Raksti

5.2. Eksponenciālās funkcijas - matemātika


Mācību mērķi

  • Novērtējiet eksponenciālās funkcijas.
  • Atrodiet eksponenciālās funkcijas vienādojumu.
  • Izmantojiet saliktās procentu formulas.
  • Novērtējiet eksponenciālās funkcijas ar bāzes (e ).

Indija ir otra apdzīvotākā valsts pasaulē ar aptuveni (1,25 ) miljardu cilvēku 2013. gadā. Iedzīvotāju skaits katru gadu pieaug aptuveni (.2 \% ). Ja šis rādītājs turpināsies, Indijas iedzīvotāju skaits līdz 2031. gadam pārsniegs Ķīnas iedzīvotāju skaitu. Kad populācija strauji pieaug, mēs bieži sakām, ka izaugsme ir "eksponenciāla", kas nozīmē, ka kaut kas ļoti strauji pieaug. Matemātiķim tomēr šis termins eksponenciāla izaugsme ir ļoti specifiska nozīme. Šajā sadaļā mēs to apskatīsim eksponenciālās funkcijas, kas modelē šāda veida straujo izaugsmi.

Eksponenciālo funkciju noteikšana

Izpētot lineāro izaugsmi, mēs novērojām nemainīgu izmaiņu ātrumu - nemainīgu skaitli, par kuru produkcija palielinājās katram ievades vienības pieaugumam. Piemēram, vienādojumā (f (x) = 3x + 4 ) slīpums norāda, ka izeja palielinās par (3 ) katru reizi, kad ievade palielinās par (1 ). Indijas iedzīvotāju piemērā scenārijs ir atšķirīgs, jo mums ir procenti laika vienības izmaiņas (nevis pastāvīgas izmaiņas) cilvēku skaitā.

Eksponenciālās funkcijas noteikšana

Pētījumā konstatēts, ka no 2009. līdz 2011. gadam ASV vegānu procentuālais daudzums ir divkāršojies. 2011. gadā (2,5 \% ) iedzīvotāju bija vegāni, ievērojot diētu, kurā nav dzīvnieku izcelsmes produktu. nav gaļas, mājputnu, zivju, piena vai olu. Ja šis rādītājs turpināsies, vegāni 2015. gadā sastādīs (10 ​​\% ) no ASV iedzīvotājiem, 2019. gadā (40 \% ) un 2050. gadā (80 \% ).

Ko tas īsti nozīmē augt eksponenciāli? Ko dara vārds dubultā ir kopīgs ar procentuālais pieaugums? Cilvēki kļūdaini mētājas ar šiem vārdiem. Vai šie vārdi tiek lietoti pareizi? Vārdi noteikti bieži parādās plašsaziņas līdzekļos.

  • Procentuālās izmaiņas attiecas uz a mainīt pamatojoties uz a procenti no sākotnējās summas.
  • Eksponenciāla izaugsme attiecas uz palielināt pamatojoties uz nemainīgu multiplikatīvo izmaiņu ātrumu vienādos laika intervālos, tas ir, a procenti sākotnējā apjoma palielināšanās laika gaitā.
  • Eksponenciāla sabrukšana attiecas uz a samazināt pamatojoties uz nemainīgu multiplikatīvo izmaiņu ātrumu vienādos laika intervālos, tas ir, a procenti sākotnējā apjoma samazināšanās laika gaitā.

Lai mēs gūtu skaidru izpratni par eksponenciāla izaugsme, salīdzināsim ar eksponenciālo izaugsmi lineāra izaugsme. Mēs izveidosim divas funkcijas. Pirmā funkcija ir eksponenciāla. Mēs sāksim ar ievadi (0 ) un katru ievadi palielināsim par (1 ). Mēs dubultosim atbilstošos secīgos rezultātus. Otrā funkcija ir lineāra. Mēs pievienosim (2 ) attiecīgajiem secīgajiem rezultātiem (tabula ( PageIndex {1} )).

No tabulas ( PageIndex {1} ) mēs varam secināt, ka šīm divām funkcijām eksponenciālā izaugsme pundurē lineāro izaugsmi.

  • Eksponenciāla izaugsme attiecas uz sākotnējo vērtību no diapazona pieauguma par tāds pats procents vairāk nekā vienādi pieaugumi, kas atrasti domēnā.
  • Lineāra izaugsme attiecas uz sākotnējo vērtību no diapazona pieauguma par tāda pati summa vairāk nekā vienādi pieaugumi, kas atrasti domēnā.
Tabula ( PageIndex {1} )
(x ) (f (x) = 2 ^ x ) (g (x) = 2x )
010
122
244
386
4168
53210
66412

Acīmredzot atšķirība starp “vienādu procentuālo daudzumu” un “tādu pašu summu” ir diezgan būtiska. Eksponenciālai izaugsmei ar vienādiem pieaugumiem nemainīgā reizināšanas ātruma rezultātā produkcija tika divkāršota, ja vien ieeja palielinājās par vienu. Lineārai izaugsmei nemainīgais pievienotās izmaiņas ātrums ar vienādiem pieaugumiem rezultātam pievienoja (2 ) ikreiz, kad ievade tika palielināta par vienu.

Programmas vispārīgā forma eksponenciālā funkcija ir (f (x) = ab ^ x ), kur (a ) ir jebkurš skaitlis, kas nav nulle, (b ) ir pozitīvs reālais skaitlis, kas nav vienāds ar (1 ).

  • Ja (b> 1 ), funkcija aug proporcionāli tās lielumam.
  • Ja (0

Apskatīsim funkciju (f (x) = 2 ^ x ) no sava piemēra. Mēs izveidosim tabulu (Table ( PageIndex {2} )), lai noteiktu atbilstošās izejas domēna intervālā no (- 3 ) līdz (3 ).

Tabula ( PageIndex {2} )
(x )(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)

(f (x) = 2 ^ x )

(2 ^ {- 3} = dfrac {1} {8} )

(2 ^ {- 2} = dfrac {1} {4} )

(2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} )

(2^0=1)

(2^1=2)

(2^2=4)

(2^3=8)

Pārbaudīsim (f ) grafiku, uzzīmējot sakārtotos pārus no tabulas ( PageIndex {2} ), un pēc tam veicam dažus novērojumus ( PageIndex {1} ).

Definēsim eksponenciālās funkcijas (f (x) = 2 ^ x ) grafika uzvedību un izcelsim dažus tās galvenos raksturlielumus.

  • domēns ir ((- infty, infty) ),
  • diapazons ir ((0, infty) ),
  • kā (x rightarrow infty ), (f (x) rightarrow infty ),
  • kā (x rightarrow - infty ), (f (x) rightarrow 0 ),
  • (f (x) ) vienmēr palielinās,
  • (f (x) ) grafiks nekad nepieskaras x- asis, jo otrajam pamatam, kas tiek pacelts uz jebkuru eksponentu, nekad nav nulles rezultāta.
  • (y = 0 ) ir horizontālā asimptote.
  • y-intercepts ir (1 ).

Definīcija: eksponenciālās funkcijas

Jebkuram reālam skaitlim (x ) eksponenciālā funkcija ir funkcija ar formu

[f (x) = ab ^ x ]

kur

  • (a ) ir reāls skaitlis, kas nav nulle un ko sauc par sākotnējo vērtību un
  • (b ) ir jebkurš pozitīvs reālais skaitlis, kas (b ≠ 1 ).
  • (F ) domēns ir visi reālie skaitļi.
  • (F ) diapazons ir visi pozitīvie reālie skaitļi, ja (a> 0 ).
  • (F ) diapazons ir visi negatīvie reālie skaitļi, ja (a <0 ).
  • The y-intercept ir ((0, a) ), un horizontālā asimptote ir (y = 0 ).

Piemērs ( PageIndex {1} ): eksponenciālu funkciju noteikšana

Kurš no šiem vienādojumiem ir eksponenciālās funkcijas?

  • (f (x) = 4 ^ {3 (x − 2)} )
  • (g (x) = x ^ 3 )
  • (h (x) = pa kreisi ( dfrac {1} {3} pa labi) ^ x )
  • (j (x) = (- 2) ^ x )

Risinājums

Pēc definīcijas eksponenciālai funkcijai ir konstante kā bāzei un neatkarīgam mainīgajam kā eksponentam. Tādējādi (g (x) = x ^ 3 ) neatspoguļo eksponenciālu funkciju, jo bāze ir neatkarīgs mainīgais. Patiesībā (g (x) = x ^ 3 ) ir jaudas funkcija.

Atgādinām, ka eksponenciālās funkcijas bāze (b ) vienmēr ir pozitīva konstante un (b ≠ 1 ). Tādējādi (j (x) = {(- 2)} ^ x ) neatspoguļo eksponenciālu funkciju, jo bāze (- 2 ) ir mazāka par (0 ).

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Kurš no šiem vienādojumiem pārstāv eksponenciālās funkcijas?

  • (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 )
  • (g (x) = {0.875} ^ x )
  • (h (x) = 1,75x + 2 )
  • (j (x) = {1095.6} ^ {- 2x} )
Atbilde

(g (x) = {0.875} ^ x ) un (j (x) = {1095.6} ^ {- 2x} ) apzīmē eksponenciālās funkcijas.

Eksponenciālo funkciju novērtēšana

Atgādinām, ka eksponenciālās funkcijas bāzei jābūt pozitīvam reālam skaitlim, kas nav (1 ). Kāpēc mēs ierobežojam bb bāzi tikai ar pozitīvām vērtībām? Lai nodrošinātu, ka rezultāti būs reāli skaitļi. Novērojiet, kas notiek, ja bāze nav pozitīva:

  • Ļaujiet (b = −9 ) un (x = dfrac {1} {2} ). Tad (f (x) = f pa kreisi ( dfrac {1} {2} right) = {(- 9)} ^ { dfrac {1} {2}} = sqrt {−9} ) , kas nav reāls skaitlis.

Kāpēc mēs ierobežojam bāzi ar pozitīvām vērtībām, kas nav (1 )? Tā kā bāzes (1 ) rezultāts ir nemainīga funkcija. Ievērojiet, kas notiek, ja bāze ir (1 ):

  • Ļaujiet (b = 1 ). Tad (f (x) = 1 ^ x = 1 ) jebkurai (x ) vērtībai.

Lai novērtētu eksponenciālo funkciju ar formu (f (x) = b ^ x ), mēs vienkārši aizstājam (x ) ar norādīto vērtību un aprēķinām iegūto jaudu. Piemēram:

Ļaujiet (f (x) = 2 ^ x ). Kas ir (f (3) )?

[ begin {align *} f (x) & = 2 ^ x f (3) & = 2 ^ 3 qquad text {Aizstājējs} x = 3 & = 8 qquad text {Novērtējiet jauda} end {izlīdzināt *} ]

Lai novērtētu eksponenciālu funkciju ar formu, kas nav pamatforma, ir svarīgi ievērot darbību secību. Piemēram:

Ļaujiet (f (x) = 30 {(2)} ^ x ). Kas ir (f (3) )?

[ begin {izlīdzināt *} f (x) & = 30 {(2)} ^ x f (3) & = 30 {(2)} ^ 3 qquad text {Aizstājējs} x = 3 & = 30 (8) qquad text {Vispirms vienkāršojiet jaudu} & = 240 qquad text {Reizināt} beigu {izlīdzināt *} ]

Ņemiet vērā, ka, ja netiks ievērota darbību kārtība, rezultāts būs nepareizs:

[f (3) = 30 {(2)} ^ 3 ≠ {60} ^ 3 = 216 000 skaitlis ]

Piemērs ( PageIndex {2} ): Eksponenciālu funkciju novērtēšana

Ļaujiet (f (x) = 5 {(3)} ^ {x + 1} ). Novērtējiet (f (2) ), neizmantojot kalkulatoru.

Risinājums

Ievērojiet darbību secību. Noteikti pievērsiet uzmanību iekavām.

[ begin {align *} f (x) & = 5 {(3)} ^ {x + 1} f (2) & = 5 {(3)} ^ {2 + 1} qquad text {Aizstāt} x = 2 & = 5 {(3)} ^ 3 qquad text {Pievienojiet eksponentus} & = 5 (27) qquad text {Vienkāršojiet jaudu} & = 135 qquad text {Reizināt} beigas {izlīdzināt *} ]

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Ļaujiet (f (x) = 8 {(1.2)} ^ {x − 5} ). Novērtējiet (f (3) ), izmantojot kalkulatoru. Noapaļo līdz četrām zīmēm aiz komata.

Atbilde

(5.5556)

Eksponenciālās izaugsmes definēšana

Tā kā eksponenciālu funkciju izlaide pieaug ļoti strauji, ikdienas valodā bieži lieto terminu “eksponenciālā izaugsme”, lai aprakstītu visu, kas strauji pieaug vai pieaug. Tomēr eksponenciālu izaugsmi var precīzāk definēt matemātiskā nozīmē. Ja pieauguma temps ir proporcionāls esošajam daudzumam, funkcija modelē eksponenciālo izaugsmi.

Definīcija: eksponenciāla izaugsme

Funkcija, kas modelē eksponenciālo izaugsmi, pieaug par ātrumu, kas proporcionāls esošajam daudzumam. Jebkuram reālam skaitlim (x ) un visiem pozitīvajiem reālajiem skaitļiem (a ) un (b ), tādiem, ka (b ≠ 1 ), eksponenciālās izaugsmes funkcijai ir forma

[f (x) = ab ^ x ]

kur

  • (a ) ir funkcijas sākotnējā vai sākuma vērtība.
  • (b ) ir pieauguma faktors vai pieauguma reizinātājs vienībā (x ).

Vispārīgāk runājot, mums ir eksponenciālā funkcija, kurā nemainīga bāze tiek paaugstināta līdz mainīgam eksponentam. Lai nošķirtu lineāras un eksponenciālas funkcijas, ņemsim vērā divus uzņēmumus A un B. Uzņēmumam A ir (100 ) veikali un paplašinās, gadā atverot (50 ) jaunus veikalus, tāpēc tā pieaugumu var attēlot ar funkciju (A (x) = 100 + 50x ). Uzņēmumam B ir (100 ) veikali un tas paplašinās, katru gadu palielinot veikalu skaitu par (50 \% ), tāpēc tā pieaugumu var attēlot ar funkciju (B (x) = 100 {(1 + 0,5) )} ^ x ).

Dažu gadu izaugsme šiem uzņēmumiem ir parādīta tabulā ( PageIndex {3} ).

Tabula ( PageIndex {3} )
Gads, (x )Veikali, uzņēmums AVeikali, uzņēmums B
(0)(100+50(0)=100)(100{(1+0.5)}^0=100)
(1)(100+50(1)=150)(100{(1+0.5)}^1=150)
(2)(100+50(2)=200)(100{(1+0.5)}^2=225)
(3)(100+50(3)=250)(100{(1+0.5)}^3=337.5)
(x ) (A (x) = 100 + 50x ) (B (x) = 100 {(1 + 0,5)} ^ x )

Grafiki, kas salīdzina veikalu skaitu katram uzņēmumam piecu gadu periodā, parādīti attēlā ( PageIndex {2} ). Mēs varam redzēt, ka, pieaugot eksponenciālai, veikalu skaits palielinās daudz straujāk nekā ar lineāru pieaugumu.

Ievērojiet, ka abu funkciju domēns ir ([0, infty) ), un abu funkciju diapazons ir ([100, infty) ). Pēc 1. gada uzņēmumam B vienmēr ir vairāk veikalu nekā uzņēmumam A.

Tagad mēs pievērsīsim uzmanību funkcijai, kas apzīmē uzņēmuma (B ) veikalu skaitu, (B (x) = 100 {(1 + 0,5)} ^ x ). Šajā eksponenciālajā funkcijā (100 ) apzīmē sākotnējo veikalu skaitu, (0,50 ) apzīmē pieauguma ātrumu un (1 + 0,5 = 1,5 ) apzīmē pieauguma faktoru. Tālāk vispārinot, mēs varam ierakstīt šo funkciju kā (B (x) = 100 {(1.5)} ^ x ), kur (100 ) ir sākotnējā vērtība, (1,5 ) sauc par bāze, un (x ) sauc par eksponents.

Piemērs ( PageIndex {3} ): reālās pasaules eksponenciālā modeļa novērtēšana

Šīs sadaļas sākumā mēs uzzinājām, ka Indijas iedzīvotāju skaits 2013. gadā bija aptuveni (1,25 ) miljardi ar gada pieauguma tempu aptuveni (1,2 \% ). Šo situāciju attēlo izaugsmes funkcija (P (t) = 1,25 {(1,012)} ^ t ), kur (t ) ir gadu skaits kopš 2013. gada. Ar tuvāko tūkstošdaļu Indija būtu 2031. gadā?

Risinājums

Lai novērtētu iedzīvotāju skaitu 2031. gadā, mēs novērtējam modeļus (t = 18 ), jo 2031. gads ir (18 ) gadus pēc 2013. gada. Noapaļošana līdz tuvākajai tūkstošdaļai,

[P (18) = 1,25 {(1,012)} ^ {18} ≈1,549 nonumber ]

2031. gadā Indijā būs aptuveni (1,549 ) miljardi cilvēku.

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Ķīnas iedzīvotāju skaits 2013. gadā bija aptuveni (1,39 ) miljardi, gada pieauguma temps bija aptuveni (0,6 \% ). Šo situāciju attēlo izaugsmes funkcija (P (t) = 1,39 {(1,006)} ^ t ), kur (t ) ir gadu skaits kopš 2013. gada. Kāda būs tuvākā tūkstošdaļa Ķīna ir par 2031. gadu? Kā tas tiek salīdzināts ar populācijas prognozi, ko mēs izdarījām Indijai piemērā ( PageIndex {3} )?

Atbilde

Aptuveni (1,548 ) miljardi cilvēku; līdz 2031. gadam Indijas iedzīvotāju skaits pārsniegs Ķīnas iedzīvotāju skaitu par aptuveni (0,001 ) miljardiem jeb (1 ) miljoniem cilvēku.

Eksponenciālo funkciju vienādojumu atrašana

Iepriekšējos piemēros mums tika dota eksponenciālā funkcija, kuru pēc tam mēs novērtējām dotajam ievadam. Dažreiz mums tiek sniegta informācija par eksponenciālu funkciju, skaidri nezinot funkciju. Mums jāizmanto informācija, lai vispirms uzrakstītu funkcijas formu, pēc tam noteiktu konstantes (a, a ) un (b, b ) un novērtētu funkciju.

Kā: ņemot vērā divus datu punktus, uzrakstiet eksponenciālu modeli

  1. Ja vienam no datu punktiem ir forma ((0, a) ), tad (a ) ir sākotnējā vērtība. Izmantojot (a ), aizstājiet otro punktu vienādojumā (f (x) = a {(b)} ^ x ) un atrisiniet parametru (b ).
  2. Ja nevienam no datu punktiem nav formas ((0, a) ), aizstājiet abus punktus divos vienādojumos ar formu (f (x) = a {(b)} ^ x ). Atrodiet iegūto divu vienādojumu sistēmu divos nezināmos, lai atrastu (a ) un (b ).
  3. Izmantojot iepriekšējās darbībās atrastos (a ) un (b ), uzrakstiet eksponenciālo funkciju formā (f (x) = a {(b)} ^ x ).

Piemērs ( PageIndex {4} ): eksponenciālā modeļa rakstīšana, kad ir zināma sākotnējā vērtība

2006. gadā savvaļas dzīvnieku patvērumā tika ievesti brieži (80). Līdz 2012. gadam iedzīvotāju skaits bija pieaudzis līdz (180 ) briežiem. Iedzīvotāju skaits strauji pieauga. Uzrakstiet algebrisko funkciju (N (t) ), kas reprezentē briežu populāciju ((N) ) laika gaitā (t ).

Risinājums

Mēs ļaujam savam neatkarīgajam mainīgajam (t ) būt gadu skaitam pēc 2006. gada. Tādējādi uzdevumā sniegto informāciju var ierakstīt kā izejas un izvades pārus: (0, 80) un (6, 180). Ievērojiet, ka, izvēloties ievades mainīgo, kas jāmēra kā gadi pēc 2006. gada, mēs esam sev piešķīruši funkcijas sākotnējo vērtību (a = 80 ). Tagad mēs varam aizstāt otro punktu vienādojumā (N (t) = 80b ^ t ), lai atrastu (b ):

[ begin {align *} N (t) & = 80b ^ t 180 & = 80b ^ 6 qquad text {Aizstājiet, izmantojot punktu} (6, 180) dfrac {9} {4} & = b ^ 6 qquad text {Sadaliet un rakstiet zemākajā izteiksmē} b & = { pa kreisi ( dfrac {9} {4} right)} ^ { tfrac {1} {6}} qquad text {Izolējiet b, izmantojot eksponentu īpašības} b & apm. 1.1447 qquad text {Noapaļot līdz 4 zīmēm aiz komata} end {izlīdzināt *} ]

Ja vien nav norādīts citādi, neveidojiet starpposma aprēķinus. Tad noapaļojiet galīgo atbildi līdz četrām vietām atlikušajā šīs sadaļas daļā.

Briežu populācijas eksponenciālais modelis ir (N (t) = 80 {(1.1447)} ^ t ). (Ņemiet vērā, ka šī eksponenciālā funkcija modelē īstermiņa izaugsmi. Kad izejmateriāli kļūst lieli, izlaide kļūs arvien lielāka, tāpēc modelis var nebūt noderīgs ilgtermiņā.)

Mēs varam uzzīmēt savu modeli, lai novērotu briežu populācijas pieaugumu patvērumā laika gaitā. Ievērojiet, ka diagrammas attēlā ( PageIndex {3} ) iet cauri uzdevumā dotajiem sākotnējiem punktiem ((0, 80) ) un ((6, 180) ). Mēs varam arī redzēt, ka funkcijas domēns ir ([0, infty) ), un funkcijas diapazons ir ([80, infty) ).

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Vilku populācija pieaug eksponenciāli. 2011. gadā tika saskaitīti (129 ) vilki. Līdz 2013. gadam populācija bija sasniegusi (236 ) vilkus. Kādus divus punktus var izmantot, lai atvasinātu eksponenciālo vienādojumu, kas modelē šo situāciju? Uzrakstiet vienādojumu, kas atspoguļo vilku populāciju (N ) laika gaitā (t ).

Atbilde

((0,129) ) un ((2236) ); (N (t) = 129 {(1,3526)} ^ t )

Piemērs ( PageIndex {5} ): eksponenciālā modeļa rakstīšana, ja sākotnējā vērtība nav zināma

Atrodiet eksponenciālu funkciju, kas iet caur punktiem ((- 2,6) ) un ((2,1) ).

Risinājums

Tā kā mums nav sākotnējās vērtības, mēs abus punktus aizstājam ar formulas (f (x) = ab ^ x ) vienādojumu un pēc tam atrisinām sistēmu (a ) un (b ) .

  • Aizstājot ((- 2,6) ), iegūst (6 = ab ^ {- 2} )
  • Aizstājot ((2,1) ), iegūst (1 = ab ^ 2 )

Izmantojiet pirmo vienādojumu, lai atrisinātu (a ) saistībā ar (b ):

[ begin {align *} 6 & = ab ^ {- 2} dfrac {6} {b ^ {- 2}} & = a qquad text {Divide} a & = 6b ^ 2 qquad text {Izmantojiet eksponentu īpašības, lai pārrakstītu saucēju} end {align *} ]

Aizstājiet a otrajā vienādojumā un atrisiniet (b ):

[ begin {align *} 1 & = ab ^ {2} 1 & = 6b ^ 2 b ^ 2 & = 6b ^ 4 qquad text {Aizstāt a} b & = left ( dfrac { 1} {6} pa labi) ^ { tfrac {1} {4}} qquad text {4. kārtas aiz komata pārraksta saucēju} b & aptuveni 0.6389 end {izlīdzināt *} ]

Izmantojiet (b ) vērtību pirmajā vienādojumā, lai atrisinātu (a ) vērtību:

[ sākt {izlīdzināt *} a & = 6b ^ {2} & apm. 6 (0,6389) ^ 2 & aptuveni 2,4492 beigas {izlīdzināt *} ]

Tādējādi vienādojums ir (f (x) = 2,4492 {(0,6389)} ^ x ).

Mēs varam uzzīmēt savu modeli, lai pārbaudītu mūsu darbu. Ievērojiet, ka diagrammas attēlā ( PageIndex {4} ) iet cauri uzdevumā norādītajiem sākotnējiem punktiem ((- - 2, 6) ) un ((2, 1) ). Grafiks ir eksponenciālās sabrukšanas funkcijas piemērs.

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Ņemot vērā divus punktus ((1,3) ) un ((2,4,5) ), atrodiet eksponenciālās funkcijas vienādojumu, kas iet caur šiem diviem punktiem.

Atbilde

(f (x) = 2 {(1,5)} ^ x )

Jautājumi un atbildes: vai divi punkti vienmēr nosaka unikālu eksponenciālu funkciju?

Jā, ja abi punkti atrodas vai nu virs x ass, vai arī zem x ass, un tiem ir atšķirīgas x koordinātas. Bet paturiet prātā, ka mums arī jāzina, ka diagramma faktiski ir eksponenciāla funkcija. Ne katra diagramma, kas izskatās eksponenciāla, patiešām nav eksponenciāla. Mums jāzina, ka diagrammas pamatā ir modelis, kas parāda vienādu procentuālo pieaugumu ar katru vienības pieaugumu (x ), kas daudzos reālās pasaules gadījumos ir saistīts ar laiku.

Kā: ņemot vērā eksponenciālās funkcijas grafiku, uzrakstiet tās vienādojumu

  1. Vispirms norādiet divus punktus diagrammā. Kad vien iespējams, izvēlieties (y ) - pārtvert kā vienu no diviem punktiem. Mēģiniet izvēlēties punktus, kas atrodas pēc iespējas tālāk, lai samazinātu noapaļošanas kļūdas.
  2. Ja viens no datu punktiem ir (y ) - pārtvert ((0, a) ), tad (a ) ir sākotnējā vērtība. Izmantojot (a ), aizstājiet otro punktu vienādojumā (f (x) = a {(b)} ^ x ) un atrisiniet (b )
  3. Ja nevienam no datu punktiem nav formas ((0, a) ), aizstājiet abus punktus divos vienādojumos ar formu (f (x) = a {(b)} ^ x ). Atrodiet iegūto divu vienādojumu sistēmu divos nezināmos, lai atrastu (a ) un (b ).
  4. Uzrakstiet eksponenciālo funkciju (f (x) = a {(b)} ^ x ).

Piemērs ( PageIndex {6} ): eksponenciālās funkcijas rakstīšana, ņemot vērā tās grafiku

Atrodiet vienādojumu eksponentfunkcijai, kas attēlota attēlā ( PageIndex {5} ).

Risinājums

Mēs varam izvēlēties (y )-grāfa ielaušanās ((0,3) ) kā mūsu pirmais punkts. Tas dod mums sākotnējo vērtību (a = 3 ). Pēc tam līknē izvēlieties punktu, kas atrodas attālumā no ((0,3) ) un kuram ir veselu skaitļu koordinātas. Viens šāds punkts ir ((2,12) ).

[ begin {align *} y & = ab ^ x qquad text {Uzrakstiet eksponenciālā vienādojuma vispārīgo formu} y & = 3b ^ x qquad text {Aizstājiet sākotnējo vērtību} 3 text {for} a 12 & = 3b ^ 2 qquad text {Aizstājiet 12 ar} y text {un} 2 text {for} x 4 & = b ^ 2 qquad text {Dalīt ar} 3 b & = pm 2 qquad text {Paņemiet kvadrātsakni} end {izlīdzināt *} ]

Tā kā mēs aprobežojamies ar pozitīvām vērtībām (b ), mēs izmantosim (b = 2 ). Standarta formā aizvietojiet (a ) un (b ), lai iegūtu vienādojumu (f (x) = 3 {(2)} ^ x ).

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Atrodiet vienādojumu eksponentfunkcijai, kas attēlota attēlā ( PageIndex {6} ).

Atbilde

(f (x) = sqrt {2} {( sqrt {2})} ^ x ). Atbildes var atšķirties noapaļošanas kļūdas dēļ. Atbildei jābūt ļoti tuvu (1,4142 {(1,4142)} ^ x ).

Kā: ņemot vērā divus eksponenciālās funkcijas līknes punktus, izmantojiet grafiku kalkulatoru, lai atrastu vienādojumu

  1. Nospiediet [STAT].
  2. Notīriet visus esošos ierakstus kolonnās L1 vai L2.
  3. In L1, ievadiet x-doti koordinatori.
  4. In L2, ievadiet atbilstošo y-koordinātas.
  5. Nospiediet [STAT] atkal. Kursors pa labi CALC, ritiniet uz leju līdz ExpReg (eksponenciāla regresija)un nospiediet [ENTER].
  6. Ekrānā tiek parādītas vērtības a un b eksponenciālajā vienādojumā (y = a⋅b ^ x ).

Piemērs ( PageIndex {7} ): Izmantojot grafiku kalkulatoru, lai atrastu eksponenciālu funkciju

Izmantojiet grafiku kalkulatoru, lai atrastu eksponenciālo vienādojumu, kurā iekļauti punkti ((2,24,8) ) un ((5,198,4) ).

Risinājums

Izpildiet iepriekš minētās vadlīnijas. Vispirms nospiediet [STAT], [Rediģēt], [1: Rediģēt…], un notīriet sarakstus L1 un L2. Tālāk L1 kolonnā ievadiet (x ) - koordinātas, (2 ) un (5 ). Dariet to pašu L2 kolonna (y ) - koordinātām, (24,8 ) un (198,4 ).

Tagad nospiediet [STAT], [CALC], [0: Izvērst] un nospiediet [ENTER]. Tiks parādītas vērtības (a = 6,2 ) un (b = 2 ). Eksponenciālais vienādojums ir (y = 6,2⋅2 ^ x ).

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Izmantojiet grafiku kalkulatoru, lai atrastu eksponenciālo vienādojumu, kurā iekļauti punkti ((3, 75.98) ) un ((6, 481.07) ).

Atbilde

(y≈12⋅ {1.85} ^ x )

Salikto procentu procentu piemērošana

Izmanto uzkrājumu instrumentus, kuros ienākumi tiek nepārtraukti reinvestēti, piemēram, kopfondus un pensiju kontus saliktie procenti. Termiņš salikšana attiecas uz procentiem, kas nopelnīti ne tikai par sākotnējo vērtību, bet arī par konta uzkrāto vērtību.

The gada procentu likme (GPL) konta, ko sauc arī par nominālā likme, ir gada procentu likme, ko nopelna ieguldījumu konts. Termiņš nomināls lieto, ja salikšana notiek vairākas reizes, izņemot vienu reizi gadā. Faktiski, ja procenti tiek palielināti vairāk nekā reizi gadā, faktiskā procentu likme beidzas lielāks nekā nominālā likme! Tas ir spēcīgs ieguldījumu instruments.

Saliktās procentu likmes mēs varam aprēķināt, izmantojot salikto procentu formulu, kas ir mainīgo laika (t ), pamatsummas (P ), (APR ) (r ) un salikšanas periodu skaita eksponenciālā funkcija. gadā (n ):

[A (t) = P { pa kreisi (1+ dfrac {r} {n} pa labi)} ^ {nt} nonumber ]

Piemēram, novērojiet tabulu ( PageIndex {4} ), kurā parādīti ieguldīšanas rezultāti ($ 1000 ) pie (10 ​​\% ) uz vienu gadu. Ievērojiet, kā palielinās konta vērtība, palielinoties salikšanas biežumam.

Tabula ( PageIndex {4} )
BiežumsVērtība pēc (1 ) gada
Katru gadu($1100)
Pusgadu($1102.50)
Katru ceturksni($1103.81)
Katru mēnesi($1104.71)
Katru dienu($1105.16)

Definīcija: Saliktie procenti

Saliktie procenti var aprēķināt, izmantojot formulu

[A (t) = P { pa kreisi (1+ dfrac {r} {n} pa labi)} ^ {nt} ]

kur

  • (A (t) ) ir konta vērtība,
  • (t ) mēra gados,
  • (P ) ir konta sākuma summa, ko bieži dēvē par pamatsummu vai vispārīgāk par pašreizējo vērtību,
  • (r ) ir gada procentu likme (GPL), kas izteikta ar decimāldaļu, un
  • (n ) ir salikšanas periodu skaits vienā gadā.

Piemērs ( PageIndex {8} ): Salikto procentu aprēķināšana

Ja mēs ieguldām ($ 3000 ) ieguldījumu kontā, maksājot (3 \% ) procentus, kas tiek apvienoti katru ceturksni, cik daudz konts būs vērts pēc (10 ​​) gadiem?

Risinājums

Tā kā mēs sākam ar (3000 USD ), (P = 3000 ). Mūsu procentu likme ir (3 \% ), tātad (r = 0,03 ). Tā kā mēs sastādām katru ceturksni, mēs palielinām (4 ) reizes gadā, tātad (n = 4 ). Mēs vēlamies uzzināt konta vērtību (10 ​​) gados, tāpēc mēs meklējam (A (10) ), vērtību, kad (t = 10 ).

[ begin {align *} A (t) & = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} qquad text {Izmantojiet salikto procentu formulu} A (10) un = 3000 { pa kreisi (1+ dfrac {0.03} {4} pa labi)} ^ {(4) cdot (10)} qquad text {Aizstāt, izmantojot norādītās vērtības} & apm. $ 4045.05 qquad text {Apaļš līdz diviem cipariem aiz komata} beigas {izlīdzināt *} ]

Konta vērtība būs aptuveni (USD 4 045,05) pēc (10 ​​) gadiem.

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Sākotnējais ieguldījums (100 000 USD ) ar (12 \% ) procentiem tiek palielināts katru nedēļu (izmantojiet (52 ) nedēļas gadā). Cik vērts būs ieguldījums pēc (30 ) gadiem?

Atbilde

aptuveni (3 644 675,88 USD )

Piemērs ( PageIndex {9} ): Salikto procentu formulas izmantošana, lai atrisinātu galveno

529 plāns ir koledžas uzkrājumu plāns, kas ļauj radiniekiem ieguldīt naudu, lai apmaksātu bērna turpmāko koledžas mācību; konts aug bez nodokļiem. Lilija vēlas izveidot savai jaunajai mazmeitai 529 kontu un vēlas, lai konts (18 ) gadu laikā pieaugtu līdz (40 000 USD ). Viņa uzskata, ka konts nopelnīs (6 \% ), pusgadā (divas reizes gadā). Cik daudz Lilijai tagad būs jāiegulda kontā līdz tuvākajam dolāram?

Risinājums

Nominālā procentu likme ir (6 \% ), tātad (r = 0.06 ). Procenti tiek palielināti divas reizes gadā, tātad (k = 2 ).

Mēs vēlamies atrast nepieciešamo sākotnējo ieguldījumu (P ), lai konta vērtība (18 ) gadu laikā būtu vērts (40 000 USD ). Aizstājiet norādītās vērtības saliktās procentu formulā un atrisiniet parametru (P ).

[ begin {align *} A (t) & = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} qquad text {Izmantojiet salikto procentu formulu} 40 000 & = P { pa kreisi (1+ dfrac {0.06} {2} pa labi)} ^ {2 (18)} qquad text {Aizstāt, izmantojot norādītās vērtības} A, r, n, t 40 000 & = P {(1.03)} ^ {36} qquad text {Vienkāršot} dfrac {40,000} {{(1.03)} ^ {36}} & = P qquad text {Izolēt} P P & apm $ 13,801 qquad text {Sadaliet un noapaļojiet līdz tuvākajam dolāram} end {align *} ]

Lilijai būs jāiegulda ($ 13,801 ), lai būtu (($ 40,000) (18 ) gados.

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Skatiet piemēru ( PageIndex {9} ). Cik daudz Lilijai būtu jāiegulda līdz tuvākajam dolāram, ja kontu sastādītu reizi ceturksnī?

Atbilde

($13,693)

Funkciju novērtēšana ar Base (e )

Kā mēs redzējām iepriekš, kontā nopelnītā summa palielinās, palielinoties salikšanas biežumam. Tabula ( PageIndex {5} ) parāda, ka palielinājums no gada uz pusgadu ir lielāks nekā pieaugums no ikmēneša uz katru dienu. Tas varētu likt mums jautāt, vai šis modelis turpināsies.

Pārbaudiet ieguldītā ($ 1 ) vērtību ar (100 \% ) procentiem par (1 ) gadu, apvienojot to dažādās frekvencēs, kas uzskaitīti tabulā ( PageIndex {5} ).

Tabula ( PageIndex {5} )

Biežums (A (t) = { pa kreisi (1+ dfrac {1} {n} pa labi)} ^ n )Vērtība
Katru gadu ({ pa kreisi (1+ dfrac {1} {1} pa labi)} ^ 1 )($2)
Pusgadu ({ pa kreisi (1+ dfrac {1} {2} pa labi)} ^ 2 )($2.25)
Katru ceturksni ({ pa kreisi (1+ dfrac {1} {4} pa labi)} ^ 4 )($2.441406)
Katru mēnesi ({ pa kreisi (1+ dfrac {1} {12} pa labi)} ^ {12} )($2.613035)
Katru dienu ({ pa kreisi (1+ dfrac {1} {365} pa labi)} ^ {365} )($2.714567)
Katru stundu ({ pa kreisi (1+ dfrac {1} {8760} pa labi)} ^ {8760} )($2.718127)
Vienu reizi minūtē ({ left (1+ dfrac {1} {525600} right)} ^ {525600} )($2.718279)
Reizi sekundē ({ pa kreisi (1+ dfrac {1} {31536000} pa labi)} ^ {31536000} )($2.718282)

Šķiet, ka šīs vērtības tuvojas robežai, jo (n ) bez saistībām palielinās. Patiesībā, pieaugot (n ) lielumam, izteiksme ({ left (1+ dfrac {1} {n} right)} ^ n ) tuvojas skaitlim, ko matemātikā izmanto tik bieži, ka tas ir savs nosaukums: burts (e ). Šī vērtība ir iracionāls skaitlis, kas nozīmē, ka tā decimālā paplašināšanās turpinās uz visiem laikiem, neatkārtojoties. Tās tuvinājums sešām zīmēm aiz komata ir parādīts zemāk.

Definīcija: skaitlis e

Burts (e ) apzīmē iracionālo skaitli

[{ pa kreisi (1+ dfrac {1} {n} pa labi)} ^ n ]

kā (n ) palielinās bez saites

Burtu (e ) izmanto kā pamatu daudziem reālās pasaules eksponenciāliem modeļiem. Lai strādātu ar bāzes (e ), mēs izmantojam aptuveno vērtību (e≈2.718282 ). Konstantu nosauca Šveices matemātiķis Leonhards Eulers (1707–1783), kurš vispirms izpētīja un atklāja daudzas tā īpašības.

Piemērs ( PageIndex {10} ): kalkulatora izmantošana, lai atrastu (e ) pilnvaras

Aprēķiniet (e ^ {3.14} ). Noapaļo līdz piecām zīmēm aiz komata.

Risinājums

Kalkulatorā nospiediet pogu ar atzīmi ([e ^ x] ). Logā tiek parādīts ([e {} ^ (] ). Ierakstiet (3,14 ) un pēc tam aizveriet iekavas, ([)] ). Nospiediet [ENTER]. Noapaļošana līdz (5 ) zīmēm aiz komata, (e ^ {3.14} ≈23.10387 ). Uzmanību: Daudzos zinātniskajos kalkulatoros ir poga “Exp”, kuru izmanto ciparu ievadīšanai zinātniskajā pierakstā. To neizmanto, lai atrastu (e ) pilnvaras.

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Izmantojiet kalkulatoru, lai atrastu (e ^ {- 0,5} ). Noapaļo līdz piecām zīmēm aiz komata.

Atbilde

(e ^ {- 0,5} 0,60653 )

Nepārtrauktas izaugsmes izpēte

Līdz šim mēs esam strādājuši ar racionālām eksponenciālo funkciju bāzēm. Tomēr lielākajai daļai reālās pasaules parādību (e ) izmanto kā pamatu eksponenciālām funkcijām. Eksponenciālos modeļus, kuru pamatā ir (e ), sauc par nepārtrauktas izaugsmes vai sabrukšanas modeļiem. Šos modeļus mēs redzam finansēs, datorzinātnēs un lielākajā daļā zinātņu, piemēram, fizikā, toksikoloģijā un šķidruma dinamikā.

Definīcija: Nepārtrauktās izaugsmes / sabrukšanas formula

Visiem reālajiem skaitļiem (t ) un visiem pozitīvajiem skaitļiem (a ) un (r ) nepārtrauktu pieaugumu vai sabrukšanu attēlo formula

[A (t) = ae ^ {rt} ]

kur

  • (a ) ir sākotnējā vērtība,
  • (r ) ir nepārtraukts pieauguma temps laika vienībā,
  • (t ) ir pagājušais laiks.

Ja (r> 0 ), tad formula norāda nepārtrauktu izaugsmi. Ja (r <0 ), tad formula apzīmē nepārtrauktu sabrukšanu.

Biznesa lietojumiem nepārtrauktas izaugsmes formulu sauc par nepārtrauktas salikšanas formulu, un tā iegūst formu

[A (t) = Pe ^ {rt} ]

kur

  • (P ) ir pamatsumma vai sākotnēji ieguldītais,
  • (r ) ir laika vienības pieaugums vai procentu likme,
  • (t ) ir ieguldījuma periods vai termiņš.

Kā: ņemot vērā sākotnējo vērtību, augšanas vai sabrukšanas ātrumu un laiku (t ), atrisināt nepārtrauktas augšanas vai sabrukšanas funkciju

  1. Izmantojiet problēmas informāciju, lai noteiktu funkcijas sākotnējo vērtību (a ).
  2. Izmantojiet problēmas informāciju, lai noteiktu augšanas ātrumu (r ).
    • Ja problēma attiecas uz nepārtrauktu izaugsmi, tad (r> 0 ).
    • Ja problēma attiecas uz nepārtrauktu sabrukšanu, tad (r <0 ).
  3. Izmantojiet problēmas informāciju, lai noteiktu laiku (t ).
  4. Aizstājiet norādīto informāciju nepārtrauktas izaugsmes formulā un atrisiniet (A (t) ).

Piemērs ( PageIndex {11} ): nepārtrauktas izaugsmes aprēķināšana

Persona ieguldīja ($ 1000 ) kontā, nopelnot nominālo (10 ​​\% ) gadā, nepārtraukti palielinoties. Cik daudz kontā bija viena gada beigās?

Risinājums

Tā kā konta vērtība pieaug, tā ir nepārtraukta problēma ar pieauguma tempu (r = 0,10 ). Sākotnējais ieguldījums bija ($ 1000 ), tātad (P = 1000 ). Mēs izmantojam nepārtrauktas salikšanas formulu, lai atrastu vērtību pēc (t = 1 ) gada:

[ begin {align *} A (t) & = Pe ^ {rt} qquad text {Izmantojiet nepārtrauktās salikšanas formulu} & = 1000 {(e)} ^ {0.1} qquad text {Aizstāt zināmās vērtības: P, r, t & apm. 1105,17 qquad text {Izmantojiet kalkulatoru, lai tuvinātu} beigu {izlīdzināt *} ]

Konts pēc gada ir vērts (USD 1105,17 ).

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

Persona iegulda (100 000 USD ) ar nominālo (12 \% ) procentu likmi nepārtraukti. Kāda būs ieguldījuma vērtība pēc (30 ) gadiem?

Atbilde

($3,659,823.44)

Piemērs ( PageIndex {12} ): Nepārtrauktas sabrukšanas aprēķināšana

(Radons-222 ) sabojājas ar nepārtrauktu ātrumu (17,3 \% ) dienā. Cik daudz ((100 mg)) ((Radons-222)) sabruks (3 ) dienās?

Risinājums

Tā kā viela sadalās, likme (17,3 \% ) ir negatīva. Tātad, (r = −0,173 ). Sākotnējais (Radon-222 ) daudzums bija (100 ) mg, tātad (a = 100 ). Mēs izmantojam nepārtrauktas sabrukšanas formulu, lai atrastu vērtību pēc (t = 3 ) dienām:

[ begin {align *} A (t) & = ae ^ {rt} qquad text {Izmantojiet nepārtrauktas izaugsmes formulu} & = 100e6 {-0.173 (3)} qquad text {Aizstājiet zināmās vērtības priekš} a, r, t & apm. 59.5115 qquad text {Izmantojiet kalkulatoru, lai tuvinātu} beigu {izlīdzināt *} ]

Tātad paliks (59,5115 ) mg (Radon-222 ).

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

Izmantojot datus piemērā ( PageIndex {12} ), cik daudz (Radon-222 ) paliks pēc gada?

Atbilde

(3.77E-26 ) (Tas ir kalkulatora apzīmējums skaitlim, kas zinātniskajā pierakstā ierakstīts kā (3,77 × 10 ^ {- 26} ). Kaut arī eksponenciālās funkcijas izeja nekad nav nulle, šis skaitlis ir tik tuvu līdz nullei, ka visos praktiskos nolūkos mēs varam pieņemt nulli kā atbildi.)

Mediji

Piekļūstiet šiem tiešsaistes resursiem, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi ar eksponenciālām funkcijām.

  • Eksponenciālās izaugsmes funkcija
  • Saliktie procenti

Galvenie vienādojumi

eksponenciālās funkcijas definīcija (f (x) = b ^ x ), kur (b> 0 ), (b ≠ 1 )
eksponenciālās izaugsmes definīcija (f (x) = ab ^ x ), kur (a> 0 ), (b> 0 ), (b ≠ 1 )
salikto procentu formula

(A (t) = P {(1+ dfrac {r} {n})} ^ {nt} ),

kur (A (t) ) ir konta vērtība brīdī (t )

(t ) ir gadu skaits

(P ) ir sākotnējais ieguldījums, ko bieži sauc par galveno

(r ) ir gada procentu likme (GPL) vai nominālā likme

(n) is the number of compounding periods in one year

continuous growth formula(A(t)=ae^{rt}), where (t) is the number of unit time periods of growth (a) is the starting amount (in the continuous compounding formula a is replaced with (P), the principal) (e) is the mathematical constant, (e≈2.718282)

Galvenie jēdzieni

  • An exponential function is defined as a function with a positive constant other than (1) raised to a variable exponent. See Example.
  • A function is evaluated by solving at a specific value. See Example and Example.
  • An exponential model can be found when the growth rate and initial value are known. See Example.
  • An exponential model can be found when the two data points from the model are known. See Example.
  • An exponential model can be found using two data points from the graph of the model. See Example.
  • An exponential model can be found using two data points from the graph and a calculator. See Example.
  • The value of an account at any time (t) can be calculated using the compound interest formula when the principal, annual interest rate, and compounding periods are known. See Example.
  • The initial investment of an account can be found using the compound interest formula when the value of the account, annual interest rate, compounding periods, and life span of the account are known. See Example.
  • The number (e) is a mathematical constant often used as the base of real world exponential growth and decay models. Its decimal approximation is (e≈2.718282).
  • Scientific and graphing calculators have the key ([ex]) or ([exp(x)]) for calculating powers of (e). See Example.
  • Continuous growth or decay models are exponential models that use (e) as the base. Continuous growth and decay models can be found when the initial value and growth or decay rate are known. See Example and Example.

How to solve exponential equations

As you might've noticed, an exponential equation is just a special type of equation. It's an equation that has exponents that are $ ed< variables>$.

Steps to Solve

There are different kinds of exponential equations. We will focus on exponential equations that have a single term on both sides. These equations can be classified into 2 types.

Part I. Solving Exponential Equations with Same Base

1. piemērs

Ignore the bases, and simply set the exponents equal to each other

We can verify that our answer is correct by substituting our value back into the original equation . .

Exponential Equation Solver

Enter any exponential equation into the algebra solver below :

Example 2
Example 3

II. Solving Exponential Equations with un-like bases

What do they look like?

$ ed 4^3 = ed 2^x $
$ ed 9^x = ed < 81 >$
$ left( ed<2>> ight)^ < x+1>= ed 4^3 $
$ ed 4^ <2x>+1 = ed < 65 >$

In each of these equations, the base is different. Our goal will be to rewrite both sides of the equation so that the base is the same.

Example 4

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Do this by asking yourself :

Answer : They are both powers of 2

Rewrite equation so that both exponential expressions use the same base

Substitute $ ed 6 $ into the original equation to verify our work.

Example with Negative Exponent

Unlike bases often involve negative or fractional bases like the example below. We are going to treat these problems like any other exponential equation with different bases--by converting the bases to be the same.

Example 5

Practice Problems (un-like bases)

Problem 1

Solve the following exponential Equation: $9^x = 81$

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Ask yourself :

You can use either 3 or 9 . I will use 9.

Substitute the rewritten bases into original equation

Problem 2

Solve the equation : $ 4^ <2x>+1 = 65 $

Rewrite this equation so that it looks like the other ones we solved. Isolate the exponential expression as follows:

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Ask yourself :

They are both powers of 2 and of 4 . You could use either base to solve this. I will use base 4

Substitute the rewritten bases into original equation

Problem 3

Solve the exponential Equation : $ left( frac<1> <4> ight)^x = 32 $

Since these equations have different bases, follow the steps for unlike bases

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Ask yourself :

They are both powers of 2

Rewrite as a negative exponent and substitute the rewritten bases into original equation

$ left( frac<1> <4> ight)^x = 32 left( frac<1> <2^2> ight)^x = 32 left( ed 2 ^<lue<-2>> ight)^x = ed 2^ <lue 5>$

Problem 4

Solve this exponential equation: $ left( frac<1> <9> ight)^x-3 = 24 $

Rewrite this equation so that it looks like the other ones we solved. Isolate the exponential expression as follows:

$ left( frac<1> <9> ight)^x -3 ed <+3>=24 ed <+3> left( frac<1> <9> ight)^x=27 $

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Ask yourself :


What is exponential growth in real-life?

There are many real-life examples of exponential growth. For example, suppose that the population of Florida was 16 million in 2000. Then every year after that, the population has grown by 2%. This is an example of exponential growth.

Notice that the rate of growth is 2% or 0.02 and it is constant. This is important since the rate of growth cannot change.

Let us find the exponential function.

Year 2001 or 1 year after: 

16,000,000 + 16,000,000 x 0.02  = 16,000,000 (1 + 0.02 )

16,000,000 + 16,000,000 x 0.02  = 16,000,000(1.02)     

16,000,000 + 16,000,000 x 0.02  = 16,000,000(1.02) 1

Year 2002 or 2 years after:

16,000,000(1.02) + 16,000,000(1.02) x 0.02 = 16,000,000(1.02) [1 + 0.02]

16,000,000(1.02) + 16,000,000(1.02) x 0.02 = 16,000,000(1.02)(1.02)

16,000,000(1.02) + 16,000,000(1.02) x 0.02 = 16,000,000(1.02) 2

Following this pattern, suppose that

  • x is the number of years since 2000
  • 16,000,000 is the starting amount
  • 1.02 is the rate or growth factor

Comparing this exponential function with y = ab x , we see that a = 16,000,000 and b = 1.02.

General rule for modeling exponential growth

Exponential growth can be modeled with the function

a is the starting amount when x  = 0

b is the base, rate, or growth factor and it is a constant and it is greater than 1 .


Graphing Exponential Functions

The general form of an exponential function is y = b n , where b > 0 and b &ne 1 and n is a real number.

Characteristics of Exponential Graph

From the graph above, we notice the following characteristics or properties of the exponential graph (curve) y = b n , where b > 0 and b &ne 1 and n is a real number:

a) As the value of x increases, the value of y increases far more than the increase of value of x.

b) The range (or values of y) are positve real numbers (never zero).

c) The graph is asymptotic to the x-axis that is it gets very close to the x-axis but does not touch it or cross it.

d) The graph always crosses the y-axis at (0, 1)

Izmēģiniet zemāk esošo bezmaksas Mathway kalkulatoru un problēmu risinātāju, lai praktizētu dažādas matemātikas tēmas. Izmēģiniet sniegtos piemērus vai ierakstiet savu problēmu un pārbaudiet atbildi, izmantojot detalizētus paskaidrojumus.

Mēs priecājamies par jūsu atsauksmēm, komentāriem un jautājumiem par šo vietni vai lapu. Lūdzu, iesniedziet atsauksmes vai jautājumus, izmantojot mūsu atsauksmju lapu.


Saturs

satisfying the initial condition y ( 0 ) = 1.

By way of the binomial theorem and the power series definition, the exponential function can also be defined as the following limit: [8] [7]

The exponential function arises whenever a quantity grows or decays at a rate proportional to its current value. One such situation is continuously compounded interest, and in fact it was this observation that led Jacob Bernoulli in 1683 [9] to the number

now known as e . Later, in 1697, Johann Bernoulli studied the calculus of the exponential function. [9]

From any of these definitions it can be shown that the exponential function obeys the basic exponentiation identity,

exp ⁡ ( x + y ) = exp ⁡ x ⋅ exp ⁡ y

which justifies the notation e x for exp x .

The derivative (rate of change) of the exponential function is the exponential function itself. More generally, a function with a rate of change proportional to the function itself (rather than equal to it) is expressible in terms of the exponential function. This function property leads to exponential growth or exponential decay.

The exponential function extends to an entire function on the complex plane. Euler's formula relates its values at purely imaginary arguments to trigonometric functions. The exponential function also has analogues for which the argument is a matrix, or even an element of a Banach algebra or a Lie algebra.

The importance of the exponential function in mathematics and the sciences stems mainly from its property as the unique function which is equal to its derivative and is equal to 1 when x = 0 . Tas ir,

Functions of the form ce x for constant c are the only functions that are equal to their derivative (by the Picard–Lindelöf theorem). Other ways of saying the same thing include:

  • The slope of the graph at any point is the height of the function at that point.
  • The rate of increase of the function at x is equal to the value of the function at x .
  • The function solves the differential equationy′ = y .
  • exp is a fixed point of derivative as a functional.

If a variable's growth or decay rate is proportional to its size—as is the case in unlimited population growth (see Malthusian catastrophe), continuously compounded interest, or radioactive decay—then the variable can be written as a constant times an exponential function of time. Explicitly for any real constant k , a function f: RR satisfies f′ = kf tad un tikai tad f(x) = ce kx for some constant c . The constant k is called the decay constant, disintegration constant, [10] rate constant, [11] or transformation constant. [12]

Furthermore, for any differentiable function f(x) , we find, by the chain rule:

A continued fraction for e x can be obtained via an identity of Euler:

The following generalized continued fraction for e z converges more quickly: [13]

with a special case for z = 2 :

This formula also converges, though more slowly, for z > 2 . Piemēram:

As in the real case, the exponential function can be defined on the complex plane in several equivalent forms. The most common definition of the complex exponential function parallels the power series definition for real arguments, where the real variable is replaced by a complex one:

Alternatively, the complex exponential function may defined by modelling the limit definition for real arguments, but with the real variable replaced by a complex one:

For the power series definition, term-wise multiplication of two copies of this power series in the Cauchy sense, permitted by Mertens' theorem, shows that the defining multiplicative property of exponential functions continues to hold for all complex arguments:

The definition of the complex exponential function in turn leads to the appropriate definitions extending the trigonometric functions to complex arguments.

In particular, when z = it ( t real), the series definition yields the expansion

In this expansion, the rearrangement of the terms into real and imaginary parts is justified by the absolute convergence of the series. The real and imaginary parts of the above expression in fact correspond to the series expansions of cos t and sin t , attiecīgi.

This correspondence provides motivation for defining cosine and sine for all complex arguments in terms of exp ⁡ ( ± i z ) and the equivalent power series: [14]

These definitions for the exponential and trigonometric functions lead trivially to Euler's formula:

We could alternatively define the complex exponential function based on this relationship. Ja z = x + iy , where x and y are both real, then we could define its exponential as

exp ⁡ z = exp ⁡ ( x + i y ) := ( exp ⁡ x ) ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y )

where exp , cos , and sin on the right-hand side of the definition sign are to be interpreted as functions of a real variable, previously defined by other means. [15]

starting from z = 1 in the complex plane and going counterclockwise. Based on these observations and the fact that the measure of an angle in radians is the arc length on the unit circle subtended by the angle, it is easy to see that, restricted to real arguments, the sine and cosine functions as defined above coincide with the sine and cosine functions as introduced in elementary mathematics via geometric notions.

The complex exponential function is periodic with period 2πi and exp ⁡ ( z + 2 π i k ) = exp ⁡ z holds for all z ∈ C , k ∈ Z ,kin mathbb > .

When its domain is extended from the real line to the complex plane, the exponential function retains the following properties:

Extending the natural logarithm to complex arguments yields the complex logarithm log z , which is a multivalued function.

We can then define a more general exponentiation:

for all complex numbers z un w . This is also a multivalued function, even when z is real. This distinction is problematic, as the multivalued functions log z un z w are easily confused with their single-valued equivalents when substituting a real number for z . The rule about multiplying exponents for the case of positive real numbers must be modified in a multivalued context:

(e z ) w
e zw , but rather (e z ) w
= e (z + 2niπ)w multivalued over integers n

See failure of power and logarithm identities for more about problems with combining powers.

The exponential function maps any line in the complex plane to a logarithmic spiral in the complex plane with the center at the origin. Two special cases exist: when the original line is parallel to the real axis, the resulting spiral never closes in on itself when the original line is parallel to the imaginary axis, the resulting spiral is a circle of some radius.


Fractional Exponents

The reciprocal of the number associated with the radical is the power needed.

If the radicand (number under the radical sign) has a power in it, the same method still works:

This can be simplified to get #9^(1/2)# .

You can just remember this rule, or you can learn about why this is:

fractional exponent #1/b#

So first we're going to look at an expression of the form: #x^(1/b)# .
To investigate what this means, we need to go from #x to x^(1/b)# and then deduce something from it.

#x^1 = x^(b/b) = x^(1/b*b)#
What does multiplication mean? Repeated addition. So we can instead of multiplying by b, adding the number to itself #b# times.
#x^(1/b+1/b+1/b+1/b +. )# (b times)

There is a rule you use when multiplying numbers with the same radical: add the exponents. If we reverse this rule, we get:
#x^(1/b)*x^(1/b)*x^(1/b)*x^(1/b)*x^(1/b). # (b times)

Now, we still know that this number is equal to #x# . So now we have to think a bit. What number, multiplied by itself b times, gives you #x# .
It's the bth-root of #x# => #x^(1/b)=rootbx#

For example: #8^(1/3)#
If we multiply this by itself 3 times we get:
#8^(1/3)*8^(1/3)*8^(1/3) = 8^(3/3) = 8#
What number multiplied by itself 3 times, gives you 8.
It's of course #root3(8) = 2#

What about #a/b# ?
To know what #x^(a/b)# means, we can further rely on our previous findings:
#x^(a/b) = x^(a*1/b) = x^(1/b+1/b+1/b+1/b. ) # (a times)
#= x^(1/b)*x^(1/b)*x^(1/b). # (a times)

Repeated multiplication is equal to exponentiation, so we can write:
#= (x^(1/b))^a = (rootbx)^a#

You can also bring the exponent in the root:
#= rootb(x^a)#


( herefore) a logarithm is equal to the reciprocal of its inverse.

Simplify the following using a change of base:

If (log <3>= ext<0,477>) and (log <2>= ext<0,301>), determine (correct to ( ext<2>) decimal places):

Logarithms using a calculator (EMCFM)

Calculating a logarithmic value

There are many different types and models of scientific calculators. It is very important to be familiar with your own calculator and the different function buttons. Some calculators only have two buttons for logarithms: one for calculating the common logarithm (base is equal to ( ext<10>)) and another for calculating the natural log (base is equal to (e)). Newer models will have a third button which allows the user to calculate the logarithm of a number to a certain base.


SOLUTION: exponential equation whose graph passes through given points (1,5)(2,7)

If the two given points are on the graph of an exponential equation, then they must fit the equation. Substituting the first point into the general equation we get:

which simplifies to:
5 = a*b
Substituting the second point into the general equation we get:


we have a system of two equations with two variables. We should be able to solve such a system. We will use the Substitution Method. Solving the first equation for a we get:

Substituting this expression into the other equation for a we get:

which simplifies to:
7 = 5b
Dividing by 5 we get:

Substituting this value for b into we get:


Now that we have values for a and b we can write the exponential equation:

This is probably the desired equation. But since there is two powers of 7 and two powers of 5, we can simplify this a bit:


The rule for exponents when dividing is to subtract the exponents so:

This equation is good, too. And some would prefer it. But your teacher probably wants something the "looks" like the classic exponential equation. IOW:


Exponential growth functions

We have dealt with linear functions earlier. All types of equations containing two unknown (x and y) variables may be inserted in a coordinate system. These types of equations are known as functions. A straight line is known as a linear function.

The function need not necessarily respond like a straight line equation. For example: If we have $50 000 deposited in the bank, and receive a 2 % interest annually, our investment shall increase as follows:

Year Capital Interest Sum
1 50 000 50 000 · 0.02 = 1 000 51 000
2 51 000 51 000 · 0.02 = 1 020 52 020
3 52 020 52 020 · 0.02 = 1040.40 53 060.40

Compare that with what we would have with a linear increase (2%):

Year Capital Increase Sum
1 50 000 50 000 · 0.02 = 1000 51 000
2 51 000 50 000 · 0.02 = 1000 52 000
3 52 000 50 000 · 0.02 = 1000 53 000

In this case we may note that the increase was constant each year. The investment may be described as:

kur x equals the number of years.

However in the first case, the structure proceeds as:

$investment :: after : x : number : of: years$

$= initial: capital cdot compound: interest^$

Here we have an x-variable in the exponent. The interest and thus also the function are exponentials.

Now we shall examine the differences displayed with the functions in our example above in a coordinate system.

The lower straight line represents the linear increase and the upper bowed curve represents the exponential increase. In other words it is more profitable to have a compounded interest than a fixed return.

An exponential function is a nonlinear function that has the form of

An exponential function with a > 0 and b > 1, like the one above, represents an exponential growth and the graph of an exponential growth function rises from left to right.

An exponential function where a > 0 and 0 < b < 1 represents an exponential decay and the graph of an exponential decay function falls from left to right.

When a quantity increases or decreases exponentially it increases or decreases by the same percent over equal time periods in comparison to when a compound increases or decreases linearly when a quantity increases or decreases with the same amount over equal time periods.


Matemātikas ieskats

The exponential function is one of the most important functions in mathematics (though it would have to admit that the linear function ranks even higher in importance). To form an exponential function, we let the independent variable be the exponent. A simple example is the function $f(x)=2^x.$

As illustrated in the above graph of $f$, the exponential function increases rapidly. Exponential functions are solutions to the simplest types of dynamical systems. For example, an exponential function arises in simple models of bacteria growth

An exponential function can describe growth or decay. The function $g(x)=left(frac<1><2> ight)^x$ is an example of exponential decay. It gets rapidly smaller as $x$ increases, as illustrated by its graph.

In the exponential growth of $f(x)$, the function doubles every time you add one to its input $x$. In the exponential decay of $g(x)$, the function shrinks in half every time you add one to its input $x$. The presence of this doubling time or half-life is characteristic of exponential functions, indicating how fast they grow or decay.

Parameters of the exponential function

As with any function, the action of an exponential function $f(x)$ can be captured by the function machine metaphor that takes inputs $x$ and transforms them into the outputs $f(x)$.

The function machine metaphor is useful for introducing parameters into a function. The above exponential functions $f(x)$ and $g(x)$ are two different functions, but they differ only by the change in the base of the exponentiation from 2 to 1/2. We could capture both functions using a single function machine but dials to represent parameters influencing how the machine works.

We could represent the base of the exponentiation by a parameter $b$. Then, we could write $f$ as a function with a single parameter (a function machine with a single dial): $f(x)=b^.$ When $b=2$, we have our original exponential growth function $f(x)$, and when $b=frac<1><2>$, this same $f$ turns into our original exponential decay function $g(x)$. We could think of a function with a parameter as representing a whole family of functions, with one function for each value of the parameter.

We can also change the exponential function by including a constant in the exponent. For example, the function $h(x)=2^<3x>$ is also an exponential function. It just grows faster than $f(x)=2^x$ since $h(x)$ doubles every time you add only $1/3$ to its input $x$. We can introduce another parameter $k$ into the definition of the exponential function, giving us two dials to play with. If we call this parameter $k$, we can write our exponential function $f$ as $f(x)=b^.$ You can explore the influence of both parameters $b$ and $k$ in the following applet.

The exponential function. The exponential function $f(x)=b^$ for base $b >0$ and constant $k$ is plotted in green. You can change the parameters $b$ and $k$ by typing new values in the corresponding boxes. It turns out the parameters $b$ and $k$ can change the function $f$ in the same way, so you really only need to change one of them to see all the different functions $f$. To see how they do the same thing, you can click the &ldquofix function&rdquo checkbox, which will fix the function $f(x)$. When that box is checked, if you change the parameters $b$ or $k$, the other parameter will change in a way to leave the function $f(x)$ unchanged. For the function $f(x)=b^$, the value $f(0)=1$ for all parameters. To change the value of $f(0)$, you can allow scaling of the function by clicking the corresponding checkbox. Then, the function changes to $f(x)=c b^$ with an additional parameter $c$ that scales (multiplies) the whole function so that $f(0)=c$. You can change the value of $c$ by dragging the red point. You can change range of the $x$ and $y$-axes buttons labeled $x+$, $x-$, $y+$, and $y-$. Since $f(x)$ is always non-negative, only the positive $y$-axis is shown.

It turns out that adding both parameters $b$ and $k$ to our definition of $f$ is really unnecessary. We can still get the full range of functions if we eliminate either $b$ or $k$. You can see this fact through the above applet. For example, you can see that the function $f(x)=3^<2x>$ ($k=2$, $b=3$) is exactly the same as the function $f(x)=9^x$ ($k=1$, $b=9$). In fact, for any change you make to $k$, you can make a compensating change in $b$ to keep the function the same. To see this, check the &ldquofix function&rdquo checkbox. Then, if you change either $b$ or $k$, the applet will automatically make a compensatory change in the other parameter to keep the function the same. If you are curious why this is true, you can check out the calculation showing the two parameters are redundant.

Since it is silly to have both parameters $b$ and $k$, we will typically eliminate one of them. The easiest thing to do is eliminate $k$ and go back to the function $f(x)=b^x.$ We will use this function a bit at first, changing the base $b$ to make the function grow or decay faster or slower.

However, once you start learning some calculus, you'll see that it is more natural to get rid of the base parameter $b$ and instead use the constant $k$ to make the function grow or decay faster or slower. Except, we can't exactly get rid of the base $b$. If we set $b=1$, we'd have the boring function $f(x)=1$, or, if we set $b=0$, we'd have the even more boring function $f(x)=0$. We need to choose some other value of $b$.

If we didn't have calculus, we'd probably choose $b=2$, writing our exponential function as $f(x)=2^$. Or, since we like the decimal system so well, maybe we'd choose $b=10$ and write our exponential function of $f(x)=10^$. According to the above discussion, it shouldn't matter whether we use $b=2$ or $b=10$, as we can get the same functions either way (just with different values of $k$).

But, it turns out that calculus tells us there is a natural choice for the base $b$. Once you learn some calculus, you'll see why the most common base $b$ throughout the sciences is the irrational number $e= 2.718281828459045 ldots .$ Fixing $b=e$, we can write the exponential functions as $f(x) = e^.$ (The applet understands the value of $e$, so you can type $e$ in the box for $b$.) Using $e$ for the base is so common, that $e^x$ (&ldquoe to the $xrdquo) is often referred to simply as the exponential function.

To increase the possibilities for the exponential function, we can add one more parameter $c$ that scales the function: $f(x)=c b^.$ Since $f(0)=cb^ = c$, we can see that the parameter $c$ does something completely different than the parameters $b$ and $k$. We'll often use two parameters for the exponential function: $c$ and one of $b$ or $k$. For example, we might set $k=1$ and use $f(x)=cb^x$ or set $b=e$ and use $f(x)=ce^.$ You can add the parameter $c$ to the applet by checking the &ldquoscale function&rdquo checkbox.


Skatīties video: Augstākā matemātika I,,, 211, Funkcijas atvasinājuma definīcija. (Novembris 2021).