ko nozīmē būt lineārai, bet arī lai stiprinātu studentu lineāro izteiksmju, lineāro vienādojumu un lineāro nevienlīdzību izmantošanu. Tas arī turpina stiprināt studentu izpratni par proporcionālo pamatojumu, kas tika pētīts vairākās iepriekšējās 6. un 7. klašu vienībās, tostarp Daudzumu salīdzināšana, Izstiepšanās un saraušanās, un Salīdzināšana un mērogošana.

Tā kā CMP ir kontekstuāla uz problemātiku balstīta mācību programma, sākot ar kontekstuālām situācijām, protams, tiek parādīti divi mainīgie, kas savukārt motivē veidus, kā izteikt šīs attiecības, papildus verbālajiem attēlojumiem izmantojot tabulas, grafikus, izteicienus un vienādojumus. Šī vienība vienlaikus glabā attiecību izpēti uz galda, vienlaikus padziļinot studentu izpratni par lineārām izteiksmēm, vienādojumiem y = cirvis + b, un nevienlīdzība cirvis + b & lt c vai cirvis + b & gt c. Vienības laikā studenti meklē informāciju par vienu mainīgo, ņemot vērā otra mainīgā vērtību. To var izdarīt, argumentējot skaitliski, izmantojot tabulas vai grafikus, vai simbolus. Izteiksmes un vienādojumi parādās kā veids, kā izteikt lineāras attiecības. Tādējādi kontekstuālā situācija dod studentiem iespēju rakstīt, interpretēt un manipulēt ar simboliskām lineārām izteiksmēm, vienādojumiem un nevienlīdzībām. Kontekstuālās situācijas studentiem nodrošina arī kontekstu, lai attīstītu un iegūtu izpratni par linearitāti un vienlaikus attīstītu izpratni par lineārām simboliskām izteiksmēm un vienādojumiem.

Pirmais pētījums sākas ar staigāšanas ātruma eksperimentu un ir līdzīgs CMP3 ar dažām izmaiņām izmeklēšanas un problēmu nosaukumos, lai atspoguļotu lineāro izteiksmju un lineāro vienādojumu izmantošanu un ka lineāros vienādojumus var atrisināt ar tabulām un grafikiem. 2. pētījums ir līdzīgs CMP3, lielāku uzsvaru liekot uz tabulas un diagrammas datu punktu attiecībām ar lineāro vienādojumu risinājumiem, y = cirvis + b. 3. pētījums ir līdzīgs CMP3, izmantojot maisiņus un monētas, lai attīstītu vienlīdzības īpašības lineāro vienādojumu risināšanai. 4. izmeklēšanā ir vislielākās izmaiņas. Slīpums tiek ieviests kā veids, kā izteikt lineāro izmaiņu ātrumu un tādējādi savienot slīpumu kā attiecību pret izmaiņu ātrumu. Slīpums tiek ieviests kā attiecība, vertikālas izmaiņas katrai horizontālo izmaiņu vienībai. Tas ir saistīts ar lineāro izmaiņu ātrumu, kas novērots tabulā. Vertikālo izmaiņu un horizontālo izmaiņu attiecība ir vienāda neatkarīgi no tā, kur to mēra uz līnijas. Visas proporcijas (pieaugums: skrējiens) ir vienādas ar izmaiņu ātrumu vai koeficientu x (vai proporcionalitātes konstante, ja tā ir arī proporcionāla attiecība.)

Šis visu jautājumu kopums ir visu CMP algebras vienību izstrāde. Nākotnes vienībās lineāro attiecību pētījums atkal parādās, salīdzinot tos ar apgrieztām attiecībām, eksponenciālām, kvadrātiskām, polinomām vai racionālām attiecībām.

  • Kas ir problēmas mainīgie?
  • Dariet problēmas mainīgajiem ir lineāra saistība viens ar otru? Kas problēmas modeļi liecina, ka attiecības ir lineāras? Proporcionāli?
  • vai lineārās attiecības situācijā var attēlot ar verbālu aprakstu, tabulu, grafiku vai vienādojumu?
  • vai viena mainīgā izmaiņas ietekmē saistītā mainīgā izmaiņas? vai šīs izmaiņas tiek fiksētas tabulā, diagrammā vai vienādojumā?
  • vai atbildes uz jautājumiem var izmantot tabulas, grafikus un lineāro attiecību vienādojumus?

Studentiem jāspēj uzzīmēt līnijas vienādojums un noteikt punkta koordinātas. Viņiem arī jāspēj izmantot aizstāšanas principu un atrisināt lineāros vienādojumus ar vienu mainīgo.

Iesildīšanās jautājumi Dodiet saviem studentiem, teiksim, divus lineārus vienādojumus y = 2x + 4 un y = -x + 10 un pajautājiet viņiem, vai viņi var atrast sakārtotu pāri, kas apmierina abus vienādojumus. Ja viņiem ir nepieciešama palīdzība, lai sāktu darbu, iesakiet izmēģinājuma un kļūdu pieeju, piem. mēģiniet aizstāt (1, 1) abos vienādojumos. Tam jums vajadzētu dot

Neviens no šiem vienādojumiem nav patiess, tāpēc (1, 1) neapmierina nevienu vienādojumu. Ja viņi mēģina (1, 6), lai iegūtu citu piemēru, viņiem vajadzētu redzēt, ka tas atrisina pirmo vienādojumu, bet ne otro.

Izmēģinājumi un kļūdas var būt diezgan nogurdinoši (un nepraktiski, ja risinājums ir daļa vai decimāldaļa). Kad jūsu studentiem ir risinājums (vai, ja šķiet, ka viņi to neatrod), iesakiet uzzīmēt abus vienādojumus. Ja jūs to darāt, jums vajadzētu redzēt, ka tie šķērso punktu (2, 8). Ja jūs aizstājat šīs vērtības divos vienādojumos, jums vajadzētu redzēt, ka tas darbojas abos.

Pārskatīta precizitāte 1.5. Sadaļā es apspriedu dažus jautājumus par grafiku izmantošanu, lai atbildētu uz jautājumiem to raksturīgās neprecizitātes dēļ. Lai to redzētu, palūdziet studentiem uzzīmēt diagrammu, y = 4x + 1 un y = -2x + 10, lai atrastu to krustojumu. Precīzs rezultāts ir (3/2, 7), taču precīzas frakcijas vērtības noteikšana no grafika var būt sarežģīta. Ja jūsu studenti ir skeptiski par to, mēģiniet lūgt viņiem atrast krustojumu y = 2.4x +, 7 un y = -1.8x 2 un redziet, cik tālu viņi nokļūst. (Atbilde ir (-0,643, -0,843), ja rezultātus noapaļojat līdz tuvākajai tūkstošdaļai.)

Skolēniem no šī visa būtu jāatņem ziņa, ka diagrammas ir raksturīga neprecīza un neuzticama metode, lai noteiktu vienādojumu sistēmas (vai divu līniju krustojuma) risinājumu. Lai iegūtu precīzu rezultātu, nepieciešamas analītiskās metodes, par kurām attiecas nākamā sadaļa un pārējā šī sadaļa.

Daži īpaši gadījumi Vertikālo un horizontālo līniju krustojuma atrašana studentiem var būt nedaudz izaicinoša. Piemēram, ja jūs sākat ar y = 3 un x = 2, šķiet, ka aizstāšanas metode nedarbojas, jo nav x pirmajā vienādojumā aizstāt 2 ar un nav y otrajā vienādojumā aizstāt 3 ar.

Šajā gadījumā diagrammu veidošana var jums palīdzēt. Lieciet studentiem uzzīmēt līnijas y = 3 un x = 2 un atzīmējiet to krustojumu (2, 3). Norādiet, ka x krustojuma koordināta ir tāda pati kā skaitlis vertikālās līnijas vienādojumā, x = 2, un y-koordināta ir tāda pati kā skaitlis horizontālās līnijas vienādojumā, y = 3.

Jautājumi ar atbilžu variantiem Kad mācījos vidusskolā, regulāri startēju matemātikas sacensībās. Viena no šīm sacensībām bija standarta pārbaude ar atbilžu variantiem. Papildus tam, ka iemācījāmies veikt daudz matemātikas un ātri to izdarījām, mēs iemācījāmies arī trikus, kā rīkoties ar atbilžu pārbaudēm. Šis ir tas, ko mēs regulāri izmantojām, un tas var būt noderīgs arī standartizētos testos, piemēram, SAT. Ja es lūdzu jūs atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu un dodu jums četrus iespējamos risinājumus, no kuriem izvēlēties, tā vietā, lai pārietu uz metodēm, kuras mēs līdz šim esam apsprieduši, mēģiniet izmantot katru no četrām iespējām un aizstāt tās vienādojumos jautājumā. Opcijai, kas darbojas abos vienādojumos, jābūt pareizai atbildei. Šī metode samazina problēmu līdz nedaudzām aritmētiskām problēmām, kuras studenti parasti var novērtēt daudz mazāk laika, nekā nepieciešams sākotnējās problēmas atrisināšanai, izmantojot algebriskās metodes.


Attīstības matemātika: Prealgebra, Elementary Algebra un Intermediate Algebra, 2. izdevums

Teksta digitālā versija, kuru varat personalizēt un lasīt tiešsaistē vai bezsaistē. Ja jūsu instruktors ir uzaicinājis jūs pievienoties konkrētam Pearson eText kursam jūsu klasei, jums būs jāiegādājas eText, izmantojot viņu sniegto kursu ielūgumu saiti.

Meklēt pēc atslēgvārda vai lapas numura

Kas ir iekļauts

Digitālā platforma, kas piedāvā palīdzību, kad un kur tā nepieciešama, ļauj koncentrēt mācību laiku un nodrošina praktisku mācību pieredzi.

Tūlītēja piekļuve digitālajam saturam.

Kas ir iekļauts

Digitālā platforma, kas piedāvā palīdzību, kad un kur tā nepieciešama, ļauj koncentrēt mācību laiku un nodrošina praktisku mācību pieredzi.

Tūlītēja piekļuve digitālajam saturam.

Kas ir iekļauts

Digitālā platforma, kas piedāvā palīdzību, kad un kur tā nepieciešama, ļauj koncentrēt mācību laiku un nodrošina praktisku mācību pieredzi.

Kas ir iekļauts

Digitālā platforma, kas piedāvā palīdzību, kad un kur tā nepieciešama, ļauj koncentrēt mācību laiku un nodrošina praktisku mācību pieredzi.

Tūlītēja piekļuve digitālajam saturam.

Kas ir iekļauts

Digitālā platforma, kas piedāvā palīdzību, kad un kur tā nepieciešama, ļauj koncentrēt mācību laiku un nodrošina praktisku mācību pieredzi.


3.5. Sasaistīšana - vienādojumu un nevienlīdzību sistēmas - matemātika

PIEZĪME: Ch.5 HW pakete nav paredzēta līdz testa dienai. Tas, ko katru dienu redzat mājasdarbu uzskaitīšanai, netiks pārbaudīts līdz pārbaudes dienai.

  • Es varu atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot grafiku.
  • Es protu uzrakstīt lineāru vienādojumu sistēmu situācijas modelēšanai (vārds Problēma)
  • Es varu pārbaudīt savu lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu.
  • Es varu atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu ar aizstāšanu.
  • Es protu uzrakstīt lineāru vienādojumu sistēmu situācijas modelēšanai (vārds Problēma)

Ievietojiet savas atbildes savā spirālē, un jums ir jāizdara 5 līdz 8 problēmas katram Khānam

  • Es varu atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu ar aizstāšanu.
  • Es protu uzrakstīt lineāru vienādojumu sistēmu situācijas modelēšanai (vārds Problēma)

Ja nepieciešams, pārskatiet iepriekš minētos videoklipus 5. nodaļa HW pakete
(paredzēts testa dienā)

* 5.1-5.2. Novērtējums ir ieslēgts OTRDIENA 4/25

(Lettieri klase: Pre-Assessment atslēga atrodas Google Classroom)


Iespējas

Tekstu atšķir unikāli Salivana piemēri un vingrinājumu komplekti

  • Salivana piemēri tiek pasniegtas divu kolonnu anotētā formātā, kas paskaidro, ko autori gatavojas darīt katrā solī, tāpat kā profesors. Šie piemēri lasāmi no kreisās uz labo pusi, lai, lasot, studenti saprastu, ko katrs solis paveic. (Bieži piemēriem pēc katras darbības ir anotācijas vai norādes, nevis iepriekš.)
  • Vitrīnu piemēri veiciet paskaidrojumus vēl vienu soli tālāk, izmantojot trīs kolonnu formātu, kas studentiem izjauc problēmu risināšanas procesu. Kreisajā kolonnā ir aprakstīts solis, vidējā kolonnā pēc vajadzības tiek sniegta īsa anotācija, lai paskaidrotu darbību, un labajā kolonnā parādīta algebra. Tie tagad ir aplūkoti arī MyLab ™ Math, kā arī vadītie “How To” vingrinājumi, sniedzot studentiem pakāpenisku atbalstu, pārvarot problēmu.
  • Sullivan / Struve / Mazzarella Algebra programma ir paredzēts, lai motivētu studentus “veikt matemātiku” - mājās vai laboratorijā - izmantojot pilnu resursu kopumu, kas atbalsta dažādas mācību vides.
  • Vingrinājumu veidu dažādība katrā sadaļā
    • Celtniecības prasmju vingrinājumi attīstīt studentu izpratni par procedūrām un prasmēm darbā ar sadaļā izklāstītajām metodēm.
    • Jauktās prakses vingrinājumi piedāvāt visaptverošu prasmju novērtējumu, lūdzot studentus saistīt vairākus jēdzienus vai mērķus.
    • Ātrās pārbaudes vingrinājumi vingrinājumi seko piemēriem, ļaujot studentiem pielietot tikko apgūto. Katras sadaļas vingrinājumu komplektā tās ir numurētas kā pirmās problēmas, padarot tās par piešķiramām mājas darbiem un sniedzot vienkāršu veidu, kā atgriezties attiecīgajos piemēros, lai saņemtu papildu palīdzību. Ātrās pārbaudes ietver aizpildāmus un patiesus / nepatiesus jautājumus, lai novērtētu studentu izpratni par vārdu krājumu un formulām. Ātrās pārbaudes tiek numurētas kā daļa no mājas darbu komplekta, un tās MyLab Math var piešķirt instruktoriem.

    Papildu Salivana līmeņa studentu atbalsts

    • JAUNUMS! Ātrās atbildes (QR) kodi tagad parādieties pie katra sadaļas atvērēja, sadaļas Í-level vingrinājumos un kā daļa no nodaļas pārbaudēm. Viņi saista studentus ar videoklipiem un sīklietotnēm, kas ir pieejami šai sadaļai, dodot viņiem resursus visu rokai.
    • “Vai esat gatavs šai sadaļai” problēmas pārbaudiet studentu izpratni par priekšnoteikumu materiālu katrai jaunajai sadaļai.
    • Izskaidrot jēdzienu problēmas palūdziet studentiem izskaidrot jēdzienus ar saviem vārdiem.
    • Dažādi vingrinājumi, lai palīdzētu studentiem saprasties
      • Concepts vingrinājumu pielietošana palūdziet studentiem pielietot matemātiskos jēdzienus reālās situācijās.
      • Paplašinot vingrinājumus Concepts pārsniegt pamatus, izmantojot dažādas problēmas, lai saasinātu studentu kritiskās domāšanas prasmes.
      • Sintēzes pārskata vingrinājumi palīdziet studentiem izprast algebras “kopainu” - tiklīdz viņiem ir pietiekams konceptuālais pamats, lai balstītos uz savu darbu R – 4. nodaļā. Sintēzes pārskata vingrinājumos studentiem tiek lūgts veikt vienu darbību (pievienošana, risināšana un tā tālāk). vairāki objekti (polinomi, racionālas izteiksmes utt.). Pēc tam studentam tiek lūgts apspriest līdzības un atšķirības, veicot vienu un to pašu darbību ar dažādiem objektiem.
      • Tehnoloģiju vingrinājumi ir iekļauti sadaļas vingrinājumu komplekta beigās, ļauj problēmu risināšanai izmantot grafiku tehnoloģiju, piemēram, grafiku kalkulatorus, GeoGebra vai Demos. Šie vingrinājumi nav obligāti.
      • Problēmām, kuru numurs ir zaļš, ir pilnībā izstrādāti video risinājumi, kas atrodami MyLab Math.
      • Problēmas ar trīsstūra ikonu koncentrējas uz ģeometrijas jēdzieniem.

      Palīdzība studentiem sasaistīt idejas kopā

      • Lielā bilde: to salikt kopā (nodaļas atvērējs) funkcijas ir balstītas uz to, kā mēs sākam katru nodaļu klasē - ātri ieskicējot to, ko plānojam aplūkot. Šīs sadaļas sasaista jēdzienus un paņēmienus, apkopojot iepriekš aplūkoto materiālu un pēc tam saistot šīs idejas ar gaidāmo materiālu.
      • Jēdzienu apvienošana kopā (nodaļas vidusdaļa) ir vingrinājumu grupas katrā nodaļā atbilstošajā nodaļas punktā, kas kalpo kā pārskats - sintezējošs materiāls, kas ieviests līdz šim nodaļas punktam. Vingrinājumi šajos nodaļas vidū ir rūpīgi izvēlēti, lai palīdzētu studentiem redzēt “kopainu”.
      • Kumulatīvā pārskata mācīšanās: Algebra ir būvniecības process, un celtniecība ir saistīta ar ievērojamu pastiprinājumu. Kumulatīvā pārskata vingrinājumi katras nepāra numura nodaļas beigās, sākot ar 1. nodaļu, palīdz studentiem nostiprināt un nostiprināt savas zināšanas, pārskatot jēdzienus un izmantojot tos kontekstā. Katras pāra numurētās nodaļas kopsavilkumi ir atrodami Instruktora resursu centrā. Atbildes uz visām kumulatīvās pārskatīšanas problēmām parādās teksta aizmugurē.

      Pieejams arī ar MyLab Math.

      MyLab ™ Math ir tiešsaistes mājasdarbu, apmācību un novērtēšanas programma, kas paredzēta darbam ar šo tekstu, lai piesaistītu studentus un uzlabotu rezultātus. Tās strukturētajā vidē studenti praktizē apgūto, pārbauda savu izpratni un īsteno personalizētu mācību plānu, kas palīdz apgūt kursa materiālu un izprast sarežģītus jēdzienus.

      • MyLab matemātikas kursā ietilpst iepriekš sagatavoti un iepriekš piešķirti mājas darbi, pamatojoties uz autoru pieredzi, palīdzot studentiem un pasniedzējiem maksimāli izmantot mūsu MyLab matemātikas kursu.
        • Instruktoriem ir iespēja nekavējoties mācīt, izmantojot iepriekš sagatavotus / piešķirtus uzdevumus, bet viņi pēc vajadzības var arī rediģēt vai noņemt uzdevumus. Katras sadaļas uzdevumi sastāv no divām daļām:
        1) Uzziniet, izpētiet un veiciet ātrās pārbaudes vingrinājumus - šie uzdevumi sastāv no instrukciju vingrinājumiem, sīklietotnes vingrinājumiem, video un ātrās pārbaudes problēmām.

        2) Mājas uzdevumi

        Uzdevumi ir strukturēti tā, lai studenti apgūtu tipiskus kursus, bet katru stundu nedēļā par katru kredītstundu nodarbina 2 līdz 3 stundas ārpus stundas. Tas ir balstīts uz datiem, ko autori ieguvuši no Trešā izdevuma.

        • PAPLAŠINĀTS! Video programma sniedz studentiem tieši savlaicīgu palīdzību mājās, laboratorijā vai MyLab matemātikas kursā iziet daudz video resursu. Video resursi ietver:
          • Autora darbības videoklipi pilnmetrāžas autors Maiks Salivans, kurš uzstājas klasē un mijiedarbojas ar dzīvo studentu auditoriju. Studentiem ir pieejams maģistra skolotājs neatkarīgi no tā, kur un kad viņi mācās.
          • Piemēru līmeņa risinājumu klipi
          • Nodaļa Testa sagatavošana video palīdzēt studentiem viņu iemācāmākajā brīdī - kad viņi gatavojas pārbaudījumam, soli pa solim atrodot katrā nodaļā ieskaitītos vingrinājumus.
          • JAUNUMS! Ātrās atbildes (QR) kodi tagad parādieties pie katra sadaļas atvērēja, sadaļas Í-level vingrinājumos un kā daļa no nodaļas pārbaudēm. Katrs kods saista skolēnus ar videoklipiem un sīklietotnēm, kas ir pieejami šai sadaļai, dodot viņiem resursus visu rokai.
          • JAUNUMS! Mācīšanās Katalītika palīdz instruktoriem ģenerēt klases diskusijas, pielāgot lekcijas un veicināt vienaudžu mācīšanos, izmantojot reāllaika analīzi. Kā studentu atbildes rīks Learning Catalytics izmanto studentu viedtālruņus, planšetdatorus vai klēpjdatorus, lai iesaistītu viņus interaktīvākos uzdevumos un domāšanā.

          Jaunums šajā izdevumā

          Papildu Salivana līmeņa studentu atbalsts

          • Ātrās atbildes (QR) kodi tagad parādieties pie katra sadaļas atvērēja, sadaļas Í-level vingrinājumos un kā daļa no nodaļas pārbaudēm. Viņi saista studentus ar videoklipiem un sīklietotnēm, kas ir pieejami šai sadaļai, dodot viņiem resursus visu rokai.

          Pieejams arī ar MyLab Math.

          MyLab ™ Math ir tiešsaistes mājasdarbu, apmācību un novērtēšanas programma, kas paredzēta darbam ar šo tekstu, lai piesaistītu studentus un uzlabotu rezultātus. Tās strukturētajā vidē studenti praktizē apgūto, pārbauda savu izpratni un īsteno personalizētu mācību plānu, kas palīdz apgūt kursa materiālu un izprast sarežģītus jēdzienus.

          • Video programma sniedz studentiem tieši savlaicīgu palīdzību mājās, laboratorijā vai MyLab matemātikas kursā iziet daudz video resursu. Video resursi ietver:
            • Autora darbības videoklipi pilnmetrāžas autors Maiks Salivans, kurš uzstājas klasē un mijiedarbojas ar dzīvo studentu auditoriju. Studentiem ir pieejams maģistra skolotājs neatkarīgi no tā, kur un kad viņi mācās.
            • Piemēru līmeņa risinājumu klipi
            • Nodaļa Testa sagatavošana video palīdzēt studentiem viņu iemācāmākajā brīdī - kad viņi gatavojas pārbaudījumam, soli pa solim atrodot katrā nodaļā ieskaitītos vingrinājumus.
            • Ātrās atbildes (QR) kodi tagad parādieties pie katra sadaļas atvērēja, sadaļas Í-level vingrinājumos un kā daļa no nodaļas pārbaudēm. Katrs kods saista skolēnus ar videoklipiem un sīklietotnēm, kas ir pieejami šai sadaļai, dodot viņiem resursus visu rokai.
            • Mācīšanās Katalītika palīdz instruktoriem ģenerēt klases diskusijas, pielāgot lekcijas un veicināt vienaudžu mācīšanos, izmantojot reāllaika analīzi. Kā studentu atbildes rīks Learning Catalytics izmanto studentu viedtālruņus, planšetdatorus vai klēpjdatorus, lai iesaistītu viņus interaktīvākos uzdevumos un domāšanā.

            Starpposma algebra

            1. Funkciju algebra
            Atrodiet funkcijas domēnu un ierakstiet to intervālu pierakstā.
            Zināt vienkāršo funkciju klāstu.
            Lasiet domēnu, diapazonu un funkciju vērtības no to diagrammas.
            Novērtējiet f (x), (f + g) (x), (f & # 8211g) (x), (fg) (x), (f / g) (x),
            Izmantojiet vertikālās un horizontālās līnijas testus.
            Pārbaudiet, vai funkcija ir viens pret vienu.
            Pārbaudiet, vai funkcijai ir apgriezta vērtība, un atrodiet apgriezto funkciju.

            2. Nevienlīdzība
            Atrisiniet lineārās nevienlīdzības.
            Atrisiniet salikto lineāro nevienlīdzību.
            Konvertējiet absolūtās vērtības nevienādības saliktajā lineārajā nevienlīdzībā un atrisiniet.

            3. Lineārās sistēmas
            Atrisiniet 2 lineāro vienādojumu sistēmas 2 nezināmos.
            Novērtējiet 2x2 determinantu.
            Atrisiniet 3 lineāro vienādojumu sistēmas 3 nezināmos.
            Ziniet Cramers likumu lineāru sistēmu risinājumiem.
            Ģeometriski interpretējiet 2 lineāro vienādojumu sistēmu 2 nezināmos.
            Ģeometriski interpretējiet 3 lineāro vienādojumu sistēmu 3 nezināmos.
            Identificējiet lineārās sistēmas kā konsekventas vai pretrunīgas.
            Nosakiet, vai lineārā sistēma ir atkarīga.
            Nosakiet, vai 3-d lineārā sistēma ir grāmata, telts vai stūris.
            Ziniet, kā noteikt, vai divas plaknes ir paralēlas, sakrīt vai krustojas līnijā, ņemot vērā to vienādojumus.

            4. Polinomi
            Zināt polinoma definīciju.
            Atrodiet monomāla pakāpi.
            Atrodiet polinoma pakāpi.
            Saskaitot, atņemot un reizinot polinomus.
            Sadaliet polinomus, izmantojot garo dalījumu.
            Faktora polinomi
            Iegaumējiet īpašos produktus.
            Atrisiniet polinomu vienādojumus, faktorējot un izmantojot nulles reizinājuma likumu.
            Izprotiet atlikušo teorēmu.
            Faktors polinoms, atrodot vienādojuma & # 8220polynomial = 0 & # 8221 saknes.

            5. Racionālas izteiksmes
            Atrodiet polinomu LCD, faktorējot un atrodot kopīgos faktorus.
            Vienkāršojiet racionālas izteiksmes, atrodot LCD.
            Atrisiniet racionālus vienādojumus, reizinot abas puses ar LCD.

            6. Radikāls apzīmējums un racionāls eksponenta apzīmējums
            Zināt eksponentu likumus.
            Zināt negatīvo eksponentu un frakciju eksponentu definīcijas.
            Izprot kvadrātsaknes, kuba saknes un n-tās saknes definīciju.
            Rakstiet saknes, izmantojot gan radikālu pierakstu, gan racionālu eksponentu pierakstu.
            Vienkāršojiet izteicienus ar radikāļiem. Ziniet, ko vienkāršotā nozīmē radikāļiem.
            Vienkāršojiet izteicienus ar racionāliem eksponentiem.
            Ziniet, ko vienkāršots nozīmē racionālām eksponentu izteiksmēm ar un bez negatīviem eksponentiem.
            Konvertēt starp racionālu eksponentu apzīmējumu un radikālu pierakstu.

            7. Radikālie vienādojumi un racionālie eksponentu vienādojumi
            Atrisiniet vienādojumus ar vienu kvadrātsaknes izteiksmi, kvadrātiet abas puses.
            Atrisiniet vienādojumus ar 2 kvadrātsaknes izteiksmēm, kvadrātiņojot abas puses.
            Atrisiniet vienādojumus ar 2 kvadrātsaknes izteiksmēm un lineāru izteiksmi, divreiz kvadrātiņojot abas puses.
            Atrisināt vienādojumus ar radikāliem (saknēm).
            Atrisiniet vienādojumus ar racionāliem eksponentiem, paaugstinot tos uz savstarpējo spēku.
            Ziniet, kad varētu tikt ieviests papildu risinājums.
            Pārbaudiet domēnu, lai noskaidrotu, vai risinājums ir atļauts.

            8. Sarežģīti skaitļi Uzziniet i definīciju.
            Vienkāršojiet izteicienus ar negatīvo skaitļu kvadrātsaknēm.
            Zināt kompleksa numura definīciju un kompleksa skaitļa standarta formu.
            Atrodiet sarežģītā skaitļa reālās un iedomātās daļas, ievietojot to standarta formā.
            Atcerieties, ka kompleksa skaitļa iedomātā daļa ir i koeficients. Tas nesatur i.
            Novērtējiet i uz jebkuru vesela skaitļa jaudu.
            Vienkāršojiet izteicienus ar kompleksiem skaitļiem.
            Pievienojiet un atņemiet sarežģītus skaitļus.
            Reiziniet sarežģītus skaitļus ar foliju.

            9. Logaritma funkcijas
            Zināt logaritma definīciju.
            Grafu žurnāla funkcijas.
            Atrodiet žurnāla funkciju domēnu un diapazonu.
            Konvertēt starp žurnāla un eksponenciālām izteiksmēm.
            Iegaumējiet apaļkoku pamatīpašības.
            Pārvērst starp paplašināto apzīmējumu un viena žurnāla pierakstu.
            Vienkāršojiet žurnāla izteiksmes.
            Zināt, kā lietot un vienkāršot izteicienus ar ln.
            Atrisiniet vienādojumus ar žurnāliem ar nezināmo jebkurā no trim iespējamām pozīcijām.
            Aptuvenās vērtības kalkulatorā, pareizi noapaļojot.
            Kaluklatorā izmantojiet žurnālu 10. pamatnei un ln pamatnei e.

            10. Eksponenciālās funkcijas
            Iegaumē eksponentu likumus.
            Zināt eksponenciālās funkcijas definīciju.
            Identificējiet eksponenciālās funkcijas kā izaugsmi vai sabrukšanu.
            Grafiks eksponenciālās funkcijas.
            Atrodiet eksponenciālo funkciju domēnu un diapazonu.
            Konvertēt starp žurnāla un eksponenciālām izteiksmēm.
            Vienkāršojiet eksponenciālās izteiksmes.
            Atrisiniet eksponenciālos vienādojumus.
            Aptuvenās vērtības ar kalkulatoru, pareizi noapaļojot.
            Ņemot vērā datus, atrodiet eksponenciālu iedzīvotāju skaita pieauguma modeli.
            Atrodiet izaugsmes konstantes un dubultošanās laiku, ņemot vērā datus vai formulas populācijas pieaugumam.

            11. Kvadrātiķi Iegaumējiet kvadrātisko formulu.
            Novērtējiet kvadrātvienādojuma atšķirīgo.
            Nosakiet diskriminanta kvadrātvienādojuma sakņu būtību.
            Ņemot vērā kvadrātvienādojuma saknes, atrodiet vienādojumu.
            Atrisiniet kvadrātvienādojumu ar kvadrātsaknes metodi vai faktoringu vai kvadrātformulu.
            Atpazīt slēpto kvadrātu.
            Uzzīmējiet un identificējiet visus horizontālās un vertikālās parabolas attiecīgos punktus.

            12. Apļi un binomālā teorēma
            Atrodiet līnijas segmenta viduspunktu, kas savieno divus punktus.
            Atrodiet attālumu starp diviem punktiem.
            Aizpildiet kvadrātu, lai standarta formā uzrakstītu apļa vienādojumu.
            Norādiet apļa centru un rādiusu, ņemot vērā vienādojumu.
            Uzzīmējiet apļa vienādojumu.
            Paplašiniet binomiālus, izmantojot binomu formulu.
            Novērtējiet binomiālos koeficientus.
            Vienkāršojiet izteicienus ar faktoriāliem.

            13. Grafiki
            Iegaumējiet pamatgrafus par jaudām, saknēm, eksponenciāliem, žurnāliem, parabolām un apļiem.
            Zināt, kā tulkot grafikus horizontāli un vertikāli.
            Zināt, kā atspoguļot grafikus par līniju y = x.
            Zināt, kā atspoguļot grafikus par x vai y asi.

            Eksāmeni
            Pirmdiena, 8. decembris, 2,3,5 (nevienlīdzība, lineārās sistēmas, racionālas izteiksmes)
            Otrdiena, 9. decembris, 4,6,7 (polinomi, radikāls un racionāls eksponenta apzīmējums izteiksmēs un vienādojumos)
            Trešdiena, 10. decembris, 1,9,10,11 (funkciju algebra, žurnāla funkcijas, eksponenciālās funkcijas, kvadratika)
            Ceturtdien, 11. decembrī, iepriekš 8,12,13 (kompleksie skaitļi, apļi un binomālā teorēma, grafiki)


            Matricas

            Tradicionālais domāšanas veids par matricām ir lineāru vienādojumu sistēmas. Piemēram, jums var būt šādi divi vienādojumi:

            2 x + 3 y = 4 'role = "prezentācija" tabindex = "0"> 2 x + 3 y = 4 2 x + 3 y = 4 6 x + 2 y = 1' role = "prezentācija" tabindex = "0 "> 6 x + 2 y = 1 6 x + 2 y = 1

            Šie divi vienādojumi stāsta par divām attiecībām starp mainīgajiem x 'role = "presentation" tabindex = "0"> x x un y' role = "presentation" tabindex = "0"> y y. Izmantojot šīs divas attiecības, jūs varat atrisināt, kādi ir šie mainīgie.

            Ja jums bija tikai viens vienādojums, jums nav pietiekami daudz informācijas, lai atrisinātu gan x 'role = "presentation" tabindex = "0"> x x, gan y' role = "presentation" tabindex = "0"> y y. Faktiski tie var būt jebkas, kas apmierina attiecības, vai jebkas, kas atrodas rindā 2 x + 3 y = 4 'role = "presentation" tabindex = "0"> 2 x + 3 y = 4 2 x + 3 y = 4 , kuru pēc nedaudz algebras mēs varam attēlot šādi:

            2 x + 3 y = 4 'role = "prezentācija" tabindex = "0"> 2 x + 3 y = 4 2 x + 3 y = 4 3 y = 4 & amp # x2212 2 x' role = "prezentācija" tabindex = "0"> 3 y = 4 - 2 x 3 y = 4 - 2 xy = 4 & amp # x2212 2 x 3 'role = "prezentācija" tabindex = "0"> y = 4 - 2 x 3 y = 4 - 2 x 3

            Un, ja jūs uzzīmētu šo līniju, jūs redzētu, ka jebkurš šīs līnijas eksistē derīgs risinājums, kas apmierina šīs attiecības


            Dinamika

            Dragomirs N. Ņeņčevs. Teppei Tsujita, filmā Humanoid Robots, 2019. gads

            4.12.5 Kopsavilkums un secinājumi

            Ir apstiprināts, ka tiešā izslēgšana, Gausa & # x27 mazākā ierobežojuma princips, Maggi & # x27s nulles telpas projekcija un diapazona-telpas projekcijas metodes dod identiskus vienādojumus: (4.168), (4.180), (4.195) un ( Attiecīgi 4.204). Viņu līdzvērtība tika apstiprināta ar šādiem nosacījumiem:

            dinamika tiek projicēta uz N ⁎ (J c),

            attiecīgais tukšās telpas projektors tiek parametrizēts kā (4.192),

            patvaļīgais vispārinātais spēks Q a ir iestatīts kā (4.194).

            Šie nosacījumi attiecas uz ideāls ierobežojumi, pie kam kustība vienmēr ir saskaņā ar Gausa & # x27 mazāko ierobežojumu principu. Ar noteiktu vispārinātu ievades spēku kustība tiek noteikta unikālā veidā. Tas nozīmē arī visu komponentu unikalitāti: Lagranža & # x27s reizinātāju (4.170), vispārinātu ierobežojuma spēku (4.169), neierobežotu vispārinātu paātrinājumu q ¨ u un ierobežojumiem atbilstošu vispārinātu paātrinājumu ar diviem komponentiem, kas parādīti (4.174). (lineārais, tangenciālais q ¨ m un nelineāra, no stāvokļa atkarīga sastāvdaļa normālā virzienā).

            Tomēr reālā sistēmā ierobežojumi nekad nav ideāli, pie kontaktsavienojumiem vienmēr ir neliela berze un atbilstība. Tas padara ierobežojuma vienādojumus neviendabīgus un prasa aktīvu ierobežojumu spēku kontroli. Jo īpaši daudzpakāpju / pirkstu / kāju robotos šo spēku vadība ir būtiska reakcijai balstītai virzībai un manipulācijām. Šādu vadību var sasniegt bezgalīgi daudzos veidos, jo vispārīgos spēkus Q u un Q a, kas parādās attiecīgi (4.181) un (4.189), var brīvi izvēlēties. Pirmais attiecas uz tangenciālā spēka kontroli, otrais nodrošina vadāmību normālā virzienā un līdz ar to arī iekšējo spēku. Ņemiet vērā arī to, ka, izvēloties Q u, Lagranža un # x27s reizinātāja vektoru (4.177), ierobežojuma spēks Q c (4.179) un ierobežojums, kas uztur spēku Q m (4.181), tiks noteikts unikālā veidā. Turklāt jāatgādina, ka nonideal ierobežojumi padarīs sistēmas kustību neintegrējamu paātrinājuma līmenī. Tā rezultātā var parādīties kopīga ātruma novirze, kas prasīs iekšējas kustības (paškustības) kontroli.


            Pierādiet šo nevienlīdzību $ 25ab + 25a + 10b le38 $

            Piezīme $ 25ab + 25a + 10b = (5a-4) (5b-3) + 40a + 30b-12 $ Izmantojiet AM-GM nevienlīdzību, kas mums ir $ (5a-4) (5b-3) le dfrac <1> <2> [(5a-4)^2+(5b-3)^2]=dfrac<1> <2> [50-40a-30b] $ tātad $ 25ab + 25a + 10b le 20a + 15b + 13 = 5 [4a + 3b] + 13 $ un izmantojiet Cauchy-Schwarz nevienlīdzību, mums ir $ 25 = [4 ^ 2 + 3 ^ 2] [a ^ 2 + b ^ 2] ge (4a + 3b) ^ 2 $ mums ir $ 25ab + 25a + 10b le 5 cdot 5 + 13 = 38 $

            Vēl viens veids - ja jūs zināt vienlīdzības nosacījumus, viss, kas jums jāpārliecinās, ir izmantot nevienlīdzību, kas tos uztur. Šajā gadījumā jums jāatrod robežas $ ab, a, b $ attiecībā uz $ a ^ 2, b ^ 2 $. Tātad šādas nevienlīdzības izskatās daudzsološas $ (3a-4b) ^ 2 ge 0, quad (5a-4) ^ 2 ge 0, quad (5b-3) ^ 2 ge 0 $. Tie piešķir robežas: $ 24 ab le 9a ^ 2 + 16b ^ 2, quad 40a le 16 + 25a ^ 2, quad 30b le 9 + 25b ^ 2 $

            Saliekot to kopā, mums ir $ 25ab + 25a + 10b le frac <25> <24> (9a ^ 2 + 16b ^ 2) + frac <25> <40> (16 + 25a ^ 2) + frac <10> <30> (9 + 25b ^ 2) = 13 + 25 (a ^ 2 + b ^ 2) = 38 $

            No dotajiem nosacījumiem mēs varam rakstīt, $ a = sin theta, b = cos theta, theta in (0, pi / 2) $. Tad mērķa funkcija kļūst par $ f ( theta) = 25/2 sin 2 theta + 25 sin theta + 10 cos theta f '( theta) = 25 cos 2 theta + 25 cos theta-10 sin theta $ Vienādojiet to ar $, lai iegūtu $ theta $ risinājumu, es uzskatu, ka tas attiecas uz kubiskā vienādojuma $ 100 cos ^ 3 theta-71 cos theta + 21 = atrisināšanu 0 $, kā rezultātā iegūst trīs reālus risinājumus, no kuriem viens, kas maksimizē funkciju, ir $ cos theta = frac <3> <5>, nozīmē sin theta = frac <4> <5>, sin 2 theta = frac <24> <25> nozīmē f ( theta) le 38, all theta in (0, pi / 2) $.

            Uzrakstīsim $ a = (4 + u) / 5 $ un $ b = (3-v) / 5 $. Nosacījums $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ kļūst

            Kļūst nevienlīdzība $ 25ab + 25a + 10b le38 $

            Putting these together, the inequality is equivalent to

            which holds for all $u$ and $v$.

            Note, it's easy to see from $a^2+b^2=1$ that $u$ and $v$ cannot have opposite signs, which makes the equivalent inequality completely obvious, but the inequality holds in general.


            Skatīties video: vienādojumu sistēmas!!!IMPROVED!!! (Decembris 2021).