Raksti

7.2E: Power Series pārskats (vingrinājumi) - matemātika


Q7.1.1

1. Katrai jaudas sērijai izmantojiet 7.1.3. Teorēmu, lai atrastu konverģences rādiusu (R ). Ja (R> 0 ), atrodiet atvērto konverģences intervālu.

  1. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {(-1) ^ n over2 ^ nn} (x-1) ^ n} )
  2. ({ displaystyle summa_ {n = 0} ^ infty 2 ^ nn (x-2) ^ n} )
  3. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {n! over9 ^ n} x ^ n} )
  4. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {n (n + 1) over16 ^ n} (x-2) ^ n} )
  5. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {7 ^ n virs n!} x ^ n} )
  6. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {3 ^ n over4 ^ {n + 1} (n + 1) ^ 2} (x + 7) ^ n} )

2. Pieņemsim, ka ir vesels skaitlis (M ), kas (b_m ne0 ) (m ge M ) un [ lim_ {m to infty} pa kreisi | b_ {m + 1 } over b_m right | = L, nonumber ] kur (0 le L le infty ). Parādiet, ka [ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty b_m (x-x_0) ^ {2m} nonumber ] konverģences rādiuss ir (R = 1 / sqrt L ), kas ir interpretēts tā, ka (R = 0 ), ja (L = infty ) vai (R = infty ), ja (L = 0 ).

3. Katrai jaudas sērijai izmantojiet rezultātu 7.1.2. Uzdevums lai atrastu konverģences rādiusu (R ). Ja (R> 0 ), atrodiet atvērto konverģences intervālu.

  1. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m (3m + 1) (x-1) ^ {2m + 1}} )
  2. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {m (2m + 1) over2 ^ m} (x + 2) ^ {2m}} )
  3. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {m! virs (2m)!} (x-1) ^ {2m}} )
  4. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {m! over9 ^ m} (x + 8) ^ {2m}} )
  5. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(2m-1) over3 ^ m} x ^ {2m + 1}} )
  6. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (x-1) ^ {2m}} )

4. Ļaujiet (k ) būt pozitīvam skaitlim. Parādiet, ka [ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty b_m (x-x_0) ^ {km} nonumber ] konverģences rādiuss ir (R = 1 / sqrt [k] L ) , kas tiek interpretēts kā (R = 0 ), ja (L = infty ) vai (R = infty ), ja (L = 0 ).

5. Katrai jaudas sērijai izmantojiet rezultātu 7.1.4. Uzdevums lai atrastu konverģences rādiusu (R ). Ja (R> 0 ), atrodiet atvērto konverģences intervālu.

  1. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {(- 1) ^ m over (27) ^ m} (x-3) ^ {3m + 2}} )
  2. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {x ^ {7m + 6} virs m}} )
  3. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {9 ^ m (m + 1) virs (m + 2)} (x-3) ^ {4m + 2}} )
  4. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {2 ^ m virs m!} x ^ {4m + 3}} )
  5. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {m! over (26) ^ m} (x + 1) ^ {4m + 3}} )
  6. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {(- 1) ^ m over8 ^ mm (m + 1)} (x-1) ^ {3m + 1}} )

6. Grafiks (y = sin x ) un Teilora polinoms [T_ {2M + 1} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1} over (2n + 1)!} Nonumber ] intervālā ((- 2 pi, 2 pi) ) attiecībā uz (M = 1 ), (2 ), (3 ),…, Līdz atrodat vērtību (M ), kurai starp abiem grafikiem nav jūtamas atšķirības.

7. Grafiks (y = cos x ) un Teilora polinoms [T_ {2M} (x) = displaystyle summa_ {n = 0} ^ M {(- 1) ^ nx ^ {2n} pāri (2n)!} Nonumber ] intervālā ((- 2 pi, 2 pi) ) (M = 1 ), (2 ), (3 ),…, līdz atrodat vērtību (M ), kurai starp abiem grafikiem nav jūtamas atšķirības.

8. Grafiks (y = 1 / (1-x) ) un Teilora polinoms [T_N (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ Nx ^ n nonumber ] intervālā ([ 0, .95] ) attiecībā uz (N = 1 ), (2 ), (3 ),…, līdz atrodat vērtību (N ), kurai starp abiem nav jūtamas atšķirības grafiki. (Y ) - asī izvēlieties mērogu, lai (0 le y le20 ).

9. Grafiks (y = cosh x ) un Teilora polinoms [T_ {2M} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {x ^ {2n} virs (2n)!} nonumber ] intervālā ((- 5,5) ) (M = 1 ), (2 ), (3 ),…, līdz atrodat vērtību (M ), starp kuriem nav jūtamu atšķirību starp abiem grafikiem. (Y ) - ass mērogu izvēlieties tā, lai (0 le y le75 ).

10. Grafiks (y = sinh x ) un Teilora polinoms [T_ {2M + 1} (x) = displaystyle summa_ {n = 0} ^ M {x ^ {2n + 1} pāri ( 2n + 1)!} Nonumber ] intervālā ((- 5,5) ) (M = 0 ), (1 ), (2 ),…, līdz atrodat (M ) vērtība, kurai starp abiem grafikiem nav jūtamas atšķirības. (Y ) - asī izvēlieties mērogu, lai (- 75 ~ le ~ y le ~ 75 ).

Q7.1.2

In 7.1.11-7.1.15 vingrinājumi atrodiet jaudas sērijas risinājumu (y (x) = sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n} ].

11. ((2 + x) y "+ xy" + 3 g )

12. ((1 + 3x ^ 2) y "+ 3x ^ 2y'-2y )

13. ((1 + 2x ^ 2) y "+ (2-3x) y '+ 4y )

14. ((1 + x ^ 2) y "+ (2-x) y '+ 3y )

15. ((1 + 3x ^ 2) y "- 2xy" + 4y )

Q7.1.3

16. Pieņemsim, ka (y (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x + 1) ^ n ) uz atvērta intervāla, kurā ir (x_0 ~ = ~ -1 ). Atrodiet jaudu sēriju (x + 1 ) [xy '' + (4 + 2x) y '+ (2 + x) y. Nonumber ]

17. Pieņemsim, ka (y (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-2) ^ n ) uz atvērta intervāla, kurā ir (x_0 ~ = ~ 2 ). Atrodiet jaudu sēriju (x-2 ) [x ^ 2y '' + 2xy'-3xy. Nonumber ]

18. Veiciet šo eksperimentu dažādu reālo skaitļu (a_0 ) un (a_1 ) izvēlei.

  1. Izmantojiet diferenciālvienādojumu programmatūru, lai atrisinātu sākotnējās vērtības problēmu [(2-x) y '' + 2y = 0, quad y (0) = a_0, quad y '(0) = a_1, nonumber ] skaitliski ((- - 1.95,1.95) ). Izvēlieties visprecīzāko metodi, ko nodrošina programmatūras pakotne. (Īsas diskusijas par vienu šādu metodi skat. 10.1. Sadaļā.)
  2. Attiecībā uz (N = 2 ), (3 ), (4 ),…, aprēķiniet (a_2 ),…, (a_N ) no 7.1.18. Vienādojuma un diagrammu [T_N (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] un (a) punktā iegūtais risinājums uz tām pašām asīm. Turpiniet palielināt (N ), līdz kļūst skaidrs, ka nav jēgas turpināt. (Tas izklausās neskaidri, bet jūs zināt, kad apstāties.)

19. Izpildiet norādījumus 7.1.18. Uzdevums sākotnējās vērtības problēmai [(1 + x) y '' + 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y = 0, quad y (1) = a_0, quad y' (1) = a_1, nonumber ] intervālā ((0,2) ). Izmantojiet 7.1.24 un 7.1.25 vienādojumus, lai aprēķinātu ( {a_n } ).

20. Pieņemsim, ka sērija ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) saplūst atklātā intervālā ((- - R, R) ), lai (r ) būtu patvaļīgs reāls numuru un definējiet [y (x) = x ^ r displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ {n + r} nonumber ] uz ((0, R) ). Lai parādītu, ka [ begin {aligned} y '(x) & = { displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (n + r), izmantojiet 7.1.4 teorēmu un kārtulu, lai nošķirtu divu funkciju reizinājumu. a_nx ^ {n + r-1}}, [10pt] y '' (x) & = { displaystyle summa_ {n = 0} ^ infty (n + r) (n + r-1) a_nx ^ {n + r-2}}, & vdots & y ^ {(k)} (x) & = { displaystyle summa_ {n = 0} ^ infty (n + r) (n + r-1) cdots (n + rk) a_nx ^ {n + rk}} end {izlīdzināts} nonumber ] vietnē ((0, R) )

Q7.1.4

21. (x ^ 2 (1-x) y "+ x (4 + x) y '+ (2-x) y )

22. (x ^ 2 (1 + x) y "+ x (1 + 2x) y '- (4 + 6x) y )

23. (x ^ 2 (1 + x) y '' - x (1-6x-x ^ 2) y '+ (1 + 6x + x ^ 2) y )

24. (x ^ 2 (1 + 3x) y "+ x (2 + 12x + x ^ 2) y '+ 2x (3 + x) y )

25. (x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y '' + x (4 + 2x ^ 2) y '+ 2 (1-x ^ 2) y )

26. (x ^ 2 (2 + x ^ 2) y "+ 2x (5 + x ^ 2) y '+ 2 (3-x ^ 2) y )


7.2E: Power Series pārskats (vingrinājumi) - matemātika

Mēs tagad esam pavadījuši diezgan daudz laika, runājot par sērijām, un tikai ar dažiem izņēmumiem lielāko daļu laika esam veltījuši sarunām par to, kā noteikt, vai sērijas saplūst vai nē. Ir pienācis laiks sākt apskatīt dažus īpašus sēriju veidus, un mēs galu galā nonāksim līdz brīdim, kad varēsim runāt par pāris sēriju lietojumiem.

Šajā sadaļā mēs sāksim runāt par jaudas sērijām. A jaudas sērijas par a, vai vienkārši jaudas sērija, ir jebkura sērija, kuru var rakstīt formā,

kur (a ) un () ir skaitļi. () Bieži sauc par koeficienti sērijas. Pirmais, kas jāievēro par jaudas sēriju, ir tas, ka tā ir (x ) funkcija. Tas atšķiras no jebkura cita veida sērijām, kuras esam apskatījuši līdz šim. Visās iepriekšējās sadaļās mēs esam pieļāvuši tikai skaitļus sērijās, un tagad mēs ļaujam mainīgajiem būt arī sērijā. Tomēr tas nemainīs lietu darbību. Viss, ko mēs zinām par sērijām, joprojām ir spēkā.

Diskusijā par jaudas sēriju konverģence joprojām ir galvenais jautājums, ar kuru mēs nodarbosimies. Atšķirība ir tāda, ka sērijas konverģence tagad būs atkarīga no (x ) vērtībām, kuras mēs ievietosim sērijā. Jaudas sērija var saplūst dažām (x ) vērtībām, nevis citām (x ) vērtībām.

Pirms mēs nonākam pārāk tālu jaudas sērijās, ir kāda terminoloģija, kas mums jāizvairās no ceļa.

Pirmkārt, kā mēs redzēsim savos piemēros, mēs varēsim parādīt, ka ir skaitlis (R ), lai jaudas sērijas saplūst, ( pa kreisi | pareizi | & lt R ) un atšķirsies uz ( pa kreisi | pareizi | & gt R ). Šo numuru sauc par konverģences rādiuss sērijai. Ievērojiet, ka sērijas var saplūst vai var netikt, ja ( left | pareizi | = R ). Tas, kas notiek šajos punktos, nemainīs konverģences rādiusu.

Otrkārt, visu (x ) intervālu, ieskaitot vajadzības gadījumā galapunktus, kuriem saplūst jaudas sērija, sauc par konverģences intervāls sērijas.

Šie divi jēdzieni ir diezgan cieši saistīti. Ja mēs zinām, ka jaudas sērijas konverģences rādiuss ir (R ), mums ir šādi.

Pēc tam konverģences intervālā jāiekļauj intervāls (a - R & lt x & lt a + R ), jo mēs zinām, ka šīm vērtībām saplūdīs jaudas sērija. Mēs arī zinām, ka konverģences intervāls nevar saturēt (x ) s diapazonos (x & lt a - R ) un (x & gt a + R ), jo mēs zinām, ka jaudas sērijas šiem atšķiras (x ) vērtība. Tāpēc, lai pilnībā identificētu konverģences intervālu, viss, kas mums jādara, ir noteikt, vai jaudas sērijas saplūst ar (x = a - R ) vai (x = a + R ). Ja jaudas sērija saplūst vienai vai abām šīm vērtībām, tās mums jāiekļauj konverģences intervālā.

Pirms iedziļināties dažos piemēros, ātri apskatīsim jaudas sēriju konverģenci gadījumam (x = a ). Šajā gadījumā jaudas sērija kļūst,

un tā jaudas sērija saplūst. Ņemiet vērā, ka mums bija jāizņem pirmais termins, jo tas bija vienīgais termins bez nulles sērijā.

Ir svarīgi atzīmēt, ka neatkarīgi no tā, kas vēl notiek jaudas sērijā, mēs garantējam konverģenci attiecībā uz (x = a ). Sērija nedrīkst saplūst nevienai citai (x ) vērtībai, taču tā vienmēr saplūdīs (x = a ).

Izstrādāsim dažus piemērus. Pirmajā piemērā mēs ievietosim diezgan daudz detaļu un pēc tam atlikušajos piemēros neievietosim tik daudz detaļu.

Labi, mēs zinām, ka šī jaudas sērija saplūs par (x = - 3 ), taču tas šajā brīdī ir viss. Lai noteiktu atlikušās (x ) daļas, kurām mēs iegūsim konverģenci, mēs varam izmantot jebkuru no līdz šim apspriestajiem testiem. Pēc testa, ar kuru mēs izvēlamies strādāt, piemērošanas mēs nonāksim pie nosacījuma (-iem) par (x ), ko varēsim izmantot, lai noteiktu, kuras (x ) vērtības, kurām jaudas sērijas saplūst un kuras (x ), kuriem jaudas sērijas atšķirsies. No tā mēs varam iegūt konverģences rādiusu un lielāko daļu konverģences intervāla (izņemot iespējamos galapunktus).

Ņemot vērā visu iepriekš teikto, labākie testi, ko šeit izmantot, gandrīz vienmēr ir attiecība vai saknes tests. Lielākā daļa jaudas sēriju, kuras mēs apskatīsim, ir iestatītas vienai vai otrai. Šajā gadījumā mēs izmantosim attiecību testu.

Pirms došanās tālāk ar ierobežojumu, ņemiet vērā, ka, tā kā (x ) nav atkarīgs no ierobežojuma, to var ņemt vērā ārpus robežas. Ievērojiet arī to, ka to darot, mums būs jāsaglabā absolūtās vērtības joslas, jo mums jāpārliecinās, ka viss paliek pozitīvs, un (x ) varētu būt vērtība, kas padarīs lietas negatīvas. Tad ir ierobežojums,

Tātad proporcijas tests mums norāda, ka, ja (L & lt 1 ) sērija saplūst, ja (L & gt 1 ) sērija atšķirsies, un, ja (L = 1 ), mēs nezinām, kas notiks notikt. Tātad, mums ir

Mēs nedaudz izskatīsim lietu (L = 1 ). Ievērojiet, ka tagad mums ir šīs jaudas sērijas konverģences rādiuss. Šie ir tieši nosacījumi, kas nepieciešami konverģences rādiusam. Šīs jaudas sērijas konverģences rādiuss ir (R = 4 ).

Tagad iegūstam konverģences intervālu. Mēs iegūsim lielāko daļu (ja ne visu) intervālu, atrisinot pirmo nevienlīdzību no augšas.

Tātad lielāko daļu derīguma intervāla dod (- 7 & lt x & lt 1 ). Viss, kas mums jādara, ir noteikt, vai jaudas sērijas saplūst vai atšķirsies šī intervāla galapunktos. Ņemiet vērā, ka šīs (x ) vērtības atbildīs (x ) vērtībai, kas sniegs (L = 1 ).

Konverģences noteikšanas veids šajos punktos ir vienkārši pieslēgt tos sākotnējai jaudas sērijai un pārbaudīt, vai sērija saplūst vai atšķiras, izmantojot jebkuru nepieciešamo testu.

(x = - 7 ):
Šajā gadījumā sērija ir,

Divergences tests atšķiras no šīs sērijas, jo ( mathop < lim> limits_ n = infty ne 0 ).

(x = 1 ):
Šajā gadījumā sērija ir,

Šī sērija atšķiras arī ar divergences testu, jo ( mathop < lim> limits_ < pa kreisi (<- 1> pa labi) ^ n> n ) neeksistē.

Tātad šajā gadījumā jaudas sērijas nevienam galapunktam netiks saplūst. Konverģences intervāls ir

Iepriekšējā piemērā jaudas sērijas netika saplūstas nevienam no intervāla galapunktiem. Dažreiz tas notiks, bet ne vienmēr gaidiet, ka tas notiks. Spēka sērija varētu saplūst abos gala punktos vai tikai vienā no galapunktiem.

Pārejam tieši uz attiecību testu.

Tātad no tā mēs iegūsim šādu informāciju par konverģenci / atšķirībām.

Šeit mums jābūt uzmanīgiem, nosakot konverģences intervālu. Konverģences intervālam nepieciešams ( pa kreisi | pareizi | & lt R ) un ( pa kreisi | pareizi | & gt R ). Citiem vārdiem sakot, lai iegūtu pareizu konverģences rādiusu, mums no absolūtās vērtības joslām jāņem vērā koeficients 4. To darot,

Tātad šīs jaudas sērijas konverģences rādiuss ir (R = frac <1> <8> ).

Tagad atradīsim konverģences intervālu. Atkal mēs vispirms atrisināsim nevienlīdzību, kas nodrošina konverģenci iepriekš.

( displaystyle x = frac <<15>> <8> ):
Sērija šeit ir,

Šī ir harmonisko virkņu maiņa, un mēs zinām, ka tās saplūst.

( displaystyle x = frac <<17>> <8> ):
Sērija šeit ir,

Šī ir harmonisko virkne, un mēs zinām, ka tā atšķiras.

Tātad jaudas sērija saplūst vienam no galapunktiem, bet otram ne. Tas bieži notiks, tāpēc neuztraucieties par to, kad tas notiek. Tad šīs jaudas sērijas konverģences intervāls ir

Tagad mums jāaplūko pāris īpaši gadījumi ar rādiusu un konverģences intervāliem.

Šo piemēru sāksim ar attiecību testu, tāpat kā iepriekšējiem.

Šajā brīdī mums jābūt uzmanīgiem. Ierobežojums ir bezgalīgs, taču ir šis termins ar (x ) s priekšā ierobežojumam. Mums būs (L = infty & gt 1 ) nodrošināti (x ne - frac <1> <2> ).

Tātad šī jaudas sērija saplūst tikai tad, ja (x = - frac <1> <2> ). Ja jūs domājat par to, mēs tomēr to jau zinājām. Sākotnējās diskusijas laikā mēs zinām, ka visas jaudas sērijas saplūdīs (x = a ) un šajā gadījumā (a = - frac <1> <2> ). Atcerieties, ka mēs iegūstam (a ) no (< left ( right) ^ n> ), un ievērojiet, ka (x ) koeficientam jābūt vienam!

Šajā gadījumā mēs sakām, ka konverģences rādiuss ir (R = 0 ) un konverģences intervāls ir (x = - frac <1> <2> ), un jā, mēs patiešām domājām konverģences intervālu, kaut arī tas ir tikai punkts.

Šajā piemērā saknes tests šķiet piemērotāks. Tātad,

Tātad, tā kā (L = 0 & lt 1 ) neatkarīgi no (x ) vērtības, šī jaudas sērija saplūs katrai (x ).

Šajos gadījumos mēs sakām, ka konverģences rādiuss ir (R = infty ) un konverģences intervāls ir (- infty & lt x & lt infty ).

Tātad apkoposim pēdējos divus piemērus. Ja jaudas sērija saplūst tikai attiecībā uz (x = a ), tad konverģences rādiuss ir (R = 0 ) un konverģences intervāls ir (x = a ). Tāpat, ja jaudas sērija saplūst katram (x ), konverģences rādiuss ir (R = infty ) un konverģences intervāls ir (- infty & lt x & lt infty ).

Izstrādāsim vēl vienu piemēru.

Vispirms pamaniet, ka (a = 0 ) šajā problēmā. Tas nav īsti svarīgi problēmai, taču ir vērts norādīt, lai cilvēki par to neuztrauktu.

Svarīga šīs problēmas atšķirība ir eksponents uz (x ). Šajā gadījumā tas ir 2 (n ), nevis standarta (n ). Kā redzēsim, dažām jaudas sērijām būs eksponenti, kas nav (n ), un tāpēc mums joprojām ir jāspēj tikt galā ar šāda veida problēmām.

Šķiet, ka šis atkal ir iestatīts root testam, tāpēc izmantosim to.

Tātad, mēs panāksim konverģenci, ja

Tomēr konverģences rādiuss NAV 3. Konverģences rādiusam ir nepieciešams eksponents 1 uz (x ). Tāpēc

[ sākas sqrt <> & & lt sqrt 3 pa kreisi | x pa labi | & & lt sqrt 3 beigas]

Esiet piesardzīgs ar absolūtās vērtības joslām! Šajā gadījumā izskatās, ka konverģences rādiuss ir (R = sqrt 3 ). Ievērojiet, ka mēs šoreiz neuztraucāmies novērst nevienlīdzību par atšķirībām. Divergences nevienlīdzība ir tikai konverģences intervāls, ko tests dod ar pārslēgtu nevienlīdzību un parasti tas nav vajadzīgs. Mēs parasti izlaidīsim šo daļu.

Tagad iegūstam konverģences intervālu. Pirmkārt, no nevienlīdzības, ko mēs iegūstam,

(x = - sqrt 3 ):
Šeit ir jaudas sērija,

Divergences tests atšķiras no šīs sērijas, jo ( mathop < lim> limits_ < left (<- 1> right) ^ n> ) nepastāv.

(x = sqrt 3 ):
Tā kā mēs kvadrātu (x ), šī sērija būs tāda pati kā iepriekšējā darbība.


7.2E: Power Series pārskats (vingrinājumi) - matemātika

Jūs gatavojaties dzēst savu darbu par šo darbību. Vai tiešām vēlaties to darīt?

Pieejama atjauninātā versija

Ir atjauninātā versija šīs aktivitātes. Ja atjaunināsiet šīs darbības jaunāko versiju, tiks dzēsti pašreizējie šīs darbības virzieni. Neatkarīgi no tā, jūsu pabeigšanas ieraksts paliks. Kā jūs vēlētos turpināt?

Matemātisko izteiksmju redaktors

Mēs apsveram jaudas sēriju izmantošanu, lai noteiktu dažu diferenciālvienādojumu risinājumus.

Sērijas risinājumi parastā punkta tuvumā I

Daudzi fiziski pielietojumi rada formas otrās kārtas viendabīgus lineārus diferenciālvienādojumus

kur, un ir polinomi. Parasti šo vienādojumu risinājumus nevar izteikt kā pazīstamas pamatfunkcijas. Tāpēc mēs apsvērsim problēmu, kā attēlot (eq: 7.2.1) risinājumus ar sērijām.

Mēs visu to pieņemam, un mums nav kopīgu faktoru. Tad mēs sakām, ka tas ir parasts punkts (ekvivalents: 7.2.1) ja vai vienskaitlis ja. Attiecībā uz Legendre vienādojumu

un tie ir vienskaitļa punkti, un visi pārējie punkti ir parastie punkti. Besela vienādojumam ir vienskaitlis, un visi pārējie punkti ir parastie punkti. Ja ir nulles konstante kā Airija vienādojumā, tad katrs punkts ir parasts punkts.

Tā kā polinomi ir nepārtraukti visur un ir nepārtraukti jebkurā brīdī, kas nav nulle. Tāpēc, ja parastais punkts ir (eq: 7.2.1) un ir patvaļīgi reālie skaitļi, tad sākotnējās vērtības problēma

ir unikāls risinājums lielākajā atvērtajā intervālā, kas satur un nesatur nevienu nulli. Lai to redzētu, mēs pārrakstām diferenciālvienādojumu (eq: 7.2.4) kā un piemērojam teorēmu thmtype: 5.1.1 ar un. Šajā un nākamajā sadaļā mēs aplūkojam problēmu, kā attēlot (ekv .: 7.2.1) risinājumus pēc jaudas sērijām, kas saplūst parastā punkta tuvumā esošām vērtībām.

Mēs paziņojam nākamo teorēmu bez pierādījumiem.

Mēs saucam (ekvivalents: 7.2.6) a jaudas sērijas risinājums (ekvivalents: 7.2.5). Tagad mēs izstrādāsim metodi jaudas sēriju risinājumu meklēšanai (ekvivalents: 7.2.5). Šim nolūkam mēs rakstām (ekvivalents: 7.2.5) kā, kur

Teorēma thmtype: 7.2.1 nozīmē, ka katru iesākuma risinājumu šajā sērijā var ierakstīt kā Iestatījumu un sērijā parāda, ka un. Tā kā katrai sākotnējās vērtības problēmai (ekvivalents: 7.2.4) ir unikāls risinājums, tas nozīmē, ka to var izvēlēties patvaļīgi, un tās tās nosaka unikāli.

Lai atrastu, mēs rakstām un aizstājam (eq: 7.2.7) un apkopojam līdzīgu spēku koeficientus. Tas dod ražu

kur izteikti kā koeficienti un, un, kas rakstīti pilnvarās. Tā kā (ekvivalents: 7.2.8) un teorēmas thmtype: 7.1.6 pirmā daļa nozīmē, ka tikai un vienīgi tad, ja visus enerģijas sērijas risinājumus var iegūt, izvēloties un patvaļīgi un aprēķinot, secīgi, lai par. Vienkāršības labad mēs saucam šādi iegūtās jaudas sērijas jaudas sērijas vispārējam risinājumam , skaidri nenorādot sērijas atvērto konverģences intervālu.

Tiek dēvēti tādi vienādojumi kā (eq: 7.2.10), (eq: 7.2.11) un (eq: 7.2.12), kas secībā nosaka noteiktu koeficientu viena vai vairāku koeficientu ar mazāku indeksu izteiksmē. atkārtošanās attiecības. Ja mēs izmantojam atkārtošanās saistību, lai aprēķinātu secības nosacījumus, mēs aprēķinām rekursīvi.

Šīs sadaļas atlikušajā daļā mēs aplūkojam problēmu ar jaudas sērijas risinājumu atrašanu formas vienādojumiem

Daudzi nozīmīgi vienādojumi, kas rodas lietojumprogrammās, ir šādā formā, ieskaitot Legendre vienādojumu (ekv .: 7.2.2), Airija vienādojumu (ekv.: 7.2.3), Čebiševa vienādojumu un Hermites vienādojumu, Tā kā iekš (eq: 7.2.16) , punkts ir parasts punkts (eq: 7.2.16), un teorēma thmtype: 7.2.1 nozīmē, ka (eq: 7.2.16) risinājumus var ierakstīt kā jaudas sērijas, kas saplūst intervālā, ja uz ja. Mēs redzēsim, ka koeficientus šajās jaudas sērijās var iegūt ar metodēm, kas ir līdzīgas piemēriem: 7.2.1.

Lai vienkāršotu koeficientu atrašanu, mēs ieviešam dažus apzīmējumus produktiem: Tādējādi un mēs definējam neatkarīgi no tā formas.

Aprēķinot nepāra jaudu koeficientus no (ekv .: 7.2.20), iegūst

Rezultāti piemēru piemērā: 7.2.1 un piemērs: 7.2.2 ir šādas vispārējās teorēmas sekas.

Pierādījums šeit Ja tad tātad, no (ekv .: 7.2.25). Lai apkopotu jaudas koeficientus, pirmajā summā mēs pārvietojam summēšanas indeksu. Tādējādi iegūst tikai tad, ja tas ir ekvivalents (ekv .: 7.2.24). Rakstīšana (ekv .: 7.2.24) atsevišķi gadījumiem, kad un dod (ekv .: 7.2.26) un (ekv .: 7.2.27).

Līdz šim aplūkotajos piemēros mēs varējām iegūt slēgtas formulas koeficientiem jaudas sērijas risinājumos. Dažos gadījumos tas nav iespējams, un mums ir jāsamierinās ar ierobežota virknes rindu terminu aprēķināšanu. Nākamais piemērs to ilustrē ar sākotnējās vērtības problēmu.

Piezīme par tehnoloģiju

Koeficientu aprēķināšana rekursīvi, kā piemērā: 7.2.4. Ir garlaicīgs. Mēs iesakām veikt šāda veida aprēķinus, uzrakstot īsu programmu, lai kalkulatorā vai datorā ieviestu atbilstošo atkārtošanās attiecību. Varat to darīt, pārbaudot piemērus un veicot vingrinājumus.

Ja jūs interesē faktisko sēriju izmantošana, lai aprēķinātu skaitliskās aproksimācijas diferenciālvienādojuma risinājumiem, tad būtībai nav nozīmes tam, vai koeficientiem ir vienkārša slēgta forma. Skaitļošanas nolūkos parasti ir efektīvāk sākt ar dotajiem koeficientiem un, aprēķināt rekursīvi, un pēc tam aprēķināt aptuvenas šķīduma vērtības no Teilora polinoma. Triks ir izlemt, kā izvēlēties, lai aproksimācija būtu pietiekami precīza intervāla apakšintervālā. konverģenci, kas jūs interesē. Šajā un nākamajās divās sadaļās paredzētajos skaitļošanas vingrinājumos jums bieži tiks lūgts iegūt konkrētas problēmas risinājumu, skaitliski integrējot ar jūsu izvēlēto programmatūru (skat. īsa diskusija par vienu no šādām metodēm) un salīdzināt šādā veidā iegūto risinājumu ar iegūtajiem aptuvenajiem lielumiem. Šis ir tipisks mācību grāmatas vingrinājums, kas paredzēts, lai sniegtu ieskatu par to, kā aproksimācijas precizitāte darbojas kā funkcija un kādu intervālu jūs strādājat. Reālajā dzīvē jūs izvēlētos vienu vai otru no abām metodēm (skaitliskā integrācija vai sērijas risinājums). Ja izvēlaties sērijveida risinājuma metodi, praktiska procedūra piemērotas vērtības noteikšanai ir jāturpina palielināt, līdz maksimālais intervāla intervāls ir kļūdas robežās, kuru esat gatavs pieņemt.

Veicot skaitļošanas problēmas, kas prasa diferenciālvienādojumu skaitlisku risinājumu, jums jāizvēlas visprecīzākā skaitliskās integrācijas procedūra, ko atbalsta jūsu programmatūra, un eksperimentējiet ar soļa lielumu, līdz esat pārliecināts, ka skaitliskie rezultāti ir pietiekami precīzi attiecīgajai problēmai.

Teksta avots

Trench, William F., “Elementārie diferenciālvienādojumi” (2013). Fakultātes autorētas un rediģētas grāmatas un kompaktdiski. 8. (CC-BY-NC-SA)


Gowers & # 039s tīmekļa žurnāls

Es rakstu šo ierakstu kā veidu, kā sagatavoties lekcijai. Es vēlos apspriest rezultātu, ka jaudas sērija ir atšķirama tās konverģences loka iekšienē, un atvasinājumu dod acīmredzamā formula. Citiem vārdiem sakot, konverģences loka iekšpusē mēs varam domāt par jaudas virkni kā par pakāpes polinomu diferencēšanas nolūkos.

Sākotnējs jautājums par to ir, kāpēc tas nav vairāk vai mazāk acīmredzams. Galu galā, rakstot, mums ir šādi fakti.

Ja mēs to zinātu, tad mēs to izdarītu.

Ah, jūs varētu domāt, kā mēs zinām, ka secība saplūst? Bet izrādās, ka tā nav problēma: ir diezgan vienkārši pierādīt, ka tā saplūst. (Aptuveni runājot, konverģences loka ietvaros sērijas saplūst vismaz tikpat ātri kā ģimenes ārsts, un, reizinot trešo vārdu ar to, neapstājas GP saplūšana (kā to var viegli redzēt ar koeficienta testa palīdzību). rakstot, mūsu rīcībā ir šādi fakti.

Vai no tā neizriet?

Mēs šeit pievēršamies vispārējam principam, proti, ja dažas funkcijas saplūst un to atvasinājumi saplūst, tad tās var diferencēt. Vai šis vispārējais princips ir pareizs?

Diemžēl tas nav. Pieņemsim, ka mēs izmantojam dažas nepārtrauktas funkcijas, kas saplūst ar pakāpju funkciju. (Aptuveni runājot, jūs veicat vērtību 0 līdz 0, tad lineāru ar gradientu, līdz tas sasniedz 1, tad 1 no šī punkta uz priekšu.) Un pieņemsim, ka tad mēs ļausim būt funkcijai, kas diferencē un ir 0 līdz 0. Tad saplūst funkcijai, kas ir 0 līdz 0, un pozitīvai. Šī funkcija gandrīz diferencē soļa funkciju, bet tā nav diferencējama pie 0.

Tāpēc mums kaut kā ir jāizmanto īpaši fakti par jaudas sērijām, lai pierādītu savu rezultātu, un mēs nevaram apelēt pie vispārīgiem apsvērumiem, jo ​​tad mēs vēršamies pie principa, kas nav taisnība. (Patiesībā principā varētu būt iespējams panākt kādu kompromisu, kur mēs parādām, ka jaudas sēriju definētajām funkcijām ir noteikta īpašība, un tad no šī brīža neko citu, izņemot šo īpašību, neizmantojam. Bet kā tas notiek, mēs to nedarīsim.

Kāpēc mēs vienkārši nevaram ielēkt un pierādīt to ar lielu aprēķinu?

Mums ir formula. Kāpēc mēs neizrakstām formulu un redzam, vai mēs varam pateikt, kas notiek?

Tā noteikti ir saprātīga pirmā lieta, kas jāizmēģina, tāpēc ļaujiet redzēt, kas notiek.

Ko mēs ar to varam darīt? Varbūt mēs labāk piemērosim binomiālo teorēmu. Tad mēs konstatējam, ka labā puse ir vienāda ar

Daļa no iepriekš minētās izteiksmes dod mums to, ko mēs vēlamies, proti. Tāpēc mēs esam atstājuši vēlmi to pierādīt

Diemžēl, kad kļūst liels, arī daži no šiem binomiskajiem koeficientiem kļūst diezgan lieli. Patiešām, kad tas ir lielāks nekā, binomiālo koeficientu pieaugums, šķiet, apsteigs. Ko mēs varam darīt?

Noderīgs triks

Par laimi ir labāks (vismaz mūsu vajadzībām) rakstīšanas veids. Mēs tikko paplašinājāmies, izmantojot binomālo teorēmu. Bet tā vietā mēs būtu varējuši izmantot paplašinājumu

Piemērojot to ar un, mēs saņemam

Tieši pirms mēs turpinām, ņemiet vērā, ka tas dod mums alternatīvu un, manuprāt, jaukāku veidu, kā pārliecināties, ka atvasinājums ir, jo, ja jūs sadalāt labo pusi blakus un ļautu, tad katram no šiem noteikumiem ir tendence.

Jebkurā gadījumā, ja mēs izmantojam šo triku, tad tas izrādās

Tagad ļaujiet & # 8217 atņemt lietu, kurai mēs vēlamies, lai tā mēdz būt. (Tas nav derīgi, ja vien mēs nezinām, ka šī sērija saplūst. Tāpēc kādā posmā mums tas būs jāpierāda.) Ja mēs domājam par kopiju kopu, tad atšķirību varam ierakstīt kā

Tagad ir vēl viens paplašināšanās piemērs, kas mums bija iepriekš. Tas ir, mēs to varam uzrakstīt kā

Mēs vēl neesam minējuši sākotnējās jaudas sērijas konverģences rādiusu, bet ļaujiet to darīt tagad. Pieņemsim, ka tas ir tāds, un ka mēs to esam izvēlējušies pietiekami mazu. Tad iepriekšminētās izteiksmes modulis ir ne vairāk kā.

Tātad tas mēdz būt nulle, kamēr mēs varēsim pierādīt, ka summa saplūst.

To jaudas sēriju konverģence, kuras iegūstat, diferencējot terminu pēc termina

Ļaujiet & # 8217s pierādīt lemmu, lai tiktu galā ar šo pēdējo punktu. Tajā teikts, ka, ja tas ir mazāks par jaudas sērijas konverģences rādiusu, tad jaudas sērija saplūst.

Pierādījums ir ļoti līdzīgs argumentam, kuru mēs jau esam redzējuši. Ļaut būt konverģences rādiuss, un izvēlēties ar. Tad jaudas sērija saplūst, tāpēc noteikumi ir ierobežoti iepriekš, teiksim. Tad.

Bet sērija saplūst, izmantojot attiecību testu. Tāpēc, veicot salīdzināšanas testu, sērija saplūst.

Tas arī parāda, ka, ja tad jaudas sērijas saplūst (tā kā mēs tikko esam pierādījuši, ka tā saplūst absolūti). Tātad, ja mēs diferencējam jaudas sērijas terminu pēc termina, mēs iegūstam jaunu jaudas sēriju, kurai ir vienāds konverģences rādiuss, kaut kas mums bija vajadzīgs agrāk.

Ja mēs otro reizi izmantosim šo lemmu, mēs saņemsim, ka jaudas sērija saplūst un, dalot ar 2, dod mums to, ko mēs gribējām iepriekš, proti, ka saplūst.

Pāris pieteikumi

Acīmredzams veids, kā pielietot rezultātu, ir ņemt dažas no iecienītākajām jaudas sērijām un diferencēt tās pēc termiņa. Tas ilustrē ļoti svarīgo vispārīgo viedokli, ka, ja jūs varat kaut ko iegūt divos dažādos veidos, tad jūs galu galā pierāda kaut ko interesantu.

Tāpēc ļaujiet & # 8217s izmantot funkciju, kuru mēs visur esam redzējuši. Tad atvasinājumu varam iegūt, vai nu diferencējot pašu funkciju, vai arī diferencējot jaudas sērijas terminu pēc termina. Tas mums to saka

, kas vienkāršo līdz, kas savukārt vienkāršo līdz, kas vienāds ar.

Iepriekš mēs pierādījām šo rezultātu, rakstot kā un pierādot to. Es joprojām dodu priekšroku šim pierādījumam, bet jums ir tiesības nepiekrist.

Kā vēl vienu piemēru ņemsim vērā jaudas sērijas. Kad tas ir vienāds, pēc formulas GP summēšanai. Tagad mēs varam diferencēt jaudas sērijas terminu pēc termina, un mēs varam arī diferencēt funkciju. To darot, mums ir interesants fakts

To mēs varam redzēt arī citādi. Rezultāts, reizinot jaudas sērijas, ir pats par sevi reizinājums ar jaudas sēriju, kur ir nemainīgas secības konvolūcija ar sevi. Tas ir, ar katru un vienāds ar 1, kas mums dod. (Tas sakrīt ar iepriekšējo atbildi, jo ir tāds pats kā.)

Pierādījuma sakārtošana

Iepriekš minētajā pierādījumā mēs izmantojām identitāti

ar un, un pēc tam mēs to atkal izmantojām, lai aprēķinātu, kas notika, kad mēs atņemām. Vai mēs varam šos aprēķinus novērst jau iepriekš? Tas ir, vai mēs varam sākt atrast jauku formulu?

Acīmredzot mēs varam, atņemot no labās puses un vienkāršojot, tāpat kā mēs to izdarījām iepriekš minētajā pierādījumā (ar un). Tomēr mēs varam kaut ko darīt nedaudz gludāk šādi. Sāciet ar identitāti

Atšķirot abas puses attiecībā pret, mēs iegūstam

Ja mēs tagad ņemam par un par, mēs secinām, ka tas ir vienāds ar

Jo īpaši, ja un vai abi ir ne vairāk, tad tas ir galvenais fakts, kas mums vajadzīgs pierādījumos.

Bruņojušies ar šo faktu, mēs varētu strīdēties šādi. Mēs vēlamies to parādīt

ir. By the inequality we have just proved, if and are at most , then the modulus of this expression is at most

and an earlier lemma told us that this converges within the circle of convergence. So the quantity we want to be is in fact bounded above by a multiple of . (Sometimes people use the notation for this. The means “bounded above in modulus by a constant multiple of the modulus of”.)

Was the “trick” a trick?

The proof in this post has relied heavily on the idea, which appeared to come from nowhere, of writing not in the obvious way, which is

but in a “clever” way, namely

Is this something one just has to remember, or can it be regarded as the natural thing to do?

I chose the words “can it be regarded as” quite carefully, since I want to argue that it is the natural thing to do, but when I was preparing this lecture, I didn’t find it the natural thing to do, as I shall now explain. I came to this result with the following background. Many years ago, I lectured a IB course called Further Analysis, which was a sort of combination of the current courses Metric and Topological Spaces and Complex Analysis, all packed into 16 lectures. (Amazingly, it worked quite well, though it was a challenge to get through all the material.) As a result of lecturing that, I learnt a proof that power series can be differentiated term by term inside their circle of convergence, but the proof uses a number of results from complex analysis. I then believed what some people say, which is that the complex analysis proof of this result is a very good advertisement for complex analysis, since a direct proof is horrible. And then at some point I was chatting to Imre Leader about the reorganization of various courses, and he told me that it was a myth that proving the result directly was hard. It wasn’t trivial, he said, but it was basically fine. In fact, it may even be thanks to him that the result is in the course.

Until a few days ago, I didn’t bother to check for myself that the proof wasn’t too bad — I just believed what he said. And then with the lecture coming up, I decided that the time had finally come to check it: something that I assumed would be a reasonably simple exercise. I duly did the obvious thing, including expanding using the binomial theorem, and got stuck.

I would like to be able to say that I then thought hard about why I was stuck, and after a while thought of the idea of expanding using the expansion of . But actually that is not what happened. What happened was that I thought, “Damn, I’m going to have to look up the proof.” I found a few proofs online that looked dauntingly complicated and I couldn’t face reading them properly, apart from one that was quite nice and that for a while I thought I would use. But one thing all the proofs had in common was the use of that expansion, so that was how the idea occurred to me.

So what follows is a rational reconstruction of what I wish had been my thought processes, rather than of what actually went on in my mind.

Let’s go back to the question of how to differentiate . I commented above that one could do it using the expansion, and said that I even preferred that approach. But how might one think of doing it that way? There is a very simple answer to that, which is to use one of the alternative definitions of differentiability, namely that is differentiable at with derivative if as . This is simply replacing by , but that is nice because it has the effect of making the expression more symmetrical. (One might argue that since we are talking about differentiability plkst , the variables and are playing different roles, so there is not much motivation for symmetry. And indeed, that is why calling one point and the other is often a good idea. But symmetry is … well … sort of good to have even when not terribly strongly motivated.)

If we use this definition, then the derivative of is the limit as of , and now there is no temptation to use the binomial expansion (we would first have to write as and the whole thing would be disgusting) and the absolutely obvious thing to do is to observe that we have a nice formula for the ratio in question, namely

which obviously tends to as .

In fact, the whole proof is arguably nicer if one uses and rather than and .

Thus, the “clever” expansion is the natural one to do with the symmetric definition of differentiation, whereas the binomial expansion is the natural one to do with the definition. So in the presentation above, I have slightly obscured the origins of the argument by applying the clever expansion to the definition.

Another way of seeing that it is natural is to think about how we prove the statement that a product of limits is the limit of the products. The essence of this is to show that if is close to and is close to , then is close to . This we do by arguing that is close to , and that is close to .

Suppose we apply a similar technique to try to show that is close to . How might we represent their difference? A natural way of doing it would be to convert all the s into s in a sequence of steps. That is, we would argue that is close to , which is close to , and so on.

But the difference between and is , so if we adopt this approach, the we will end up showing precisely that


7.2E: Review of Power Series (Exercises) - Mathematics

Winter 2021

Class Location & Time: Tue, 11 AM - 1 PM Thu, 12 PM - 1 PM online (the link and connection instructions are available on Quercus).

Tutorials: Mondays 11 AM - 12 PM, online (the link and connection instructions are available on Quercus). The first tutorial will be on Monday, January 18.

Instruktors: Ilia Binder ([email protected]).
Office Hours: Fridays, 10.30 AM -11.30 AM, and by appointment.

Teaching Assistant: Ilia Kirillov ([email protected]).
Office Hours: By appointment.

Required Text: Lars V. Ahlfors,Complex Analysis.
The book is out of print but the coursepack is available at the University of Toronto Bookstore.

Prerequisites: (MAT137Y5 or MAT157Y5),(MAT202H5 or MAT240H5), and (MAT232H5, MAT233H5, or MAT257Y5).

Exclusion: MAT334H1, MAT334H5, MAT354H1, or MATC34H3.

Prerequisites will be checked, and students not meeting them will be removed from the course by the end of the second week of classes. If a student believes that they do have the necessary background material, and are able to prove it (e.g., has a transfer credit from a different university), then they should submit a 'Prerequisite/Corequisite Waiver Request Form' by email.

Course outline.
The course is a rigorous introduction to Complex Analysis, one of the most exciting fields of modern Mathematics. We will begin with a review of Complex numbers and their Geometric and Algebraic properties. After that, we will start investigating holomorphic functions, including polynomials, rational functions, and trigonometric functions. We will carefully discuss the differences between Real and Complex differentiation. Following that, we will take a Complex Analysis approach to line integration and derive the fundamental theorem of Complex Analysis, the Cauchy Theorem. This theorem has a number of dramatic consequences: the Cauchy representation fomula, Fundamental Theorem of Algebra, Maximum Modulus Principle, and many others. Developing the theory, we will study Residual Calculus un Harmonic functions. The culmination of the course will be proof of the celebrated Rieman mapping theorem, which asserts that any simply connected planar domains (i.e. "a domain without holes") which is not the whole plane can be bijectively mapped by a holomorphic map to the unit disk.

Topics covered in class.

The homework assignments are posted here on Thursdays. The first assignment will be posted on January 14. The assignments will be due on the following Thursday, at noon. The assignments should be submitted through Quercus. To submit, you can scan or take a photo of your work (or write your work electronically). Please make sure that the images are clear and easy to read before you submit them.

Midterm test. The Midterm test will be held during the regular class meeting time on Tuesday, February 23. There will be four problems, covering all the material discussed in class so far. During the test, you can use the course textbook and course notes. You will have twenty minutes after the end of the midterm to upload your solutions. During the midterm, you should be connected to our regular Zoom session. Your camera should be on. Any noncompliance will result in zero credit.
For those of you in the different time zones, there will be a 7-9am sitting of the midterm on February 23. Please email the instructor by Thursday, February 18, if you want to take this version.
Suggested preparation: all homework problems and exercises 3, 6, page 108 exercises 1-3, page 120 of Ahlfors. You do not need to turn them in.
You can also look at the Warm-up questions.

Final exam. The exam will be a take-home exam. You will receive a list of problems on April 12, at 9 am. You will need to upload your solutions by 9 am on April 16. No late submissions will be accepted. The exam itself will be conducted as a series of 10-minute breakout room interviews, where each of you will present some of your solutions and answer additional questions related to the course. The link to the final exam will be available on Quercus.
Suggested preparation: all homework problems, midterm preparation problems, and exercises 2-3, page 178 exercise 5, page 184 exercise 3, page 186 exercise 4, page 190 exercise 4, page 193 exercises 1-2, page 232 of Ahlfors. You do not need to turn them in.
Office hours on Friday, April 9: 10am - 12 pm.

Grading. Grades will be based on eight homework assignments (3% each), Midterm test (25%), and Final exam (45%). The remaining 6% will come from class participation: taking part in online discussions, answering pop-up quizes, and such. To get the participation marks, you will have to have your camera on during the class Zoom call. I will also occasionally assign bonus problems.

Late work. Extensions for homework deadlines will be considered only for medical reasons. Late assignments will lose 20% per day. Submission on the day the homework is due but after the noon deadline is considered to be one day late. Special consideration for late assignments or missed exams must be submitted via e-mail within a week of the original due date. There will be no make-up midterm tests or final. Justifiable absences must be declared on ROSI, undocumented absences will result in zero credit. In the case of a justifiable absence, the weight of the submitted work will be adjusted proportionally.

E-mail policy.
E-mails must originate from a utoronto.ca address and contain the course code MAT354 in the subject line. Please include your full name un student number in your e-mail.

Notice of video recording and sharing.
The lectures for this course will be recorded, for privacy reasons.

Academic Integrity.
Honesty and fairness are fundamental to the University of Toronto&rsquos mission. Plagiarism is a form of academic fraud and is treated
very seriously. The work that you submit must be your own and cannot contain anyone elses work or ideas without proper
attribution. You are expected to read the handout How not to plagiarize (http://www.writing.utoronto.ca/advice/using-sources/how-not-to-plagiarize) and to be familiar with the Code of behaviour on academic matters, which is linked from the UTM calendar under the link Codes and policies.


7.2E: Review of Power Series (Exercises) - Mathematics

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

There is an updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

We can approximate sufficiently differentiable functions by polynomials.

When is given by an explicit formula in terms of , the point is found by evaluating the at , and the slope is found by evaluating the derivative at . By taking advantage of the point-slope form of a line

an equation for the tangent line is found. Let’s explore this in the context of an example.

Thus, the equation of the tangent line is

If we “zoom in” on the graphs of the function and its tangent line at , denoted by , we see the following picture.

From tangent line approximation, we can approximate values of near . Visually, we can see this since the graphs are quite close. Computationally, we obtain the approximations by plugging -values into the equation of the tangent line for instance, we can approximate by noting

The actual value of to three decimal places is , so the simple arithmetic needed to estimate using the tangent line produces a reasonable approximation. As we “zoom out” to a larger viewing window, however, the graphs start to become quite different.

Since evaluating polynomials involves only arithmetic operations, we would like to be able to use them to give better results than the tangent line approximation. Also, polynomials are easy to integrate and differentiate, so it would be nice to use polynomial approximations in applications that involve these operations. This will require that we try to extract the idea from the tangent line approximation in a way that allows us to generalize it.

Revisiting the Tangent Line Approximation

Let’s look for a first degree polynomial of the form

where and are constants that must be determined.

    We certainly want the function and the approximation to agree at the -value off of which the approximation is based that is, we want

Thus, the requirement gives us that .

Thus, the requirement gives us that .

Our approximation is thus , which matches the equation of the tangent line at .

A Quadratic Approximation

While this should not be too surprising, it does allow for us to think of conditions that will allow for higher degree polynomial approximations. Suppose that we want to use a quadratic polynomial of the form

for making estimates. Note that is clearly not linear in fact, it is concave-up on its domain. Note that by drawing tangent lines at different points near , the slopes are different, which is roughly what concavity quantifies. Slopes of tangent lines are found from the first derivative, so in order to measure how these slopes are changing, we should look at the derivative of the first derivative. This is really nothing new we know already that concavity is measured using the second derivative.

We’ll keep the previous two conditions - that and - and also require that . We thus look for look for a polynomial whose coefficients are found by the requirements

By following the previous example, the reader can (and should) verify that we still have and . To find , note that

Thus, the requirement gives us that , or .

The quadratic approximation is thus

Let’s now explore our approximations. Geometrically, we can interpret the effectiveness of the approximations by looking at their graphs.

We can also explore the approximations quantitatively for a given -value. For instance, if we want to approximate , we note that , so . We thus approximate by evaluating the polynomials at .

By noting that the actual value to three decimal place is , we can see that the quadratic approximation is better!

Higher Order Approximations

We can continue to look for higher degree polynomial approximations. Note that our approximations above require that the function be sufficiently differentiable at the point at which we wish to base the approximation.

whose coefficients are found by requiring for each .

We will develop a more computationally efficient method for computing Taylor Polynomials in the next section, but we conclude this section with a question that explores the ideas put forth so far.


Site menu:

Latest News

(12/11) Solutions to the sample final exam posted. There was an error in the statement of Problem 4: of course it should be ". then f is strictly decreasing. ".

(12/07) There is information on the final exam, a sample final exam, and also a revised grading policy.

(11/06) There are brief sketches to solutions of the sample second midterm available.

(11/02) There is a sample midterm available. For more info on the upcoming second midterm, see the exams section on this page.

(10/31) There was an kļūda in Homework 8 I handed out in class today. In Problem 3 it should of course be sum c_n on the right hand side. You can download a corrected version from this site.

(10/24) Discussion session: There will be a discussion session every Wednesday 4:30-6pm starting Oct 25. We will meet in my office, 705 Evans. If a lot of people show up for this I will request a larger room.

(09/25) There are brief sketches to solutions of the sample midterm available.

(09/21) There is a sample midterm available. For more info on the upcoming midterm, see the exams section on this page.

(09/12) Room Change: effective Thursday Sep 14, the class will meet in room 70 Evans Hall.


7.2E: Review of Power Series (Exercises) - Mathematics

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

There is an updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

We begin our study of the method of Frobenius for finding series solutions of linear second order differential equations.

The Method of Frobenius I

In this section we begin to study series solutions of a homogeneous linear second order differential equation with a regular singular point at , so it can be written as

where , , are polynomials and .

We’ll see that (eq:7.5.1) always has at least one solution of the form where and is a suitably chosen number. The method we will use to find solutions of this form and other forms that we’ll encounter in the next two sections is called the method of Frobenius, and we’ll call them Frobenius solutions.

It can be shown that the power series in a Frobenius solution of (eq:7.5.1) converges on some open interval , where . However, since may be complex for negative or undefined if , we’ll consider solutions defined for positive values of . Easy modifications of our results yield solutions defined for negative values of .

We’ll restrict our attention to the case where , , and are polynomials of degree not greater than two, so (eq:7.5.1) becomes

where , , and are real constants and . Most equations that arise in applications can be written this way. Some examples are

The next two theorems will enable us to develop systematic methods for finding Frobenius solutions of (eq:7.5.2).

Proof We begin by showing that if is given by (eq:7.5.3) and , , and are constants, then where Differentiating (3) twice yields and Multiplying (eq:7.5.7) by and (eq:7.5.8) by yields and Therefore

To use these results, we rewrite as

From (eq:7.5.6) with , From (eq:7.5.9) with , From (eq:7.5.10) with , Therefore we can rewrite (eq:7.5.11) as

If is determined by the recurrence relation (eq:7.5.12) then substituting into (eq:7.5.5) yields and for , so (eq:7.5.4) reduces to (eq:7.5.14). We omit the proof that the series (eq:7.5.13) converges on .

If for , then reduces to the Euler equation Theorem thmtype:7.4.3 shows that the solutions of this equation are determined by the zeros of the indicial polynomial Since (eq:7.5.14) implies that this is also true for the solutions of , we’ll also say that is the indicial polynomial of (eq:7.5.2), and that is the indicial equation of . We’ll consider only cases where the indicial equation has real roots and , with .

Proof Since and are roots of , the indicial polynomial can be factored as Therefore which is nonzero if , since . Therefore the assumptions of Theorem thmtype:7.5.2 hold with , and (eq:7.5.14) implies that .

Now suppose isn’t an integer. From (eq:7.5.15), Hence, the assumptions of Theorem thmtype:7.5.2 hold with , and (eq:7.5.14) implies that . We leave the proof that is a fundamental set of solutions as an exercise.

It isn’t always possible to obtain explicit formulas for the coefficients in Frobenius solutions. However, we can always set up the recurrence relations and use them to compute as many coefficients as we want. The next example illustrates this.

Setting in these equations yields

and setting yields Calculating with (eq:7.5.18) and (eq:7.5.19) and substituting the results into (eq:7.5.17) yields the fundamental set of Frobenius solutions

Special Cases With Two Term Recurrence Relations

For , the recurrence relation (eq:7.5.12) of Theorem thmtype:7.5.2 involves the three coefficients , , and . We’ll now consider some special cases where (eq:7.5.12) reduces to a two term recurrence relation that is, a relation involving only and or only and . This simplification often makes it possible to obtain explicit formulas for the coefficents of Frobenius solutions.

We first consider equations of the form with . For this equation, , so and the recurrence relations in Theorem thmtype:7.5.2 simplify to

We now consider equations of the form

with . For this equation, , so and the recurrence relations in Theorem thmtype:7.5.2 simplify to

is a Frobenius solution of (eq:7.5.25).

A Note on Technology

As we said at the end of Trench 7.2, if you’re interested in actually using series to compute numerical approximations to solutions of a differential equation, then whether or not there’s a simple closed form for the coefficents is essentially irrelevant recursive computation is usually more efficient. Since it’s also laborious, we encourage you to write short programs to implement recurrence relations on a calculator or computer, even in exercises where this is not specifically required.

In practical use of the method of Frobenius when is a regular singular point, we’re interested in how well the functions approximate solutions to a given equation when is a zero of the indicial polynomial. In dealing with the corresponding problem for the case where is an ordinary point, we used numerical integration to solve the differential equation subject to initial conditions , and compared the result with values of the Taylor polynomial We can’t do that here, since in general we can’t prescribe arbitrary initial values for solutions of a differential equation at a singular point. Therefore, motivated by Theorem thmtype:7.5.2 (specifically, (eq:7.5.14)), we suggest the following procedure.

The multiplier on the right of (eq:7.5.27) eliminates the effects of small or large values of near , and of multiplication by an arbitrary constant.

To implement this procedure, you’ll have to write a computer program to calculate from the applicable recurrence relation, and to evaluate .

Text Source

Trench, William F., ”Elementary Differential Equations” (2013). Faculty Authored and Edited Books & CDs. 8. (CC-BY-NC-SA)


Satura rādītājs

Differential Galois theory is an important, fast developing area which appears more and more in graduate courses since it mixes fundamental objects from many different areas of mathematics in a stimulating context. For a long time, the dominant approach, usually called Picard-Vessiot Theory, was purely algebraic. This approach has been extensively developed and is well covered in the literature. An alternative approach consists in tagging algebraic objects with transcendental information which enriches the understanding and brings not only new points of view but also new solutions. It is very powerful and can be applied in situations where the Picard-Vessiot approach is not easily extended. This book offers a hands-on transcendental approach to differential Galois theory, based on the Riemann-Hilbert correspondence. Along the way, it provides a smooth, down-to-earth introduction to algebraic geometry, category theory and tannakian duality.

Since the book studies only complex analytic linear differential equations, the main prerequisites are complex function theory, linear algebra, and an elementary knowledge of groups and of polynomials in many variables. A large variety of examples, exercises, and theoretical constructions, often via explicit computations, offers first-year graduate students an accessible entry into this exciting area.


Class X Mathematics Notes

Don’t forget to like our facebook page for updates regarding new material on our website. We also share useful articles on our facebook page to help you in your board examination. Questions and fun facts related to Class 10 Maths Notes will also be shared on our facebook page so you can ace your maths examination.

If you find any mistake or any problem with the notes, please send us an email at [email protected]

We are working hard to provide the best resources for your studies, your suggestions in this regard will also be highly appreciated. Class 10 Maths Notes are free and will always remain free. We will keep adding updated notes, past papers, guess papers and other materials with time. We will also introduce a mobile app for viewing all the notes on mobile.

Make sure to comment down your experience regarding our website. Also tell us what other features and resources would you like to see in the website. We will work on your suggestions as soon as possible. Your support is what keeps us going.