Raksti

7.7. Aptuvenā integrācija - matemātika


Mācību mērķi

  • Aptuveni noteikta integrāla vērtību, izmantojot viduspunkta un trapecveida noteikumus.
  • Nosakiet absolūto un relatīvo kļūdu, izmantojot ciparu integrācijas tehniku.
  • Novērtējiet absolūto un relatīvo kļūdu, izmantojot ar kļūdām saistītu formulu.
  • Atpazīsti, kad viduspunkta un trapecveida noteikumi pārspīlē vai par zemu novērtē integrāla patieso vērtību.
  • Izmantojiet Simpsona likumu, lai noteiktu integrāla vērtību tuvinātu dotajai precizitātei.

Daudzu funkciju antivielas vai nu nevar tikt izteiktas, vai arī tās nevar viegli izteikt slēgtā formā (tas ir, zināmo funkciju ziņā). Tā vietā, lai tieši novērtētu noteiktus šo funkciju integrāļus, mēs izmantojam dažādas metodes skaitliskā integrācija lai tuvinātu viņu vērtības. Šajā sadaļā mēs izpētām vairākas no šīm metodēm. Turklāt mēs pārbaudām kļūdu novērtēšanas procesu, izmantojot šos paņēmienus.

Viduspunkta noteikums

Iepriekš šajā tekstā mēs definējām funkcijas noteiktu integrālu intervālā kā Rīmaņa summas. Jebkuru Riemann funkcijas (f (x) ) summu intervālā ([a, b] ) var uzskatīt par ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) novērtējumu ). Atgādinām, ka funkcijas Riemann summa (f (x) ) intervālā ([a, b] ) tiek iegūta, izvēloties nodalījumu

[P = {x_0, x_1, x_2,…, x_n } nonumber ]

kur ( quad a = x_0

un komplekts

[S = {x ^ * _ 1, x ^ * _ 2,…, x ^ * _ n } ]

kur (x_ {i − 1} ≤x ^ * _ i≤x_i quad text {visiem} , i. )

Rīmaņa summu, kas atbilst nodalījumam (P ) un kopai (S ), piešķir ( displaystyle summa ^ n_ {i = 1} f (x ^ * _ i) Δx_i ), kur ( Δx_i = x_i − x_ {i − 1}, ) apakšintervāla (i ^ { text {th}} ) garums.

Viduspunkta noteikums, lai novērtētu noteiktu integrālu, izmanto Rīmaņa summu ar vienāda platuma apakšintervāliem un katra apakšintervāla viduspunktu (m_i ) (x ^ * _ i ) vietā. Formāli teorēmu par viduspunkta likuma konverģenci mēs izklāstām šādi.

Viduspunkta noteikums

Pieņemsim, ka (f (x) ) nepārtraukti darbojas uz ([a, b] ). Ļaujiet (n ) būt pozitīvam skaitlim un (Δx = dfrac {b − a} {n} ). Ja ([a, b] ) ir sadalīts (n ) apakšintervālos, katrs garums (Δx ) un (m_i ) ir (i ^ { text {th} viduspunkts } ) apakšintervāls, iestatīts

[M_n = summa_ {i = 1} ^ nf (m_i) Δx. ]

Tad ( displaystyle lim_ {n → ∞} M_n = ∫ ^ b_af (x) , dx. )

Kā redzams attēlā ( PageIndex {1} ), ja (f (x) ≥0 ) virs ([a, b] ), tad ( displaystyle summa ^ n_ {i = 1} f (m_i) Δx ) atbilst taisnstūru laukumu summai, kas tuvina laukumu starp (f (x) ) grafiku un (x ) - asi virs ([a, b] ). Diagrammā ir parādīti taisnstūri, kas atbilst (M_4 ) negatīvai funkcijai slēgtā intervālā ([a, b]. )

Piemērs ( PageIndex {1} ): viduspunkta kārtulas izmantošana ar (M_4 )

Izmantojiet viduspunkta kārtulu, lai novērtētu ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx ), izmantojot četrus apakšintervālus. Salīdziniet rezultātu ar šī integrāla faktisko vērtību.

Risinājums: Katram apakšintervālam ir garums (Δx = dfrac {1−0} {4} = dfrac {1} {4}. ) Tāpēc apakšintervāli sastāv no

[ left [0, tfrac {1} {4} right], , left [ tfrac {1} {4}, tfrac {1} {2} right], , left [ tfrac {1} {2}, tfrac {3} {4} right], , text {un} , left [ tfrac {3} {4}, 1 right]. nonumber ]

Šo apakšintervālu viduspunkti ir ( left { frac {1} {8}, , frac {3} {8}, , frac {5} {8}, , frac {7} {8} labi }. ) Tādējādi

[ begin {align *} M_4 & = frac {1} {4} cdot f left ( frac {1} {8} right) + frac {1} {4} cdot f left ( frac {3} {8} right) + frac {1} {4} cdot f left ( frac {5} {8} right) + frac {1} {4} cdot f left ( frac {7} {8} right) [4pt] & = frac {1} {4} ⋅ frac {1} {64} + frac {1} {4} ⋅ frac {9} {64} + frac {1} {4} ⋅ frac {25} {64} + frac {1} {4} ⋅ frac {49} {64} [4pt] & = frac {21} {64} = 0,3228125. end {izlīdzināt *} ]

Kopš

[∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx = frac {1} {3}, nonumber ]

absolūtā kļūda šajā tuvinājumā ir:

[ left lvert dfrac {1} {3} - dfrac {21} {64} right rvert = dfrac {1} {192} ≈0.0052, nonumber ]

un mēs redzam, ka viduspunkta noteikums rada tāmi, kas ir nedaudz tuvu noteiktā integrāla faktiskajai vērtībai.

Piemērs ( PageIndex {2} ): Viduspunkta kārtulas izmantošana ar (M_6 )

Izmantojiet (M_6 ), lai aprēķinātu līknes garumu (y = frac {1} {2} x ^ 2 ) vietnē ([1,4] ).

Risinājums: (y = frac {1} {2} x ^ 2 ) garums uz ([1,4] ) ir

[s = ∫ ^ 4_1 sqrt {1+ pa kreisi ( frac {dy} {dx} pa labi) ^ 2} , dx. nonumber ]

Tā kā ( dfrac {dy} {dx} = x ), šis integrālis kļūst par ( displaystyle ∫ ^ 4_1 sqrt {1 + x ^ 2} , dx. )

Ja ([1,4] ) ir sadalīts sešos apakšintervālos, katram apakšintervālam ir garums (Δx = dfrac {4−1} {6} = dfrac {1} {2} ) un viduspunkti apakšstarpas ir ( left { frac {5} {4}, frac {7} {4}, frac {9} {4}, frac {11} {4}, frac {13} {4}, frac {15} {4} pa labi } ). Ja mēs iestatīsim (f (x) = sqrt {1 + x ^ 2} ),

[ begin {align *} M_6 & = tfrac {1} {2} cdot f left ( frac {5} {4} right) + tfrac {1} {2} cdot f left ( frac {7} {4} right) + frac {1} {2} cdot f left ( frac {9} {4} right) + frac {1} {2} cdot f left ( frac {11} {4} right) + frac {1} {2} cdot f left ( frac {13} {4} right) + frac {1} {2} cdot f left ( frac {15} {4} right) [4pt] & ≈ frac {1} {2} (1.6008 + 2.0156 + 2.4622 + 2.9262 + 3.4004 + 3.8810) = 8.1431 , text {vienības}. end {izlīdzināt *} ]

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Izmantojiet viduspunkta kārtulu ar (n = 2 ), lai novērtētu ( displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {1} {x} , dx. )

Padoms

(Δx = frac {1} {2}, quad m_1 = frac {5} {4}, quad text {un} quad m_2 = frac {7} {4}. )

Atbilde

( dfrac {24} {35} aptuveni 0,685714 )

Trapecveida noteikums

Mēs varam arī tuvināt noteikta integrāla vērtību, izmantojot trapeces, nevis taisnstūrus. Attēlā ( PageIndex {2} ) laukumu zem līknes tuvina trapeces, nevis taisnstūri.

The trapecveida likums lai noteiktu aptuvenus integrāļus, tiek izmantoti trapeces, nevis taisnstūri, lai tuvinātu laukumu zem līknes. Lai gūtu ieskatu kārtulas galīgajā formā, apsveriet trapeces, kas parādītas attēlā ( PageIndex {2} ). Mēs pieņemam, ka katra apakšintervāla garumu norāda (Δx ). Vispirms atcerieties, ka trapeces laukumu ar augstumu (h ) un garuma bāzes (b_1 ) un (b_2 ) izsaka ( text {Area} = frac {1} { 2} h (b_1 + b_2) ). Mēs redzam, ka pirmajai trapecei ir augstums (Δx ) un paralēlas garuma bāzes (f (x_0) ) un (f (x_1) ). Tādējādi pirmās trapeces laukums attēlā ( PageIndex {2} ) ir

[ frac {1} {2} Δx Big (f (x_0) + f (x_1) Big). nonumber ]

Atlikušo trīs trapecveida laukumi ir

( dfrac {1} {2} Δx Big (f (x_1) + f (x_2) Big), , dfrac {1} {2} Δx Big (f (x_2) + f (x_3) Big], ) un ( dfrac {1} {2} Δx Big (f (x_3) + f (x_4) Big). )

Sekojoši,

[∫ ^ b_af (x) , dx≈ frac {1} {2} Δx Big (f (x_0) + f (x_1) Big) + frac {1} {2} Δx Big (f (x_1) + f (x_2) Big) + frac {1} {2} Δx Big (f (x_2) + f (x_3) Big) + frac {1} {2} Δx Big (f (x_3) + f (x_4) liels). skaitlis ]

Pēc kopēja koeficienta ( frac {1} {2} Δx ) izņemšanas un līdzīgu terminu apvienošanas mēs esam

[∫ ^ b_af (x) , dx≈ frac {Δx} {2} Big [f (x_0) +2 , f (x_1) +2 , f (x_2) +2 , f (x_3 ) + f (x_4) Liels]. skaitlis ]

Vispārīgi runājot, mēs oficiāli paziņojam šādu likumu.

Trapecveida noteikums

Pieņemsim, ka (f (x) ) ir nepārtraukta virs ([a, b] ). Ļaujiet (n ) būt pozitīvam skaitlim un (Δx = dfrac {b − a} {n} ). Ļaujiet ([a, b] ) sadalīt (n ) apakšintervālos, katra garuma (Δx ), ar galapunktiem (P = {x_0, x_1, x_2…, x_n }. )

Iestatiet

[T_n = frac {Δx} {2} Liels [f (x_0) +2 , f (x_1) +2 , f (x_2) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) Liels]. ]

Pēc tam, ( displaystyle lim_ {n → + ∞} T_n = ∫ ^ b_af (x) , dx. )

Pirms turpināt, izdarīsim dažus novērojumus par trapecveida likumu. Pirmkārt, ir lietderīgi to atzīmēt

(T_n = dfrac {1} {2} (L_n + R_n) ) kur ( displaystyle L_n = summa_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx ) un ( displeja stils R_n = sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx. )

Tas ir, (L_n ) un (R_n ) tuvina integrāli, izmantojot attiecīgi katra apakšintervāla kreisās un labās puses galapunktus. Turklāt, rūpīgi pārbaudot attēlu ( PageIndex {3} ), mēs varam izdarīt šādus novērojumus par trapecveida un viduspunkta likumu izmantošanu, lai novērtētu nenegatīvās funkcijas noteikto integrālu. Trapecveida kārtulai ir tendence sistemātiski pārvērtēt noteikta integrāla vērtību intervālos, kur funkcija ir ieliekta uz augšu, un nenovērtēt noteiktā integrāla vērtību sistemātiski intervālos, kur funkcija ir ieliekta uz leju. No otras puses, viduspunkta noteikumam ir tendence nedaudz novirzīt šīs kļūdas, daļēji pārvērtējot un daļēji nenovērtējot noteiktā integrāla vērtību šajos pašos intervālu veidos. Tas liek mums izvirzīt hipotēzi, ka kopumā viduspunkta noteikumam ir tendence būt precīzākam par trapecveida likumu.

Piemērs ( PageIndex {3} ): izmantojot trapecveida kārtulu

Izmantojiet trapecveida likumu, lai novērtētu ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx ), izmantojot četrus apakšintervālus.

Risinājums

Apakšintervālu galapunkti sastāv no kopas (P = left {0, frac {1} {4}, , frac {1} {2}, , frac {3} {4 }, 1 pa labi } ) un (Δx = frac {1−0} {4} = frac {1} {4}. ) Tādējādi

[ begin {align *} ∫ ^ 1_0x ^ 2dx & ≈ frac {1} {2} ⋅ frac {1} {4} Big [f (0) +2 , f left ( tfrac { 1} {4} right) +2 , f left ( tfrac {1} {2} right) +2 , f left ( tfrac {3} {4} right) + f (1 ) Liels] [4pt]
& = tfrac {1} {8} big (0 + 2⋅ tfrac {1} {16} + 2⋅ tfrac {1} {4} + 2⋅ tfrac {9} {16} +1 liels) [4pt] & = frac {11} {32} = 0.34375 end {izlīdzināt *} ]

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Izmantojiet trapecveida kārtulu ar (n = 2 ), lai novērtētu ( displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {1} {x} , dx. )

Padoms

Komplekts (Δx = dfrac {1} {2}. ) Apakšstarpu galapunkti ir kopas (P = left {1, frac {3} {2}, 2 right elementi. }. )

Atbilde

( dfrac {17} {24} aptuveni 0,708333 )

Absolūta un relatīva kļūda

Svarīgs šo skaitlisko tuvināšanas noteikumu izmantošanas aspekts ir kļūdas aprēķināšana, izmantojot tos noteikta integrāla vērtības novērtēšanai. Vispirms mums jādefinē absolūtā kļūda un relatīvā kļūda.

Definīcija: absolūtā un relatīvā kļūda

Ja (B ) ir mūsu aprēķins par kādu daudzumu, kura faktiskā vērtība ir (A ), tad absolūta kļūda dod (| A − B | ).

The relatīvā kļūda ir kļūda procentos no faktiskās vērtības, un to izsaka [ left lvert frac {A − B} {A} right rvert⋅100 \%. ]

Piemērs ( PageIndex {4} ): Aprēķinot kļūdu viduspunkta kārtulā

Aprēķiniet absolūto un relatīvo kļūdu ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx ) tāmē, izmantojot viduspunkta kārtulu, kas atrodama piemērā ( PageIndex {1} ).

Risinājums: Aprēķinātā vērtība ir ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx = frac {1} {3} ), un mūsu aprēķins no piemēra ir (M_4 = frac {21} {64} ) . Tādējādi absolūto kļūdu sniedz ( left lvert frac {1} {3} - frac {21} {64} right rvert = frac {1} {192} .000.0052. )

Relatīvā kļūda ir [ frac {1/192} {1/3} = frac {1} {64} ≈0.015625≈1.6 \%. Nonumber ]

Piemērs ( PageIndex {5} ): kļūdas aprēķināšana trapecveida kārtulā

Aprēķiniet absolūto un relatīvo kļūdu ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx ) tāmē, izmantojot trapecveida kārtulu, kas atrodama piemērā ( PageIndex {3} ).

Risinājums: Aprēķinātā vērtība ir ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx = frac {1} {3} ), un mūsu aprēķins no piemēra ir (T_4 = frac {11} {32} ) . Tādējādi absolūto kļūdu sniedz ( left lvert frac {1} {3} - frac {11} {32} right rvert = frac {1} {96} ≈0.0104. )

Relatīvo kļūdu izsaka [ frac {1/96} {1/3} = 0.03125≈3.1 \%. Nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Iepriekšējā kontrolpunktā mēs aprēķinājām, ka ( displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {1} {x} , dx ) ir ( frac {24} {35} ), izmantojot (M_2 ). Šī integrāļa faktiskā vērtība ir ( ln 2 ). Izmantojot ( frac {24} {35} .60.6857 ) un ( ln 2≈0.6931, ), aprēķiniet absolūto kļūdu un relatīvo kļūdu.

Padoms

Izmantojiet iepriekšējos piemērus kā ceļvedi.

Atbilde

absolūtā kļūda ( aptuveni 0,0074, ) un relatīvā kļūda ( aptuveni 1,1 \% )

Kļūdu robežas viduspunktā un trapecveida noteikumos

Divos iepriekšējos piemēros mēs varējām salīdzināt mūsu integrāļa novērtējumu ar integrāla faktisko vērtību; tomēr mums parasti nav šīs greznības. Kopumā, ja mēs tuvinām integrālu, mēs to darām, jo ​​mēs nevaram viegli aprēķināt integrāla precīzo vērtību. Tāpēc bieži vien ir lietderīgi noteikt kļūdas augšējo robežu integrāla tuvinājumā. Šī teorēma nodrošina kļūdu robežas viduspunkta un trapecveida noteikumiem. Teorēma ir norādīta bez pierādījumiem.

Kļūdu robežas viduspunkta un trapecveida noteikumiem

Ļaujiet (f (x) ) būt nepārtrauktai funkcijai virs ([a, b] ), kam šajā intervālā ir otrs atvasinājums (f '' (x) ). Ja (M ) ir maksimālā (| f '' (x) | ) vērtība virs ([a, b] ), tad kļūdas augšējās robežas, lietojot (M_n ) un (T_n ), lai novērtētu ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) ir

[ text {Kļūda} , M_n≤ frac {M (b − a) ^ 3} {24n ^ 2} label {MidError} ]

un

[ text {Kļūda} , T_n≤ frac {M (b − a) ^ 3} {12n ^ 2} ].

Mēs varam izmantot šīs robežas, lai noteiktu (n ) vērtību, kas nepieciešama, lai garantētu, ka kļūdas aprēķins ir mazāks par norādīto vērtību.

Piemērs ( displaystyle PageIndex {6} ): izmantojamo intervālu skaita noteikšana

Kāda (n ) vērtība jāizmanto, lai garantētu, ka ( displaystyle ∫ ^ 1_0e ^ {x ^ 2} , dx ) tāme ir precīza ar precizitāti (0,01 ), ja izmantojam viduspunkta kārtulu ?

Risinājums

Mēs vispirms nosakām vērtību (M ), maksimālo vērtību (| f '' (x) | ) virs ([0,1] ) (f (x) = e ^ { x ^ 2} ). Tā kā (f ′ (x) = 2xe ^ {x ^ 2}, ) mums ir

[f '' (x) = 2e ^ {x ^ 2} + 4x ^ 2e ^ {x ^ 2}. nonumber ]

Tādējādi

[| f '' (x) | = 2e ^ {x ^ 2} (1 + 2x ^ 2) ≤2⋅e⋅3 = 6e. nonumber ]

No kļūdām saistītā vienādojuma ( ref {MidError} ) mums ir

[ text {Kļūda} , M_n≤ frac {M (b − a) ^ 3} {24n ^ 2} ≤ frac {6e (1−0) ^ 3} {24n ^ 2} = frac {6e} {24n ^ 2}. Nonumber ]

Tagad mēs novēršam šādu nevienlīdzību attiecībā uz (n ):

[ frac {6e} {24n ^ 2} ≤0.01. nonumber ]

Tādējādi (n≥ sqrt { frac {600e} {24}} ≈8.24. ) Tā kā (n ) ir jābūt skaitlim, kas apmierina šo nevienlīdzību, (n = 9 ) izvēle garantētu, ka

[ left lvert ∫ ^ 1_0e ^ {x ^ 2} , dx − M_n right rvert <0.01. nonumber ]

Analīze

Mums varētu būt kārdinājums noapaļot (8,24 ) uz leju un izvēlēties (n = 8 ), taču tas būtu nepareizi, jo mums vesels skaitlis ir lielāks vai vienāds ar (8,24 ). Mums jāpatur prātā, ka kļūdu aprēķini nodrošina kļūdas augšējo robežu. Faktiskais novērtējums faktiski var būt daudz labāks tuvinājums, nekā norāda saistītā kļūda.

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Izmantojiet vienādojumu ( ref {MidError} ), lai atrastu kļūdas augšējo robežu, izmantojot (M_4 ), lai novērtētu ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx. )

Padoms

(f '' (x) = 2, ) tātad (M = 2. )

Atbilde

( dfrac {1} {192} )

Simpsona likums

Izmantojot viduspunkta likumu, mēs novērtējām reģionu apgabalus zem līknēm, izmantojot taisnstūrus. Savā ziņā mēs līkni tuvinājām ar pa daļām nemainīgām funkcijām. Ar trapecveida likumu mēs tuvinājām līkni, izmantojot pa daļām lineāras funkcijas. Ko darīt, ja mēs tā vietā tuvinātu līkni, izmantojot pa daļām kvadrātiskās funkcijas? Ar Simpsona likums, mēs darām tieši to. Intervālu mēs sadalām pāra skaitā apakšintervālu, kuriem katram ir vienāds platums. Pirmajā apakšintervālu pārī mēs aptuveni ( displaystyle ∫ ^ {x_2} _ {x_0} f (x) , dx ) aproksimējam ar ( displaystyle ∫ ^ {x_2} _ {x_0} p (x) , dx ), kur (p (x) = Ax ^ 2 + Bx + C ) ir kvadrāta funkcija, kas iet caur ((x_0, f (x_0)), , (x_1, f (x_1)), ) un ((x_2, f (x_2)) ) (attēls ( PageIndex {4} )). Nākamajā apakšintervālu pārī mēs aptuveni ( displaystyle ∫ ^ {x_4} _ {x_2} f (x) , dx ) tuvinām ar citas kvadrātiskās funkcijas integrālu, kas iet caur (((x_2, f (x_2)), , (x_3, f (x_3)), ) un ((x_4, f (x_4)). ) Šis process tiek turpināts ar katru nākamo apakšintervālu pāri.

Lai saprastu formulu, ko iegūstam Simpsona likumam, vispirms jāsastāda šī tuvinājuma formula pirmajiem diviem apakšintervāliem. Pārdzīvojot atvasinājumu, mums jāpatur prātā šādas attiecības:

[f (x_0) = p (x_0) = Ax_0 ^ 2 + Bx_0 + C ]

[f (x_1) = p (x_1) = Ax_1 ^ 2 + Bx_1 + C ]

[f (x_2) = p (x_2) = Ax_2 ^ 2 + Bx_2 + C ]

(x_2 − x_0 = 2Δx ), kur (Δx ) ir apakšintervāla garums.

(x_2 + x_0 = 2x_1, ) kopš (x_1 = dfrac {(x_2 + x_0)} {2} ).

Tādējādi

[ sākt {izlīdzināt *} ∫ ^ {x_2} _ {x_0} f (x) , dx un ≈∫ ^ {x_2} _ {x_0} p (x) , dx [4pt]
& = ∫ ^ {x_2} _ {x_0} (Ax ^ 2 + Bx + C) , dx [4pt]
& = pa kreisi ( frac {A} {3} x ^ 3 + frac {B} {2} x ^ 2 + Cx right) bigg | ^ {x_2} _ {x_0} & & text {Atrast antivīrusu līdzeklis.} [4pt]
& = frac {A} {3} (x_2 ^ 3 − x_0 ^ 3) + frac {B} {2} (x_2 ^ 2 − x_0 ^ 2) + C (x_2 − x_0) & & teksts {Novērtēt antivīrusu līdzeklis.} [4pt]
& = frac {A} {3} (x_2 − x_0) (x_2 ^ 2 + x_2x_0 + x_0 ^ 2) + frac {B} {2} (x_2 − x_0) (x_2 + x_0) + C (x_2− x_0) [4pt]
& = frac {x_2 − x_0} {6} bigg (2A (x_2 ^ 2 + x_2x_0 + x_0 ^ 2) + 3B (x_2 + x_0) + 6C bigg) & & teksts {Factor out} , frac {x_2 − x_0} {6}. [4pt]
& = frac {Δx} {3} bigg ((Ax_2 ^ 2 + Bx_2 + C) + (Ax_0 ^ 2 + Bx_0 + C) + A (x_2 ^ 2 + 2x_2x_0 + x_0 ^ 2) + 2B (x_2 + x_0) + 4C bigg) & & text {Pārkārtojiet noteikumus. Piezīme:} encpace Δx = frac {x_2 − x_0} {2} [4pt]
& = frac {Δx} {3} big (f (x_2) + f (x_0) + A (x_2 + x_0) ^ 2 + 2B (x_2 + x_0) + 4C big) & & text {Faktors un aizstājējs:} [4pt]
& & & quad f (x_2) = Ax_2 ^ 2 + Bx_2 + C encpace text {un} encpace f (x_0) = Ax_0 ^ 2 + Bx_0 + C. [4pt]
& = frac {Δx} {3} big (f (x_2) + f (x_0) + A (2x_1) ^ 2 + 2B (2x_1) + 4C big) & & text {Aizstājējs} , x_2 + x_0 = 2x_1. [4pt]
& & & quad text {Piezīme:} , x_1 = frac {x_2 + x_0} {2} encpace text {ir viduspunkts.} [4pt]
& = frac {Δx} {3} liels (f (x_2) + 4f (x_1) + f (x_0) liels). & & text {Izvērst un aizstāt} , f (x_1) = Ax_1 ^ 2 + Bx_1 + C. end {izlīdzināt *} ]

Ja mēs aptuveni aprēķinām ( displaystyle ∫ ^ {x_4} _ {x_2} f (x) , dx ), izmantojot to pašu metodi, redzam, ka mums ir

[∫ ^ {x_4} _ {x_2} f (x) , dx≈ frac {Δx} {3} (f (x_4) +4 , f (x_3) + f (x_2)). Nonumber ]

Apvienojot šos divus tuvinājumus, mēs iegūstam

[∫ ^ {x_4} _ {x_0} f (x) , dx≈ frac {Δx} {3} (f (x_0) +4 , f (x_1) +2 , f (x_2) +4 , f (x_3) + f (x_4)). skaitlis ]

Modelis turpinās, kad mēs savam tuvinājumam pievienojam subintervālu pārus. Vispārīgo noteikumu var noteikt šādi.

Simpsona likums

Pieņemsim, ka (f (x) ) ir nepārtraukta virs ([a, b] ). Ļaujiet (n ) būt pozitīvam pāra skaitlim un (Δx = dfrac {b − a} {n} ). Ļaujiet ([a, b] ) sadalīt (n ) apakšintervālos, katrs garumā (Δx ), ar galapunktiem (P = {x_0, x_1, x_2,…, x_n }. ) Iestatiet

[S_n = frac {Δx} {3} Liels [f (x_0) +4 , f (x_1) +2 , f (x_2) +4 , f (x_3) +2 , f (x_4 ) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 2}) + 4 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) Liels]. ]

Tad,

[ lim_ {n → + ∞} S_n = ∫ ^ b_af (x) , dx. nonumber ]

Tāpat kā trapecveida noteikums ir kreisās un labās puses likumu vidējais noteikto integrāļu novērtēšanai, Simpsona likumu var iegūt no viduspunkta un trapecveida noteikumiem, izmantojot vidējo svērto vērtību. Var parādīt, ka (S_ {2n} = left ( frac {2} {3} right) M_n + left ( frac {1} {3} right) T_n ).

Izmantojot Simpsona likumu, lai tuvinātu noteiktu integrālu, ir iespējams arī noteikt kļūdas robežu. Saistīto kļūdu izsaka šāds noteikums:

Kārtula: Simpsona likumam ir saistoša kļūda

Ļaujiet (f (x) ) būt nepārtrauktai funkcijai virs ([a, b] ), kam šajā intervālā ir ceturtais atvasinājums (f ^ {(4)} (x) ). Ja (M ) ir maksimālā vērtība (∣f ^ {(4)} (x) maximum ) virs ([a, b] ), tad kļūdas augšējā robeža, lietojot (S_n ), lai novērtētu ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ), dod

[ text {Kļūda} , S_n≤ frac {M (b − a) ^ 5} {180n ^ 4}. ]

Piemērs ( displaystyle PageIndex {7} ): Simpsona 1. noteikuma piemērošana

Izmantojiet (S_2 ), lai tuvinātu ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 3 , dx ). Novērtējiet kļūdas ierobežojumu (S_2 ).

Risinājums

Tā kā ([0,1] ) ir sadalīts divos intervālos, katram apakšintervālim ir garums (Δx = frac {1−0} {2} = frac {1} {2} ). Šo apakšintervālu galapunkti ir ( left {0, frac {1} {2}, 1 right } ). Ja mēs iestatīsim (f (x) = x ^ 3, ), tad

[S_2 = frac {1} {3} ⋅ frac {1} {2} (f (0) +4 , f ( frac {1} {2}) + f (1)) = frac {1} {6} (0 + 4⋅ frac {1} {8} +1) = frac {1} {4}. Nonumber ]

Tā kā (f ^ {(4)} (x) = 0 ) un līdz ar to (M = 0, ), mēs redzam, ka

Kļūda (S_2≤ frac {0 (1) ^ 5} {180⋅2 ^ 4} = 0. )

Šis ierobežojums norāda, ka vērtība, kas iegūta, izmantojot Simpsona likumu, ir precīza. Ātra pārbaude pārbaudīs, vai faktiski ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 3 , dx = frac {1} {4}. )

Piemērs ( displaystyle PageIndex {8} ): Simpsona 2. noteikuma piemērošana

Izmantojiet (S_6 ), lai aprēķinātu līknes garumu (y = frac {1} {2} x ^ 2 ) virs ([1,4]. )

Risinājums

(Y = frac {1} {2} x ^ 2 ) garums virs ([1,4] ) ir ( displaystyle ∫ ^ 4_1 sqrt {1 + x ^ 2} , dx ). Ja mēs dalām ([1,4] ) sešos apakšintervālos, tad katram apakšintervālam ir garums (Δx = frac {4−1} {6} = frac {1} {2} ) un galapunkti no apakšintervāliem ir ( left {1, frac {3} {2}, 2, frac {5} {2}, 3, frac {7} {2}, 4 right }. ) Iestatījums (f (x) = sqrt {1 + x ^ 2} ),

[S_6 = frac {1} {3} ⋅ frac {1} {2} (f (1) + 4f ( frac {3} {2}) + 2f (2) + 4f ( frac {5 } {2}) + 2f (3) + 4f ( frac {7} {2}) + f (4)). Nonumber ]

Pēc aizstāšanas mums ir

[S_6 = frac {1} {6} (1.4142 + 4⋅1.80278 + 2⋅2.23607 + 4⋅2.69258 + 2⋅3.16228 + 4⋅3.64005 + 4.12311) ≈8.14594 , text {unit}. ]

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Izmantojiet (S_2 ), lai novērtētu ( displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {1} {x} , dx. )

Padoms

[S_2 = frac {1} {3} Δx pa kreisi (f (x_0) + 4f (x_1) + f (x_2) pa labi) ]

Atbilde

( frac {25} {36} aptuveni 0,694444 )


Galvenie jēdzieni

  • Mēs varam izmantot skaitlisko integrāciju, lai novērtētu noteiktu integrālu vērtības, kad ir grūti atrast integraļa slēgtu formu vai ja nepieciešama tikai aptuvenā noteiktā integrāla vērtība.
  • Visbiežāk izmantotās skaitliskās integrācijas metodes ir viduspunkta noteikums, trapecveida likums un Simpsona likums.
  • Viduspunkta noteikums tuvina noteikto integrālu, izmantojot taisnstūrveida reģionus, savukārt trapecveida noteikums aptuveno noteikto integrālu, izmantojot trapecveida aproksimācijas.
  • Simpsona likums tuvina noteikto integrālu, vispirms tuvinot sākotnējo funkciju, izmantojot pa daļām kvadrātiskās funkcijas.

Galvenie vienādojumi

  • Viduspunkta noteikums

( displaystyle M_n = summa ^ n_ {i = 1} f (m_i) Δx )

  • Trapecveida noteikums

(T_n = frac {Δx} {2} Liels [f (x_0) +2 , f (x_1) +2 , f (x_2) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) Liels] )

  • Simpsona likums

(S_n = frac {Δx} {3} Liels [f (x_0) +4 , f (x_1) +2 , f (x_2) +4 , f (x_3) +2 , f (x_4 ) +4 , f (x_5) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 2}) + 4 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) Liels] )

  • Kļūda saistīta ar viduspunkta kārtulu

Kļūda (M_n≤ dfrac {M (b − a) ^ 3} {24n ^ 2} ), kur (M ) ir maksimālā (| f '' (x) | ) vērtība ([a, b] ).

  • Kļūda saistībā ar trapecveida likumu

Kļūda (T_n≤ dfrac {M (b − a) ^ 3} {12n ^ 2} ), kur (M ) ir maksimālā (| f '' (x) | ) vērtība ([a, b] ).

  • Kļūda saistīta ar Simpsona kārtulu

Kļūda (S_n≤ dfrac {M (b − a) ^ 5} {180n ^ 4} ), kur (M ) ir maksimālā (∣f ^ {(4)} (x) vērtība ∣ ) virs ([a, b] ).


Vārdnīca

absolūta kļūda
ja (B ) ir kāda daudzuma novērtējums, kura faktiskā vērtība ir (A ), tad absolūto kļūdu izsaka (| A – B | )
viduspunkta noteikums
kārtula, kas izmanto Riemana formas formu ( displaystyle M_n = summa ^ n_ {i = 1} f (m_i) Δx ), kur (m_i ) ir (i ^ { teksts {th}} ) subintervāls līdz aptuvenam ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx )
skaitliskā integrācija
skaitlisko metožu dažādība, ko izmanto noteikta integrāla vērtības novērtēšanai, ieskaitot viduspunkta likumu, trapecveida likumu un Simpsona likumu
relatīvā kļūda
kļūda procentos no faktiskās vērtības, ko sniedz [ text {relatīvā kļūda} = pa kreisi | frac {A − B} {A} pa labi | ⋅100 \% nonumber ]
Simpsona likums
noteikums, kas tuvina ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ), izmantojot apgabalu pa gabalu kvadrātveida funkcijai.
Tuvinājumu (S_n ) uz ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) izsaka ar [S_n = frac {Δx} {3} big (f (x_0) +4 , f (x_1) +2 , f (x_2) +4 , f (x_3) +2 , f (x_4) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 2}) + 4 , f (x_ { n − 1}) + f (x_n) liels). skaitlis ]
trapecveida likums
noteikums, kas tuvina ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ), izmantojot trapecveida laukumu.
Tuvinājumu (T_n ) uz ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) izsaka ar [T_n = frac {Δx} {2} big (f (x_0) +2 , f (x_1) +2 , f (x_2) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) liels). skaitlis ]

Atbalstītāji un attiecinājumi

  • Gilberts Strangs (MIT) un Edvīns “Džeds” Hermans (Hārvijs Muds) ar daudziem līdzautoriem. Šis OpenStax saturs ir licencēts ar CC-BY-SA-NC 4.0 licenci. Lejupielādējiet bez maksas vietnē http://cnx.org.

  • Rediģēja Pols Zēburgers (Monroe Community College). Piezīmes, kas pievienotas oriģinālajā tekstā fiksēto parabola un drukas kļūdu apgabala attīstībai


Skatīties video: Įdomioji pamoka. Matematika (Decembris 2021).