Raksti

9.1: Haoss diskrēta laika modeļos - matemātika


8.4.3. Attēlā parādīta periodu dubultojošu bifurkāciju kaskāde, kad intervāli starp secīgām bifurkācijas sliekšņiem ģeometriski kļūst arvien īsāki, jo r palielinās. Šī perioda dubultošanās kaskāde galu galā noved pie perioda novirzes no gala līdz (r ≈ 1,7 ) šajā gadījumā, kas norāda uz haosa sākumu. Šajā noslēpumainajā parametru režīmā sistēma zaudē jebkādu neierobežotu periodiskumu, un tās uzvedība izskatās pēc nejaušības principa. 9.1.1. Attēlā parādīts šādas haotiskas vienādojuma (8.4.3.) Ar (r = 1,8 ) piemērs.

Kas tad vispār ir haoss? To var aprakstīt dažādos veidos šādi:

Haosa īpašības

  • Haoss ir nelineāras dinamiskas sistēmas ilgtermiņa uzvedība, kas nekad neietilpst nevienā statiskā vai periodiskā trajektorijā.
  • Haoss izskatās kā nejaušs notikums, taču tas joprojām notiek pilnīgi deterministiskās, vienkāršās dinamiskās sistēmās.
  • Haoss izrāda jutīgumu pret sākotnējiem apstākļiem.
  • Haoss rodas, kad sistēmas stāvokļa trajektorijas periods atšķiras no gala.
  • Haoss rodas, ja neviena periodiska trajektorija nav stabila.
  • Haoss ir izplatīta parādība, kas sastopama visur dabā, kā arī sociālajā un inženierijas vidē.

Haotisko sistēmu jutīgums pret sākotnējiem apstākļiem ir īpaši labi zināms “sviesta fl y efekts, Kas ir metaforiska ilustrācija laika apstākļu haotiskajam raksturam, kurā “sviesta spārni Brazīlijā varētu izraisīt tornado Teksasā”. Šīs izteiksmes nozīme ir tāda, ka haotiskā sistēmā neliels traucējums ilgtermiņā varētu izraisīt ļoti lielas atšķirības. 9.1.2. Attēlā parādīti divi ekvivalenta simulācijas braucieni. (8.4.3) ar (r = 1,8 ) un diviem nedaudz atšķirīgiem sākotnējiem nosacījumiem, (x_0 = 0,1 ) un (x_0 = 0,100001 ). Abas simulācijas ir diezgan līdzīgas pirmajos vairākos posmos, jo sistēma ir pilnībā deterministiska (tāpēc laika prognozes tikai dažām dienām darbojas diezgan labi). Bet “of ap sviesta fl y spārniem” (0,000001 starpība) galu galā izaug tik liels, ka tas atdala abu simulācijas ciklu ilgtermiņa likteņus. Šāda ārkārtīgi haotisku sistēmu jutība mums praktiski neļauj prognozēt precīzi to ilgtermiņa uzvedību (tāpēc nav divu mēnešu laika prognožu1).

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Ir daudz vienkāršu matemātisko modeļu, kas parāda haotisku uzvedību. Mēģiniet simulēt katru no šīm dinamiskajām sistēmām (parādīts 9.1.3. Attēlā). Ja nepieciešams, izpētiet un atrodiet parametru vērtības, ar kurām sistēma parāda haotisku uzvedību.

  • Loģistikas karte: (x_t = rx_ {t − 1} (1 − x_ {t − 1}) )
  • Kubiskā karte: (x_t = x ^ {3} _ {t − 1} −rx_ {t − 1} )
  • Sinusoīdu karte: (x_t = rsinx_ {t − 1} )
  • Zāģēta karte: (x_t = ) daļēja (2x_ {t − 1} ) daļa

Piezīme: Zāģa kartē var nebūt redzams haoss, ja to imitē datorā, bet tas parādīs haosu, ja tas tiks simulēts manuāli zirnekļtīkla gabalā. Šis jautājums tiks apspriests vēlāk.

Attēls ( PageIndex {3} ): Vienkāršas kartes, kas parāda haotisku uzvedību (9.1.1. Vingrinājumam).

1Bet tas nenozīmē, ka mēs nevaram paredzēt klimata pārmaiņas ilgākā laika posmā. Kas nav iespējams ar haotisku sistēmu, ir precīzas ilgtermiņa uzvedības prognozēšana, piemēram, kad, kur un cik daudz lietus nākamajos 12 mēnešos būs. Tomēr ir iespējams modelēt un prognozēt sistēmas statistisko īpašību, piemēram, globālā klimata vidējās temperatūras, ilgtermiņa izmaiņas, jo to var labi aprakstīt daudz vienkāršākā, bez haotiska modeļa. Mums nevajadzētu izmantot haosu kā attaisnojumu, lai izvairītos no mūsu nākotnes prognozēm!


Dinamikas un haosa kontrole ar diskrēta laika attiecību atkarīgā Holling-Tanner modelī

Tiek pārbaudīts diskrēta laika Hollinga-Tannera modelis ar funkcionālo reakciju, kas atkarīga no attiecībām. Mēs parādām, ka sistēma pozitīvā fiksētā vietā ( mathbb) interjerā saskaras ar bifurkāciju un Neimark-Sacker bifurkāciju vai abiem kopā. ^ <2> _ <+> ), kad viens no modeļa parametriem šķērso tā sliekšņa vērtību. Mēs koncentrējam uzmanību, lai, izmantojot centra kolektoru teoriju, noteiktu bifurkāciju esamības apstākļus un virzienu. Analītisko rezultātu apstiprināšanai tiek izmantotas skaitliskas simulācijas, kas ietver bifurkācijas, fāžu portretus, stabilas orbītas, nemainīgu slēgtu loku un haotisku kopu piesaistīšanu. Turklāt haosa esamību sistēmā skaitliski attaisno maksimālo Ļjapunova eksponentu zīme un fraktāļu dimensija. Visbeidzot, mēs kontrolējam haotiskas trajektorijas, kas pastāv sistēmā, izmantojot atgriezeniskās saites kontroles stratēģiju.


SIAM žurnāls par kontroli un optimizāciju

Tradicionāli diskrēta laika multiagentu sistēmas (MAS) konsenss ar komutācijas topoloģiju tiek pārveidots par stohastisko matricu bezgalīgo produktu konverģences problēmu, kuru var atrisināt, izmantojot Volfovica teorēmu. Tomēr šāda pārveidošana ir ļoti sarežģīta vai pat neiespējama dažām MAS, piemēram, diskrēta laika otrās kārtas MAS (DTSO MAS), kuru vienprātību var pārveidot tikai par vispārējo stohastisko matricu (IPGSM) bezgalīgo produktu konverģences problēmu. . Šīs vispārējās stohastiskās matricas ir matricas ar rindu summu 1, bet to elementi ne vienmēr ir negatīvi. Tā kā nav vispārējas teorijas vai efektīvas metodes IPGSM konverģences risināšanai, konsekventu kritēriju noteikšana DTSO MAS ar komutācijas topoloģiju ir diezgan sarežģīta. Šis dokuments koncentrējas uz DTSO MAS klases vienprātības problēmu un izstrādā metodi, kā tikt galā ar atbilstošo IPGSM. Turklāt tiek norādīts, ka šo DTSO MAS metodi var arī viegli paplašināt, lai tiktu galā ar lielu diskrēta laika MAS klasi, ieskaitot augstas kārtas MAS ar komutācijas topoloģiju un diskrēta laika MAS bez ātruma mērījumiem.


9.1.2 Pāreja no nepārtraukta laika uz diskrētu laiku

Ievērojiet, ka ugunsizturības dēļ integrācijas un uguns modeļiem (un reāliem neironiem) īsā laikā nav iespējams izšaut vairāk nekā vienu smaili Δ ⁢ t Delta t. Ugunsizturība tiek ieviesta vienādojuma modelī. (9.1), ievērojami atjaunojot membrānas potenciālu, izmantojot ugunsizturīgo kodolu η eta.

A B
9.5. Attēls: Neierobežots eksponenciālās evakuācijas ātrums dod ierobežotu šāviena varbūtību diskrētā laika posmā. A. Šaušanas varbūtība diskrētā laika intervālā Δ ⁢ t Delta t kā membrānas potenciāla funkcija uu dažādām diskretizācijām Δ ⁢ t = 0,5 Delta t = 0,5 ms (pārtraukta līnija), Δ ⁢ t = 1 Delta t = 1 ms (nepārtraukta līnija) un Δ ⁢ t = 2 Delta t = 2 ms (punktēta līnija) ar β = 5 beta = 5. B. Līdzīgs grafiks kā A, bet dažādiem trokšņu līmeņiem β = 10 beta = 10 (punktēta līnija), β = 5 beta = 5 (nepārtraukta līnija), β = 2 beta = 2 (pārtraukta līnija) un β = 1 beta = 1 (punktēta līnija) ar Δ ⁢ t = 1 Delta t = 1 ms. Izbēgšanas ātrumu izsaka (9.3) ar parametriem ϑ = 1 vartheta = 1 un τ 0 = 1 tau_ <0> = 1 , ms.

© Kembridžas universitātes prese. Šī grāmata ir aizsargāta ar autortiesībām. Neviena tās daļa nedrīkst pavairot bez rakstiskas Kembridžas Universitātes izdevniecības atļaujas.


Abstrakts

Šajā jaunajā pētījumā, izmantojot dinamisko analīzi, mēs pirmo reizi ieviešam mākslīgo makroekonomisko modeli, kas balstīts uz daļēju aprēķinu, kas faktiski tiek ieviests laboratorijā, izmantojot jaunu aparatūru. Pirmkārt, mēs piedāvājam jaunu diskrēta laika makroekonomiskās sistēmas modeli, kurā frakcionētie atvasinājumi tiek iekļauti vienādojumu sistēmā. Izmantojot labi zināmus rīkus un metodes, ieskaitot bifurkācijas diagrammas un Ljapunova eksponentus, tiek atklātas sistēmas īpašības un parādīta frakcionētās kārtas atvasinājuma nozīme sistēmas modelēšanā. Pēc tam ierosinātajai sistēmai tiek veikta arī laboratorijas aparatūras realizācija, kas sniedz papildu ieskatu un labāku izpratni par sistēmas īpašībām. Aparatūras realizācijai tiek izvēlēts Arduino Due ™, kurā ir divas analogās izejas tapas. Eksperimentu rezultāti uzkrītoši ilustrē sistēmas haotisko uzvedību. Izmantojot aparatūras realizācijas rezultātus, tiek parādīti sistēmas fāžu portreti un bifurkācijas diagramma, kā arī pētīta parametru un frakcionēto atvasinājumu ietekme. Mēs uzskatām, ka iesniegtais pētījums un tā rezultāti paver ceļu turpmākajiem pētījumiem par frakcionālā aprēķina iekļaušanu makroekonomiskajos modeļos.


9.1: Haoss diskrēta laika modeļos - matemātika

Visi MDPI publicētie raksti ir nekavējoties pieejami visā pasaulē ar atvērtas piekļuves licenci. Lai atkārtoti izmantotu visu MDPI publicēto rakstu vai tā daļu, ieskaitot attēlus un tabulas, nav nepieciešama īpaša atļauja. Rakstiem, kas publicēti ar brīvpiekļuves Creative Common CC BY licenci, jebkuru raksta daļu var atkārtoti izmantot bez atļaujas, ja ir skaidri norādīts oriģināls.

Feature Papers ir vismodernākais pētījums ar ievērojamu potenciālu, lai šajā jomā būtu liela ietekme. Rakstus par zinātniskajiem redaktoriem iesniedz pēc individuāla uzaicinājuma vai ieteikuma, un pirms publicēšanas tie tiek salīdzināti.

Feature Paper var būt vai nu oriģināls pētniecības raksts, nozīmīgs jauns pētījums, kas bieži ietver vairākas metodes vai pieejas, vai arī visaptverošs pārskata dokuments ar kodolīgiem un precīziem atjauninājumiem par jaunākajiem sasniegumiem jomā, kas sistemātiski pārskata aizraujošākos sasniegumus zinātnes jomā literatūra. Šāda veida papīrs sniedz nākotnes pētījumu virzienus vai iespējamos pielietojumus.

Redaktora Choice raksti ir balstīti uz MDPI žurnālu zinātnisko redaktoru ieteikumiem no visas pasaules. Redaktori izvēlas nelielu skaitu nesen žurnālā publicētu rakstu, kuri, viņuprāt, būs īpaši interesanti autoriem vai svarīgi šajā jomā. Mērķis ir sniegt momentuzņēmumu par dažiem aizraujošākajiem darbiem, kas publicēti dažādās žurnāla pētniecības jomās.


FDE epidēmijas modelis

Ļaujiet mums apsvērt sekojošo IDE epidēmijas modelis:

Šo modeli konstruēja Iwami un citi. [29], lai izskaidrotu putnu gripas izplatību putnu pasaulē un aprakstītu to savstarpējo mijiedarbību. Populācija šajā modelī ir sadalīta uzņēmīgos putnos ar lielumu S un inficēti putni ar lielumu Es. Jauno putnu dzimstību izsaka ar parametru Λ. Uzņēmīgi putni mirst tādā ātrumā μ un inficētie putni mirst ar ātrumu ( mu + r ), kur r ir papildu mirstības līmenis, ko nosaka putnu gripa. Parametrs β ir bilinārā sastopamības ātrums.

Ir vairākas frakcionētu atvasinājumu definīcijas [30, 31]. Viena no izplatītākajām definīcijām ir Caputo definīcija [32]. Šo definīciju bieži lieto reālos lietojumos un parāda 1. definīcijā.

1. definīcija

Kārtas ( beta in mathbb Funkcijas ^ (f (t) ), (t & gt0 ) ^ <+> ) definē

un ((f (t) ), (t & gt0 ) kārtas ( alfa in (n-1, n) ) frakcionālo atvasinājumu definē

kur (f ^ <(n)> ) apzīmē n (f (t) ) trešās kārtas atvasinājums, (n = [ alfa] ) ir α noapaļots uz augšu līdz tuvākajam skaitlim, (I ^ < beta> ) ir βRiemana-Lijvilas veselā skaitļa operators un ( Gamma ( cdot) ) ir Eulera Gamma funkcija. Operatoru (D ^ < alpha> ) sauc par ‘α“Caputo” diferenciāļa operators ”.

Tagad SI epidēmijas modeļa (2.1) dalītās kārtas formu var formulēt šādi:

kur (D_^ < alpha> ) apzīmē Kaputo dalīto atvasinājumu (t & gt0 ) un α ir frakcionētā secība, kas atbilst ( alfa in (0,1] ).


Bifurkācijas analīze un haosa kontrole augu kvalitātes un lapegles budmota mijiedarbības modelī ar Rikera vienādojumu

Irfans Ali, Dabaszinātņu skola (SNS), Nacionālā zinātņu un tehnoloģiju universitāte (NUST), Islāmābāda, Pakistāna.

NUST Civilās celtniecības institūts (NICE), Nacionālā zinātņu un tehnoloģiju universitāte (NUST), Islāmābāda, Pakistāna

Matemātikas katedra, Poonch Rawalakot universitāte, Rawalakot, Pakistāna

Dabaszinātņu skola (SNS), Nacionālā zinātņu un tehnoloģiju universitāte (NUST), Islamabada, Pakistāna

Irfans Ali, Dabaszinātņu skola (SNS), Nacionālā zinātņu un tehnoloģiju universitāte (NUST), Islāmābāda, Pakistāna.

NUST Civilās celtniecības institūts (NICE), Nacionālā zinātņu un tehnoloģiju universitāte (NUST), Islāmābāda, Pakistāna

Matemātikas katedra, Poonch Rawalakot universitāte, Rawalakot, Pakistāna

Abstrakts

Mēs pētām divu dimensiju diskrēta laika lapu kvalitātes un lapegles budmota mijiedarbības ar Rikera vienādojumu dinamiku. Precīzāk, tiek apspriesta lapegles budmota modeļa kvalitatīvā uzvedība, kurā pārtikas avota ietekme uz kodes populāciju ir raksturīga iekšējam augšanas ātrumam. Mēs atrodam unikālā pozitīvā fiksētā punkta lokālās asimptotiskās stabilitātes parametriskos nosacījumus. Ir arī pierādīts, ka noteiktos parametru apstākļos sistēmā notiek centra dubultošanās bifurkācija ar centra kolektora teorijas palīdzību. Neimarka-Sakera bifurkācijas pastāvēšanas un virziena parametriskie nosacījumi pozitīvā fiksētā punktā tiek pētīti ar standarta bifurkācijas teorijas matemātisko paņēmienu palīdzību. Haosa kontrole sistēmā tiek apspriesta, ieviešot hibrīda kontroles metodiku. Visbeidzot, tiek sniegtas skaitliskas simulācijas, lai ilustrētu teorētiskos rezultātus. Šie skaitlisko simulāciju rezultāti parāda haotisku ilgtermiņa uzvedību plašā parametru diapazonā. Maksimālo Ljapunova eksponentu aprēķins apstiprina haotiskas uzvedības klātbūtni sistēmā.


Haosa un Neimarka – Sakera bifurkācijas kontrolēšana saimnieka – parazitoidālā modelī

Sarakste: Qamar Din, Matemātikas katedra, Poonch Rawalakot universitāte, Rawalakot 12350, Pakistāna.

Matemātikas katedra, Poonch Rawalakot universitāte, Rawalakot, 12350 Pakistāna

Matemātikas katedra, Poonch Rawalakot universitāte, Rawalakot, 12350 Pakistāna

Sarakste: Qamar Din, Matemātikas katedra, Poonch Rawalakot universitāte, Rawalakot 12350, Pakistāna.

Matemātikas katedra, Poonch Rawalakot universitāte, Rawalakot, 12350 Pakistāna

Abstrakts

Šajā rakstā tiek piedāvāts jauns no blīvuma atkarīgs saimnieka – parazitoidāla modelis. Modifikācijas pamatā ir no blīvuma atkarīgs faktors, ieviešot Hasela izaugsmes funkciju uzņēmējā populācijā. Turklāt tiek pētīta arī risinājumu pastāvība, pozitīvā līdzsvara esamība un unikalitāte, lokālā asimptotiskā stabilitāte un pozitīvā līdzsvara punkta globālā uzvedība. Ir pierādīts, ka sistēma iztur Neimark – Sacker bifurkāciju plašā bifurkācijas parametru diapazonā. Lai kontrolētu haosu sakarā ar Neimark – Sacker bifurkācijas parādīšanos, tiek ieviestas divas atgriezeniskās saites kontroles stratēģijas, tas ir, OGY un hibrīdās kontroles metodes. Visbeidzot, ar skaitlisko simulāciju palīdzību tiek pārbaudīta visa matemātiskā analīze, jo īpaši Neimarka – Sakera bifurkācija, haosa kontroles stratēģijas un unikālā pozitīvā punkta globālā asimptotiskā stabilitāte.


3 Bifurkācijas analīze

Funkcijai f (x 1, x 2,…, xn) ar fxi, fxixj un fxixjxk apzīmējam f (x 1, x 2) pirmās kārtas daļējo atvasinājumu, otrās kārtas daļējo atvasinājumu un trešās kārtas daļējo atvasinājumu. ,…, Xn) attiecībā uz attiecīgi xi, xj un xk.

Pamatojoties uz 2. sadaļā sniegto analīzi, šajā sadaļā mēs izvēlamies soļa lielumu h kā bifurkācijas parametru, lai pētītu E 2 (S ∗, I ∗) bifurkāciju un Hopfa bifurkāciju, izmantojot centrālo kolektoru teorēmu un bifurkācijas teoriju [26, 27].

Vispirms mēs apspriežam modeļa (2) pagrieziena bifurkāciju līdzsvarā E 2 (S ∗, I ∗), kad h mainās mazajā h ∗ un (A, d 1, d 2, r, h ∗, λ) ∈ M 1 apkārtnē. Gadījumam, kurā h mainās mazajā h ∗ ∗ un (A, d 1, d 2, r, h ∗ ∗, λ) ∈ M 2 apkārtnē, mēs varam sniegt līdzīgu argumentu.

Patvaļīgi ņemot parametrus (A, d 1, d 2, r, h, λ) ∈ M 1, pēc tam dodot parametra perturbāciju h ∗ h, mēs uzskatām modeli (2) ar traucējumu h ∗ šādi:

Ļaujiet U n = S n - S ∗ un V n = I n - I ∗, tad modeļa (4) līdzsvaru E 2 (S ∗, I ∗) pārveidojam par izcelsmi. Aprēķinot mēs iegūstam

Paplašinot modeli (5) kā Teilora sēriju pie (U n, V n) = (0, 0) līdz otrajai pakāpei, tas kļūst par šādu modeli:

pēc tam T ir apgriezts. Izmantojot tulkošanu

tad modelis (6) kļūst par šādu formu:

Tagad mēs nosakām modeļa (7) centra kolektoru W c (0, 0) līdzsvarā (0, 0) nelielā h ∗ = 0 apkārtnē. Pēc centrālā kolektora teorēmas mēs varam iegūt aptuveno centrālā kolektora W c (0, 0) attēlojumu šādi:

kur o ((| X n | + | h ∗ |) 2) ir funkcija (X n, h ∗) vismaz trešajā pakāpē, un

Tāpēc uz centrālā kolektora W c (0, 0) mums ir

Tāpēc, kad modelis (7) aprobežojas ar centra kolektoru W c (0, 0), mēs iegūstam karti G ∗ šādi:

Lai kartē (8) veiktu bifurkāciju, mums ir nepieciešams, lai divi atšķirīgie lielumi α 1 un α 2 nebūtu nulle, kur

Tāpēc, izmantojot iepriekš minēto analīzi un [26] teorēmu, mēs iegūstam šādu rezultātu.

3.1. Teorēma Ja α 2 ≠ 0, tad modeli (4) līdzsvara stāvoklī notiek bifurkācija E 2 (S ∗, I ∗) kad parametrs h ∗ mainās nelielā izcelsmes apkārtnē. Turklāt, ja α 2 & gt 0 (resp, α 2 & lt 0), tad periods-2 punkti, kas nošķīrās no E 2 (S ∗, I ∗) ir stabili (resp., nestabils).

Visbeidzot, mēs apspriežam Hopf diffikāciju E 2 (S ∗, I ∗), ja h mainās mazajā apkaimē N. Mēs patvaļīgi ņemam parametrus (A, d 1, d 2, r, h, λ) ∈ N. Mēs uzskatām nelielu (2) traucējumu, izvēloties bifurkācijas parametru h ∗ šādi:

kur | h ∗ | ≪ 1, kas ir neliels traucējums.

Ļaujiet U n = S n - S ∗ un V n = I n - I ∗, tad līdzsvaru E 2 (S ∗, I ∗) pārveidojam par izcelsmi, mums ir

Raksturīgais vienādojums, kas saistīts ar modeļa (10) linearizāciju pie (0, 0), ir šāds:

Attiecīgi, ja h ∗ mainās nelielā apkārtnē h ∗ = 0, raksturīgā vienādojuma saknes ir

Turklāt, ja h when = 0, w 1, 2 m 1 1, m = 1, 2, 3, 4, kas ir ekvivalents P (0) ≠ - 2, 0, 1, 2. Tad ņemiet vērā (A, d 1, d 2, r, h, λ) ∈ N un Δ & lt 0

Mums tikai jāpieprasa, lai P (0) ≠ 0, 1, i.,,

Tāpēc īpašvērtības w 1, 2 neatrodas vienības apļa krustojumā ar koordinātu asīm, kad h ∗ = 0 un (11) ir spēkā.

Turpmāk mēs pētām modeļa normālo formu (10), kad h ∗ = 0. Paplašinot modeli (10) kā Teilora sēriju pie U n = 0, V n = 0 līdz trešajai pakāpei, tad tas kļūst par šādu modeli:

kur a i j (i = 1, 2 j = 1, 2, 3, 4, 5) forma ir tāda pati kā modelī (6), bet modelī (12) h = h ∗ ∗ ∗ un


Skatīties video: RTR108 Kā atrisināt doto vienādojumu sistēmu (Novembris 2021).